MATEMANIJA

Odredi najkrace rastojanje tacke [inlmath]M[/inlmath] kruga [inlmath](x-2)^2+(y+3)^2=4[/inlmath] i tacke [inlmath]N[/inlmath] kruga [inlmath](x+4)^2+(y-5)^2=9[/inlmath].

Najkrace rastojanje izmedju te dve tacke je kada [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath] pripadaju pravi koja sadrzi temena obe kruznice. Teme prve kruznice [inlmath]C(2,-3)[/inlmath] a druge [inlmath]C(-4,5)[/inlmath]. Prava koja njih sadrzi je [inlmath]4x+3y+1=0[/inlmath]. E sad temena [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath] nalazimo kao presek date prave i odgovarajucih kruznica. Dobijamo:[dispmath]M\left(\frac{16}{5},-\frac{23}{5}\right);\;M\left(\frac{4}{5},-\frac{7}{5}\right)[/dispmath] a [dispmath]N\left(-\frac{11}{5},\frac{13}{5}\right);\;N\left(-\frac{29}{5},\frac{37}{3}\right)[/dispmath] Ali crtanjem grafika tj. kruznice lako se vidi da nam za izracunavanje najkraceg rastojana potrebne [inlmath]M\left(\frac{4}{5},-\frac{7}{5}\right)[/inlmath] i [inlmath]N\left(-\frac{11}{5},\frac{13}{5}\right)[/inlmath]. Postoji li neki laksi nacin, jer ovde resavamo dve kvadratne jednacine i ima dosta da se radi?

Ja bih radio na potpuno isti način na koji si i ti radio – jednostavniji način ne vidim. A i ne bih rekao da je ovaj način nešto previše komplikovan – rešiš časkom te dve kvadratne, odbaciš rešenja koja ne predstavljaju najbliže tačke i to je to...

P.S. Za drugo rešenje tačke [inlmath]N[/inlmath] treba da se dobije [inlmath]N\left(-\frac{29}{5},\frac{37}{\color{red}5}\right)[/inlmath], mada, pošto je to ionako ona tačka koju odbacujemo, nema uticaja na rešenje... a pretpostavljam i da je samo greška u kucanju...

P.S.2 Pravilno je reći „pripadaju pravoj“, a ne „pripadaju pravi“ – „prava“ i „kriva“ kao matematički pojmovi, iako imenice, menjaju se po padežima kao pridevi.