troter39 je napisao:vidis dok radis trisekciju kako sam je ja postavio ti u stvari ne delis ugao , vec trougao koji cine teme ugla i tacke X1 i X2 delis na 3 dela. samim tim se i ugao u tom trouglu deli na 3 dela.
Tačno, ugao se deli na tri dela, ali ne na tri jednaka dela.
Dakle, ono što previđaš u svom postupku – kada stranicu trougla delimo na tri jednaka dela, tada se ugao koji je naspram te stranice ne deli na tri jednaka dela.
A sad ću to i dokazati (koristiću tvoje oznake).
Dakle, imamo da su duži [inlmath]\overline{XD_1}[/inlmath], [inlmath]\overline{D_1D_2}[/inlmath] i [inlmath]\overline{D_2X_2}[/inlmath] međusobno jednake (to smo postigli konstrukcijom).
Pođimo prvo od pretpostavke da smo na ovaj način zaista izvršili trisekciju, tj. da su uglovi [inlmath]\angle XOD_1[/inlmath], [inlmath]\angle D_1OD_2[/inlmath] i [inlmath]\angle D_2OX_2[/inlmath] međusobno jednaki.
Primenom sinusne teoreme na trougao [inlmath]\triangle XOD_1[/inlmath] imamo:
[dispmath]\frac{\overline{XD_1}}{\sin\angle XOD_1}=\frac{\overline{OX}}{\sin\angle OD_1X}\quad\Rightarrow\quad\overline{OX}=\overline{XD_1}\frac{\sin\angle OD_1X}{\sin\angle XOD_1}[/dispmath]
Zatim, primenom sinusne teoreme na trougao [inlmath]\triangle D_1OD_2[/inlmath] imamo:
[dispmath]\frac{\overline{D_1D_2}}{\sin\angle D_1OD_2}=\frac{\overline{OD_2}}{\sin\angle OD_1D_2}\quad\Rightarrow\quad\overline{OD_2}=\overline{D_1D_2}\frac{\sin\angle OD_1D_2}{\sin\angle D_1OD_2}[/dispmath]
Pošto je [inlmath]\angle OD_1X=180^\circ-\angle OD_1D_2[/inlmath], sledi da je [inlmath]\sin\angle OD_1X=\sin\left(180^\circ-\angle OD_1D_2\right)=\sin\angle OD_1D_2[/inlmath].
Takođe, [inlmath]\overline{XD_1}=\overline{D_1D_2}[/inlmath] (ovo smo dobili konstrukcijom).
Pošto je, takođe, prema pretpostavci [inlmath]\angle XOD_1=\angle D_1OD_2[/inlmath], možemo pisati:
[dispmath]\underbrace{\overline{XD_1}\frac{\sin\angle OD_1X}{\sin\angle XOD_1}}_{\overline{OX}}=\underbrace{\overline{D_1D_2}\frac{\sin\angle OD_1D_2}{\sin\angle D_1OD_2}}_{\overline{OD_2}}\\
\Rightarrow\quad\overline{OX}=\overline{OD_2}\\\
\\\
\left.\begin{array}{l}
\overline{OX}=\overline{OD_2}\\
\overline{XD_1}=\overline{D_1D_2}\\
\overline{OD_1}=\overline{OD_1}
\end{array}\right\}\quad\overset{\text{SSS}}{\Longrightarrow}\quad\triangle D_1OX\cong\triangle D_1OD_2[/dispmath]
Iz podudarnosti ova dva trougla sledi i jednakost njihovih odgovarajućih stranica i uglova, između ostalog i [inlmath]\angle OD_1X=\angle OD_1D_2[/inlmath].
Pošto su ti uglovi međusobno suplementni, tj. [inlmath]\angle OD_1X=180^\circ-\angle OD_1D_2[/inlmath], sledi da je [inlmath]\angle OD_1X=\angle OD_1D_2=90^\circ[/inlmath], tj. da su to pravi uglovi.
Na potpuno analogan način, preko podudarnosti trouglova [inlmath]\triangle D_1OD_2[/inlmath] i [inlmath]\triangle D_2OX_2[/inlmath], dokazuje se i da su uglovi [inlmath]\angle OD_2D_1[/inlmath] i [inlmath]\angle OD_2X_2[/inlmath] pravi uglovi (da sad ne ispisujem i taj dokaz, postupak je identičan prethodnom, samo s drugim oznakama).
Odatle sledi da trougao [inlmath]\triangle D_1OD_2[/inlmath] ima dva prava ugla, što je nemoguće. Time smo došli do kontradikcije, što znači da pretpostavka od koje smo pošli – da su uglovi [inlmath]\angle XOD_1[/inlmath], [inlmath]\angle D_1OD_2[/inlmath] i [inlmath]\angle D_2OX_2[/inlmath] međusobno jednaki – ne može biti tačna.
Q.E.D.
Istini za volju, tvojim načinom konstrukcije postiže se podela ugla na tri približno jednaka dela, ali to nije ništa novo. Odavno već postoje razne metode (čak i mnogo preciznije) kojima se trisekcija može približno obaviti klasičnom konstrukcijom, ali to nije rešenje originalnog problema koji zahteva tačnu trisekciju klasičnom konstrukcijom – što je odavno dokazano da je nemoguće učiniti.
troter39 je napisao:i objasni mi kako se ovde pisu formule
Evo, ovako.