Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI VEROVATNOĆA

Moavr-Laplas teorema

[inlmath]P\left(A_k/B\right)P\left(B\right)=P\left(B/A_k\right)P\left(A_k\right)[/inlmath]

Moavr-Laplas teorema

Postod keohone » Petak, 26. Januar 2024, 12:45

Pozdrav forumaši,
video sam da je na forumu postavljeno par zadataka vezanih za temu Moavr-Laplasove teoreme kao resenje Bernulijevog problema
(viewtopic.php?f=6&t=587#p4046). Treba mi neko pojasnjenje ove teoreme u osnovnim brojevima (i nekim pomalo "laičkim" jezikom), poznati su mi zadaci ovakvog tipa, ali ovaj deo mi nije previše jasan:
[dispmath]\sqrt{npq}P\{X=k\}=\sqrt{npq}P_n(k)\\
\frac{k-np}{\sqrt{npq}}[/dispmath] Znam da nakon ovoga može se izvesti limes sa Gausovom krivom:
[dispmath]\lim\sqrt{npq}P_n(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\times\frac{(k-np)^2}{npq}}=\Phi\left(\frac{k-np}{\sqrt{npq}}\right)[/dispmath] Ali takoreći šta mi znači ovakav zaključak? Jako malo mi fali da uhvatim "nit".
Hvala unapred na odgovoru! Prva mi je tema pa se nadam da sam sve uradio po "propisima" :D
keohone  OFFLINE
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Moavr-Laplas teorema

Postod ubavic » Subota, 27. Januar 2024, 02:00

Pozdrav.
Teorema je zapravo sasvim intuitivna kada se shvati jednom na pravi način.

Dakle posmatrajmo jednu slučajnu promenljivu koja ima Bernulijevu raspodelu. To je najjednostavnija netrivijalna raspodela: [inlmath]X=1[/inlmath] sa nekom verovatnoćom [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]X=0[/inlmath] sa nekom verovatnoćom [inlmath]q=1-p[/inlmath]. Ovakva promenljiva može da opiše jedno bacanje novčića: ako je palo pismo tada je [inlmath]X=0[/inlmath], a ako je pala glava [inlmath]X=1[/inlmath]. Ako je novčić fer tada je [inlmath]p=q=0.5[/inlmath]. Sa Bernulijevom raspodelom možemo da opišemo i pogodak nekog košarkaša koji šutira trojku: [inlmath]X=0[/inlmath] ako je promašio, [inlmath]X=1[/inlmath] ako je pogodio. Za dobrog košarkaša očekujemo da je [inlmath]p[/inlmath] veoma blizu [inlmath]1[/inlmath]... Kažemo da promenljiva [inlmath]X[/inlmath] opisuje da li je neki eksperiment bio uspešan.

Sad ponavljamo neki Bernulijev eksperiment više puta: više puta za redom bacimo isti novčić, ili posmatramo istog košarkaša kako više puta za redom šutira trojku. Svaki pokušaj (tj eksperiment) je opisan jednom promenljivom sa Bernulijevom raspodelom. Prvi eksperiment je opisan sa promenljivom [inlmath]X_1[/inlmath], drugi eksperiment sa promenljivom [inlmath]X_2[/inlmath], treći sa [inlmath]X_3[/inlmath], itd.... Ako vršimo [inlmath]n[/inlmath] eksperimenata tada imamo [inlmath]n[/inlmath] slučajnih promenljivih (dakle u pitanju su različite promenljive!). Intuitivno možemo pretpostaviti da su ove promenljive nezavisne: u slučaju novčića to je očigledno, dok je u slučaj košarkaša ovakva pretpostavka malo diskutabilna (ali ćemo je radi jednostavnosti zadržati).

Sada dolazimo do nove slučajne promenljive [inlmath]S_n[/inlmath] koju definišemo kao zbir [inlmath]X_1 + X_2 + \cdots + X_n[/inlmath]. Ova promenljiva zapravo opisuje koliko je bilo uspešnih eksperimenata u [inlmath]n[/inlmath] pokušaja. Na primer, ako je košarkaš četiri puta šutirao, prvi put promašio a zatim ubacio tri trojke, tada je realizovana vrednost promenljive [inlmath]S_4[/inlmath] data sa [dispmath]s_4=x_1+x_2+x_3+x_4=0+1+1+1=3.[/dispmath] Dakle, sasvim jednostavno.

Sad možemo da se potrudimo da nađemo raspodelu za promenljivu [inlmath]S_n[/inlmath]. Krenimo prvo od [inlmath]S_2[/inlmath] i posmatrajmo košarkaša koji ubacuje trojku sa šansom [inlmath]p[/inlmath].

  • Koja je verovatnoća da neće ubaciti nijedan koš tj. koja je verovatnoća da je [inlmath]S_2=0[/inlmath]? Pa verovatnoća da neće ubaciti prvi koš je [inlmath]q[/inlmath] i verovatnoća da neće ubaciti drugi koš je isto [inlmath]q[/inlmath]. Pošto smo pretpostavili da su ovi događaji nezavisni, verovatnoća da su se desila oba događaja je [inlmath]q^2[/inlmath].
  • Koja je verovatnoća da će ubaciti jedan koš tj. da je [inlmath]S_2=1[/inlmath]? To će se desiti ako prvi put pogodi i drugi put promaši, ili ako prvi put promaši a drugi put pogodi. Dakle verovatnoća za jedan koš je [inlmath]pq +qp =2pq[/inlmath].
  • Verovatnoća da oba puta pogodi je [inlmath]p\cdot p =p^2[/inlmath].
  • Naravno verovatnoća da će ubaciti više od [inlmath]2[/inlmath] koša je [inlmath]0[/inlmath].

Ako sličnu analizu napravimo za [inlmath]S_3[/inlmath] dobićemo verovatnoće [inlmath]q^3, 3q^2p, 3qp^2, p^3[/inlmath] redom za slučajve 0 pogotka, 1 pogodak, 2 pogotka, 3 pogotka. Ako uzmemo konkretne brojeve, npr[inlmath]q=0.3[/inlmath] i [inlmath]p=0.7[/inlmath], dobijamo verovatnoće [inlmath]0.027[/inlmath], [inlmath]0.189[/inlmath], [inlmath]0.441[/inlmath], [inlmath]0.343[/inlmath].

Uz malo kombinatorike, dobijamo da je verovatnoća događaja [inlmath]\{S_n=k\}[/inlmath] gde je [inlmath]0\le k \le n[/inlmath] baš [dispmath]{n \choose k}p^k q^{n-k}[/dispmath]
jer je [inlmath]{n \choose k}[/inlmath] broj na koliko načina je moguće da dobijemo [inlmath]k[/inlmath] uspešnih od [inlmath]n[/inlmath] eksperimenata...

Izraz malo deluje strašno, ali zanimljivo je da možemo da izračunamo neke osobine promenljive [inlmath]S_n[/inlmath]. Prvo, očekivana vrednost (ili ono što bi laici rekli prosek) je [inlmath]np[/inlmath]. Ovo nije iznenađujuće, jer ako košarkaš pogađa sa šansom [inlmath]p=0.7[/inlmath] tada očekujemo da će u [inlmath]n=10[/inlmath] bacanja da pogodi [inlmath]0.7 \cdot 10 = 7[/inlmath] puta. Ako šutira [inlmath]100[/inlmath] puta očekujemo da će da ubaci [inlmath]70[/inlmath] puta. Dakle vidimo da očekivanje raste sa brojem pokušaja (sasvim logično). Ali vidimo da i disperzija (mera koliko veličina varira) takođe raste sa brojem pokušaja. Veličina [inlmath]S_{10}[/inlmath] se nalazi između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]10[/inlmath], a veličina [inlmath]S_{100}[/inlmath] se nalazi između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]100[/inlmath]. Zapravo, lako se može pokazati da je disperzija baš [inlmath]pqn[/inlmath].

Standardizovana normalna raspodela ima očekivanje [inlmath]0[/inlmath] i disperiziju [inlmath]1[/inlmath], što se sasvim razlikuje od [inlmath]S_n[/inlmath]. Ali veličina [inlmath]S_n- E(S_n)=S_n-np[/inlmath] ima očekivanje [inlmath]0[/inlmath] i disperiziju [inlmath]npq[/inlmath]. Sada je još dovoljno da "popravimo" disperziju, što se naravno postiže deljenjem sa korenom disperzije (veličina koja je poznata i kao standardna devijacija). Dakle veličina [dispmath]S^*_n = \frac{S_n-np}{\sqrt{npq}}[/dispmath] ima očekivanje [inlmath]0[/inlmath] i disperziju [inlmath]1[/inlmath]. Ali to ne znači da je ovo standardizovana normalna raspodela! Prvo [inlmath]S^*_n[/inlmath] je diskretna veličina (uzima samo [inlmath]n+1[/inlmath] vrednost), dok promenljiva normalne raspodele može uzeti bilo koji realan broj! Ono što tvrdi teorema koji si naveo je da [inlmath]S^*_n[/inlmath] u nekom smislu teži slučajnoj promenljivi sa standardizovanom normalnom raspodelom! Sledeći GIF to lepo prikazuje:

De_moivre-laplace.gif
De_moivre-laplace.gif (21.38 KiB) Pogledano 467 puta


Na GIFu vidimo funkcije raspodele promenljive [inlmath]S^*_n[/inlmath] za razlilčito [inlmath]n[/inlmath], pri čemu je uzeto da je [inlmath]p=q=0.5[/inlmath]. Vidimo kako sama funkcija raspodele teži funkciji raspodele normalne respodele tj. [inlmath]\Phi[/inlmath]. Za dovoljno veliko [inlmath]n[/inlmath] (npr [inlmath]n>100[/inlmath]) možemo smatrati da [inlmath]S^*_n[/inlmath] ima standardizovanu normalnu raspodelu.

Ova teorema je zapravo jedan slučaj centralne granične teoreme, koja je takođe sasvim intuitivna.
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 625
Zahvalio se: 385 puta
Pohvaljen: 644 puta

Re: Moavr-Laplas teorema

Postod keohone » Subota, 27. Januar 2024, 11:09

Veliko hvala! Jasno mi je sada!
keohone  OFFLINE
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na VEROVATNOĆA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 16. Jul 2024, 03:10 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs