Tek sad videh da si naknadno dopisala post još jednim zadatkom. Molim te da ga postaviš u posebnu temu, pošto je ovo tema o Moivre–Laplaceovoj teoremi. Takođe, podsetio bih te i na tačku 6. Pravilnika.

Možete obrisati taj zadatak. U međuvremenu sam ga rešila.

1.Oko [inlmath]80\%[/inlmath] zrna kukuruza proklija.
(a) Ako je zasadjeno [inlmath]100[/inlmath] zrna, odrediti verovatnocu da ce proklijati od [inlmath]60[/inlmath] do [inlmath]90[/inlmath] zrna.
(b) Koliko bi najmanje zrna trebalo zasaditi da bi sa verovatnocom [inlmath]0.90[/inlmath] proklijalo vise od [inlmath]70[/inlmath] zrna.

Pod a)
[dispmath]n=100,\;p=0.8,\;np=80,\;\sqrt{npq}=4,\\
\qquad P(60\le X\le90)=P\left(\frac{60-np}{\sqrt{npq}}\le X^*\le\frac{90-np}{\sqrt{npq}}\right)=P\left(-5\le X^*\le2.5\right)=F(2.5)+F(5)=0.99379[/dispmath]
Uradila sam pod a, isti je princip kao u zadacima sa ove teme, koristila sam tablicu normalne raspodele, mislim da je dobro. Pod b, nisam sigurna da sam dobro postavila zadatak, evo kako sam pocela. Sada trazimo [inlmath]n[/inlmath].
[dispmath]0.90=P(X>70)=1-P(0\le X\le70)=1-P\left(\frac{-np}{\sqrt{npq}}\le X^*\le\frac{70-np}{\sqrt{npq}}\right)[/dispmath]
Ako moze neko da mi pomogne.

Pod a) je rezultat u redu, jedino što imam primedbu na ovaj deo postupka:

JelenaMat je napisao:[dispmath]\cdots=P\left(-5\le X^*\le2.5\right)={\color{red}F(2.5)+F(5)}=0.99379[/dispmath]

Budući da se funkcija standardizovane normalne raspodele definiše kao
[dispmath]F\left(X\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\color{red}\displaystyle-\infty}^{\displaystyle X}e^{\displaystyle-\frac{x^2}{2}}\mathrm dx[/dispmath]
tada bi bilo
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
F\left(2,5\right)\approx0,99379\\
F\left(5\right)\approx1
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad F\left(2,5\right)+F\left(5\right)\approx1,99379[/dispmath]
što, naravno, ne može biti tačno, jer verovatnoća ne može biti veća od jedinice.

Zato bi to ovde trebalo da se napiše kao
[dispmath]\cdots=P\left(-5\le X^*\le2,5\right)=P\left(X^*\le2,5\right)-P\left(X^*<-5\right)=F\left(2,5\right)-\underbrace{F\left(-5\right)}_{\displaystyle\approx0}\approx F\left(2,5\right)=0.99379[/dispmath]
Tvoj način zapisivanja bi bio OK kada bi funkcija standardizovane normalne raspodele bila definisana kao
[dispmath]F\left(X\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\color{red}\displaystyle0}^{\displaystyle X}e^{\displaystyle-\frac{x^2}{2}}\mathrm dx[/dispmath]
Ne znam, možda negde postoje i takve tablice, ali one nisu baš najstandardnije.

JelenaMat je napisao:Pod b, nisam sigurna da sam dobro postavila zadatak, evo kako sam pocela. Sada trazimo [inlmath]n[/inlmath].
[dispmath]0.90=P(X>70)=1-P(0\le X\le70)=1-P\left(\frac{-np}{\sqrt{npq}}\le X^*\le\frac{70-np}{\sqrt{npq}}\right)[/dispmath]
Ako moze neko da mi pomogne.

To je OK, s tim što nema potrebe da pišeš [inlmath]P\left(0\le X\le70\right)[/inlmath], budući da je [inlmath]X[/inlmath] prirodan broj, pa je, samim tim, svakako veći od nule, tj. [inlmath]P\left(X\ge0\right)=1[/inlmath]. Znači, umesto [inlmath]P\left(0\le X\le70\right)[/inlmath] dovoljno je pisati [inlmath]P\left(X\le70\right)[/inlmath], pa je onda
[dispmath]0,9=P\left(X>70\right)=1-P\left(X\le70\right)=1-P\left(X^*\le\frac{70-np}{\sqrt{npq}}\right)=1-F\left(\frac{70-np}{\sqrt{npq}}\right)[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad F\left(\frac{70-np}{\sqrt{npq}}\right)=0,1[/dispmath]
Zatim iz tablica odrediš koliko je [inlmath]\displaystyle\frac{70-np}{\sqrt{npq}}[/inlmath], pa pošto su ti [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] poznati, dobiješ jednačinu iz koje lako nađeš [inlmath]n[/inlmath]...

Hvala na odgovoru. Samo, kod mene u tablici je [inlmath]F(2.5)=0.49379[/inlmath]. Nisu iste tablice, ali isto se dobija na kraju.

Da, u tvojim tablicama se pod funkcijom [inlmath]F\left(X\right)[/inlmath] smatra zelena površina na ovoj prvoj slici,


za razliku od onih standardnih tablica kod kojih [inlmath]F\left(X\right)[/inlmath] odgovara zelenoj površini na ovoj slici:


ali, što kažeš, bitno da se dobije isti rezultat.

Verovatnoća da student položi kolokvijum je [inlmath]0.8[/inlmath]. Pretpostavimo da studenti polažu kolokvijum nezavisno jedan od drugog. Ako na kolokvijum izadje [inlmath]80[/inlmath] studenata, pomoću teoreme Muavr-Laplas-a izračunati verovatnoću da će položiti bar [inlmath]40[/inlmath] studenata.

Pokusavao sam da resim zadatak po formuli gde je [inlmath]n=80[/inlmath], [inlmath]p=0.8[/inlmath] i [inlmath]q=0.2[/inlmath], [inlmath]np=64[/inlmath], [inlmath]\sqrt{npq}=12.8[/inlmath]
[dispmath]P(X\ge40)=\left(\frac{40-64}{12.8}\right)[/dispmath]
ali zbog brojioca u razlomku dobija negativan broj…kako da resim ovaj problem?

Molim te da, radi preglednosti koju na ovom forumu negujemo, formule kucaš u Latex-u (tačka 13. Pravilnika). Uputstvo imaš ovde.

Da, u brojiocu ispadne negativan broj, ali to ne treba da te buni. Negativna vrednost razlomka ne predstavlja ni verovatnoću, ni vrednost slučajne promenljive (broj studenata), već predstavlja onu vrednost za koju tražimo verovatnoću da će standardizovana slučajna promenljiva s normalnom raspodelom [inlmath]\mathcal{N}\left(0,1\right)[/inlmath] biti veća od te vrednosti. Standardizovana slučajna promenljiva može imati i pozitivne i negativne vrednosti (srednja vrednost joj je nula – pogledaj grafike koje sam crtao u svom prethodnom postu), tako da nije ništa neobično što se za taj razlomak dobija negativna vrednost.
Verovatno te zbunilo to što si loše napisao tu formulu. Iz onog kako si je napisao, [inlmath]P(X\ge40)=\left(\frac{40-64}{12.8}\right)[/inlmath], zaista bi se moglo zaključiti da se za verovatnoću dobije negativna vrednost. Ta formula, zapravo, treba da glasi
[dispmath]P(X\ge40)=P\left(X^*\ge\frac{40-64}{\sqrt{12.8}}\right)[/dispmath]
Takođe, obrati pažnju i na to da u imeniocu treba da se nalazi kvadratni koren ([inlmath]\sqrt{npq}[/inlmath] je jednako [inlmath]\sqrt{12.8}[/inlmath], a ne [inlmath]{12.8}[/inlmath]).

---

I nekoliko postova ranije (konkretno, ovaj post) imali smo zadatak u kojem određujemo verovatnoću da se standardizovana slučajna promenljiva nalazi između neke negativne i neke pozitivne vrednosti, tako da negativne vrednosti u ovakvim zadacima nisu ništa čudno.

Izvinjavam se, prvi put sam na ovom forumu, ali vidim da cemo se druziti, tako da cu nauciti, obecavam =D
Sad me intresuje nastavak zadatka, da li ja ovu negativnu vrednost koju sam dobio treba da ubacim u formulu:
[dispmath]F\left(X\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\displaystyle-\infty}^{\displaystyle X}e^{\displaystyle-\frac{x^2}{2}}\mathrm dx[/dispmath]
i to kao granicu integrala ? takvim racunanjem dobijam
[dispmath]x=3.95\cdot10^{-9}[/dispmath]
jel to dobro? prvi put radim ovakve zadatke pa uopste nema osecaj sta i kako treba...ako nije dobro, molim Vas da mi objasnite kako da uradim pravilno =)

Ne znam koji si softver koristio za računanje tog integrala, ali kad u taj integral uvrstiš [inlmath]X^*=\frac{40-64}{\sqrt{12,8}}[/inlmath], treba da se dobije [inlmath]\approx9,85\cdot10^{-12}[/inlmath].

E sad, taj integral se, pošto su mu granice od [inlmath]-\infty[/inlmath] do [inlmath]X^*[/inlmath], odnosi na površinu ispod Gausove krive levo od vrednosti [inlmath]X^*[/inlmath] (na slici obeležena crveno):


To je, zapravo, verovatnoća da će najviše [inlmath]40[/inlmath] studenata položiti kolokvijum (tj. suprotan događaj od onog koji ti posmatraš).

Tebi treba verovatnoća da slučajna promenljiva uzima vrednosti veće od [inlmath]X^*[/inlmath], a ta verovatnoća odgovara površini ispod Gausove krive desno od vrednosti [inlmath]X^*[/inlmath] (na slici obeležena zeleno). Pošto je ukupna površina ispod Gausove krive jednaka jedinici (što odgovara verovatnoći sigurnog događaja), to znači da traženu verovatnoću (zelenu površinu) dobiješ tako što od jedinice oduzmeš crvenu površinu. Znači,
[dispmath]P\approx1-9,85\cdot10^{-12}[/dispmath]
(jedinica umanjena za vrednost verovatnoće da najviše [inlmath]40[/inlmath] studenata položi kolokvijum)
Očigledno da je ova verovatnoća vrlo, vrlo bliska jedinici, što znači da možemo reći da će skoro sigurno bar [inlmath]40[/inlmath] studenata položiti kolokvijum.