MATEMANIJA

Kao sto u naslovu kaze sta je jedno a sta drugo? Pomalo sam zbunjen. Citam knjigu za 4 razred gimnazije verovatnocu posto je uopste nismo radili. Cak ni Bajesovu formulu i formulu totalne verovatnoce. Koliko sam shvatio funkcija raspodele je ona funkcija koja nekom intervalu [inlmath]a\leq X\leq b[/inlmath] dodeljuje verovatnocu da slucajna promenljiva uzme vrednst iz njegovog intervala i to je ok. E sad definicija funkcije gustine raspodele:
Za neku slucajnu promenljivu kazemo da je apsolutno neprekidnog tipa ako postoji funkcija [inlmath]f(t)[/inlmath] tako da se funkcija raspodele [inlmath]F(x)=P(X\leq x)[/inlmath] moze izraziti kao
[dispmath]F(x)=\int\limits_{-\infty}^xf(t)\mathrm dt[/dispmath]
Tada se funkcija [inlmath]f(t)[/inlmath] zove gustina raspodele.
I to znaci da povrsina ispod gustine raspodele odgvara verovatnoci. Iz knjige ne mogu da shvatim kako se ovo primenjuje u realnom zivotu ili kako se pravi funkcija gustine raspodele za neki konkretan problem. Iz knjige mogu samo da raspalim integral od minus beskonacno do beskonacno i resvam zadatke ko zombi. I ako moze neki prostiji primer.

Ne valja ovo, tj. nije dovoljno pojašnjeno:

Tada se funkcija [inlmath]f(t)[/inlmath] zove gustina raspodele.

[inlmath]F(x)[/inlmath] je funkcija raspodele i zavisi od [inlmath]x[/inlmath].
Gustina raspodele je prvi izvod funkcije raspodele.
Integral po [inlmath]t[/inlmath] zavisi od granica.
Autori brljaju po teoriji verovatnoće neviđeno, razumeo sam tvoje pitanje.

Odgovaram uskoro detaljno. Nemam sada vremena.
Konačno neko da pita nešto u vezi sa teorijom verovatnoće i neprekidnom slučajnom promenljivom

Evo ovde isecka gde se uvodi pojam gustine raspodele u knjizi.

desideri je napisao:[inlmath]F(x)[/inlmath] je funkcija raspodele i zavisi od [inlmath]x[/inlmath].

E sad ovo nisam shvatio sta hoces da kazes? Kako je [inlmath]x[/inlmath] granica integrala samim tim utice na povrsinu, a kako je povrsina verovatnoca, utice i na funkciju raspodele.

desideri je napisao:Gustina raspodele je prvi izvod funkcije raspodele.

I ovo mi je jasno. To sledi po fundamentalnoj teoremi integralnog racuna
[dispmath]f(x)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int\limits_{-\infty}^xf(t)\mathrm dt[/dispmath]
Meni ona definicija kao sto je na slici samo uvodi nov pojam ali mi nista ne govori kako da ga koristim ili kako se pravi ta funkcija.
Jedvan cekam da procitam objasnjenje.

---

Isečak iz knjige:

Za slučajnu promenljivu [inlmath]X[/inlmath] kaže se da je apsolutno neprekidnog tipa ako postoji nenegativna funkcija [inlmath]f[/inlmath], pomoću koje njena funkcija raspodele [inlmath]F[/inlmath] može ovako da se izrazi:
[dispmath]\left(5.8\right)\qquad\qquad F\left(x\right)=\int\limits_{-\infty}^xf\left(t\right)\mathrm dt,\;x\in\mathbb{R}[/dispmath]
Pri tom se funkcija [inlmath]f[/inlmath] naziva gustinom raspodele (verovatnoća) slučajne promenljive [inlmath]X[/inlmath].

Napominjemo da integral sa beskonačnom donjom (ili gornjom) granicom, tzv. nesvojstveni integral, treba shvatiti kao graničnu vrednost određenog integrala, kad njegova donja granica teži [inlmath]-\infty[/inlmath]:
[dispmath]\int\limits_{-\infty}^xf\left(t\right)\mathrm dt=\lim_{y\to-\infty}\int\limits_y^xf\left(t\right)\mathrm dt[/dispmath]
(ili gornja granica teži [inlmath]+\infty[/inlmath]) (primer 7 u odeljku 3.3.4 i napomena posle njega).

Pa evo ovako:
[dispmath]F(x)=P(X<x)=P(-\infty<X<x)=\int\limits_{-\infty}^xf(x)\mathrm dx=\int\limits_{-\infty}^xf(t)\mathrm dt[/dispmath]
Funkcija raspodele je verovatnoća, i to po knjigama autori stalno zaboravljaju da naglase, dakle između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath].
A svejedno je da li je integral po [inlmath]t[/inlmath] ili po [inlmath]x[/inlmath], zavisiće od granice, tj. od [inlmath]x[/inlmath].

Nisam se dorekao:
Funkcija raspodele [inlmath]F(x)[/inlmath] mora zavisiti od [inlmath]x[/inlmath] i to je na grafiku gustine raspodele pomična koordinata, tj. [inlmath]x[/inlmath].
Nacrtaću ti i sliku, obećavam. Gustina raspodele je uvek nenegativna, a funkcija raspodele je neopadajuća funkcija.
Vidi ovako: Ako funkcija raste, njen izvod je pozitivan. Ako funkcija ne opada, njen izvod je nenegativan.
Da li je ovo za sada jasno, pa da nastavimo?

Ma meni je to jasno. Ali me buni kako se konstruise gustina raspodele za neki konkretan primer. Da li se prvo pravi raspodela ili gustina za proces? Mislim da bi mogao ovo da sazmem u pitanje sta je starije koka ili jaje

Evo ti onda jedan primer:
[dispmath]f(x)=\begin{cases} x, & 0\le x<1\\{2-x}, & 1\le x\le2 \end{cases}[/dispmath]
Ovo je čuvena "trouglasta" Simpsonova raspodela.
U skladu s tvojim nickom, što reče svojevremeno Daniel
Kako bi našao funkciju raspodele?
Koliko je [inlmath]F(x)[/inlmath]?
A primera iz prakse...
Pa koliko želiš, ali hajde prvo čista matematika, molim te.

Funkcija raspodele je:
[dispmath]F(x)=\int\limits_{-\infty}^xf(t)\mathrm dt[/dispmath][dispmath]F(x)=\begin{cases} \frac{x^2}{2}, & 0\leq x<1\\ -\frac{x^2}{2}+2x-1, & 1\leq x\leq2\end{cases}[/dispmath]
Ovde sam samo razbio integral na manje delove.

Sasvim tačno.
Ja bih ovde samo još dopunio sa:
[dispmath]F(x)=\begin{cases} 0, & x<0\\ \frac{x^2}{2}, & 0\leq x<1\\ -\frac{x^2}{2}+2x-1, & 1\leq x\leq2\\ 1, & x>2\end{cases}[/dispmath]
Kontrola je da je [inlmath]F(0)=0[/inlmath], zatim [inlmath]F(1)=\frac{1}{2}[/inlmath], zatim isto [inlmath]F(1)=\frac{1}{2}[/inlmath] i, naravno:
[inlmath]F(2)=1[/inlmath].
Vidim da si sve perfektno razumeo, no te molim da objasniš ovo moje "isto"
Zbog ostalih korisnika i gostiju.

To je zbog toga da bi funkcija raspodele bila neprekidna. Evo i slika napravljenih u geogebri.
Funkcija gustine raspodele:


Funkcija raspodele: