MATEMANIJA

Kao sto u naslovu kaze sta je jedno a sta drugo? Pomalo sam zbunjen. Citam knjigu za 4 razred gimnazije verovatnocu posto je uopste nismo radili. Cak ni Bajesovu formulu i formulu totalne verovatnoce. Koliko sam shvatio funkcija raspodele je ona funkcija koja nekom intervalu [inlmath]a\leq X\leq b[/inlmath] dodeljuje verovatnocu da slucajna promenljiva uzme vrednst iz njegovog intervala i to je ok. E sad definicija funkcije gustine raspodele:
Za neku slucajnu promenljivu kazemo da je apsolutno neprekidnog tipa ako postoji funkcija [inlmath]f(t)[/inlmath] tako da se funkcija raspodele [inlmath]F(x)=P(X\leq x)[/inlmath] moze izraziti kao
[dispmath]F(x)=\int\limits_{-\infty}^xf(t)\mathrm dt[/dispmath]
Tada se funkcija [inlmath]f(t)[/inlmath] zove gustina raspodele.
I to znaci da povrsina ispod gustine raspodele odgvara verovatnoci. Iz knjige ne mogu da shvatim kako se ovo primenjuje u realnom zivotu ili kako se pravi funkcija gustine raspodele za neki konkretan problem. Iz knjige mogu samo da raspalim integral od minus beskonacno do beskonacno i resvam zadatke ko zombi. I ako moze neki prostiji primer.

Ne valja ovo, tj. nije dovoljno pojašnjeno:

Tada se funkcija [inlmath]f(t)[/inlmath] zove gustina raspodele.

[inlmath]F(x)[/inlmath] je funkcija raspodele i zavisi od [inlmath]x[/inlmath].
Gustina raspodele je prvi izvod funkcije raspodele.
Integral po [inlmath]t[/inlmath] zavisi od granica.
Autori brljaju po teoriji verovatnoće neviđeno, razumeo sam tvoje pitanje.

Odgovaram uskoro detaljno. Nemam sada vremena.
Konačno neko da pita nešto u vezi sa teorijom verovatnoće i neprekidnom slučajnom promenljivom

Evo ovde isecka gde se uvodi pojam gustine raspodele u knjizi.

desideri je napisao:[inlmath]F(x)[/inlmath] je funkcija raspodele i zavisi od [inlmath]x[/inlmath].

E sad ovo nisam shvatio sta hoces da kazes? Kako je [inlmath]x[/inlmath] granica integrala samim tim utice na povrsinu, a kako je povrsina verovatnoca, utice i na funkciju raspodele.

desideri je napisao:Gustina raspodele je prvi izvod funkcije raspodele.

I ovo mi je jasno. To sledi po fundamentalnoj teoremi integralnog racuna
[dispmath]f(x)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int\limits_{-\infty}^xf(t)\mathrm dt[/dispmath]
Meni ona definicija kao sto je na slici samo uvodi nov pojam ali mi nista ne govori kako da ga koristim ili kako se pravi ta funkcija.
Jedvan cekam da procitam objasnjenje.

---

Isečak iz knjige:

Za slučajnu promenljivu [inlmath]X[/inlmath] kaže se da je apsolutno neprekidnog tipa ako postoji nenegativna funkcija [inlmath]f[/inlmath], pomoću koje njena funkcija raspodele [inlmath]F[/inlmath] može ovako da se izrazi:
[dispmath]\left(5.8\right)\qquad\qquad F\left(x\right)=\int\limits_{-\infty}^xf\left(t\right)\mathrm dt,\;x\in\mathbb{R}[/dispmath]
Pri tom se funkcija [inlmath]f[/inlmath] naziva gustinom raspodele (verovatnoća) slučajne promenljive [inlmath]X[/inlmath].

Napominjemo da integral sa beskonačnom donjom (ili gornjom) granicom, tzv. nesvojstveni integral, treba shvatiti kao graničnu vrednost određenog integrala, kad njegova donja granica teži [inlmath]-\infty[/inlmath]:
[dispmath]\int\limits_{-\infty}^xf\left(t\right)\mathrm dt=\lim_{y\to-\infty}\int\limits_y^xf\left(t\right)\mathrm dt[/dispmath]
(ili gornja granica teži [inlmath]+\infty[/inlmath]) (primer 7 u odeljku 3.3.4 i napomena posle njega).

Pa evo ovako:
[dispmath]F(x)=P(X<x)=P(-\infty<X<x)=\int\limits_{-\infty}^xf(x)\mathrm dx=\int\limits_{-\infty}^xf(t)\mathrm dt[/dispmath]
Funkcija raspodele je verovatnoća, i to po knjigama autori stalno zaboravljaju da naglase, dakle između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath].
A svejedno je da li je integral po [inlmath]t[/inlmath] ili po [inlmath]x[/inlmath], zavisiće od granice, tj. od [inlmath]x[/inlmath].

Nisam se dorekao:
Funkcija raspodele [inlmath]F(x)[/inlmath] mora zavisiti od [inlmath]x[/inlmath] i to je na grafiku gustine raspodele pomična koordinata, tj. [inlmath]x[/inlmath].
Nacrtaću ti i sliku, obećavam. Gustina raspodele je uvek nenegativna, a funkcija raspodele je neopadajuća funkcija.
Vidi ovako: Ako funkcija raste, njen izvod je pozitivan. Ako funkcija ne opada, njen izvod je nenegativan.
Da li je ovo za sada jasno, pa da nastavimo?

Ma meni je to jasno. Ali me buni kako se konstruise gustina raspodele za neki konkretan primer. Da li se prvo pravi raspodela ili gustina za proces? Mislim da bi mogao ovo da sazmem u pitanje sta je starije koka ili jaje

Evo ti onda jedan primer:
[dispmath]f(x)=\begin{cases} x, & 0\le x<1\\{2-x}, & 1\le x\le2 \end{cases}[/dispmath]
Ovo je čuvena "trouglasta" Simpsonova raspodela.
U skladu s tvojim nickom, što reče svojevremeno Daniel
Kako bi našao funkciju raspodele?
Koliko je [inlmath]F(x)[/inlmath]?
A primera iz prakse...
Pa koliko želiš, ali hajde prvo čista matematika, molim te.

Funkcija raspodele je:
[dispmath]F(x)=\int\limits_{-\infty}^xf(t)\mathrm dt[/dispmath][dispmath]F(x)=\begin{cases} \frac{x^2}{2}, & 0\leq x<1\\ -\frac{x^2}{2}+2x-1, & 1\leq x\leq2\end{cases}[/dispmath]
Ovde sam samo razbio integral na manje delove.

Sasvim tačno.
Ja bih ovde samo još dopunio sa:
[dispmath]F(x)=\begin{cases} 0, & x<0\\ \frac{x^2}{2}, & 0\leq x<1\\ -\frac{x^2}{2}+2x-1, & 1\leq x\leq2\\ 1, & x>2\end{cases}[/dispmath]
Kontrola je da je [inlmath]F(0)=0[/inlmath], zatim [inlmath]F(1)=\frac{1}{2}[/inlmath], zatim isto [inlmath]F(1)=\frac{1}{2}[/inlmath] i, naravno:
[inlmath]F(2)=1[/inlmath].
Vidim da si sve perfektno razumeo, no te molim da objasniš ovo moje "isto"
Zbog ostalih korisnika i gostiju.

To je zbog toga da bi funkcija raspodele bila neprekidna. Evo i slika napravljenih u geogebri.
Funkcija gustine raspodele:


Funkcija raspodele:

Nikakvu primedbu nemam.
Odlično nacrtano, potvrđujem da je to – to.
Pošto si se zanimao i za neki primer iz prakse, evo zadatka (pišem ga po sećanju, no navešću i izvor):

Vek trajanja elektronske cevi zadat je gustinom raspodele (u vremenskim jedinicama, na primer satima ili danima ili godinama):
[dispmath]f(x)=\begin{cases} cx^{-3}, & 100\le x\le300\\ 0, & x\notin[100,300] \end{cases}[/dispmath]
Naći konstantu [inlmath]c[/inlmath] a potom i verovatnoću da cev "živi" duže od [inlmath]200[/inlmath] vremenskih jedinica.

E u tome je problem ja sam odradio 10-tak takvih zadataka iz cuga. Ali zasto je vek trajanja cevi povezan sa funkcijom
[dispmath]f(x)=c\cdot x^{-3}[/dispmath]
sto nije neka druga? Uzmimo da ja ne znam da je ta gustina raspodele za cevi i da prvi put se u istoriji covecanstva bavim elektronskim cevima kako bih ja za taj problem procenio koja je funkcija najpogodnija.
Da bi smo nasli [inlmath]c[/inlmath] koristimo sledce svojstvo gustine raspodele.
[dispmath]1=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm dx[/dispmath][dispmath]\int\limits_{100}^{300}c\cdot x^{-3}\mathrm dx=1[/dispmath][dispmath]c\int\limits_{100}^{300}x^{-3}\mathrm dx=1[/dispmath][dispmath]c\cdot\left(\frac{300^{-2}}{-2}-\frac{100^{-2}}{-2}\right)=1[/dispmath][dispmath]c=22500[/dispmath]
Znaci funkcija gustine je
[dispmath]f(x)=\begin{cases} 22500x^{-3}, & 100\leq x\leq300\\ 0, & x\notin[100,300] \end{cases}[/dispmath]
E sad posto kaze da zivi duze od [inlmath]200[/inlmath] znaci da je negde izmedju [inlmath]200[/inlmath] i [inlmath]300[/inlmath]
[dispmath]\int\limits_{200}^{300}22500x^{-3}\mathrm dx=22500\cdot\left(\frac{300^{-2}}{-2}-\frac{200^{-2}}{-2}\right)=0.15625=15.625\%[/dispmath]

Trougao je napisao:E u tome je problem ja sam odradio 10-tak takvih zadataka iz cuga. Ali zasto je vek trajanja cevi povezan sa funkcijom

Povezan je sa funkcijom zato što je tako zadao funkciju autor zadatka.
Pravo da ti kažem, nemam ni ja predstavu kako su vekovi trajanja elektronskih cevi ili ko zna čega u praksi raspodeljeni.
Možda se nismo razumeli.
Ne treba ti o tome da razmišljaš, takva je funkcija kakva je.
I ti si super rešio zadatak.
A do oblika funkcije raspodele ili gustine u praksi se dolazi statističkim opservacijama, uzima se uzorak od npr. par hiljada cevi pa se ispituje koja bi to poznata (ili nepoznata) raspodela verovatnoća bila.
Koriste se neparametarski testovi, npr. test hi kvadrat (Pirsonov, Pearson, chi-square test) ili test Kolmogorova (samo za neprekidne raspodele).
A za procenu parametara raspodele koristi se metod momenata ili metod maksimalne verodostojnosti (likelyhood).
Ali ja stvarno mislim da ti toliko uranjanje u primenjenu matematiku nije potrebno.
No ako te zanima, sjajno, nastavljamo temu

Bojim se da ja toliko ne bih ni mogao da shvatim, a statistiku i ne volim preterano. Sad radim malo verovatnocu cito da kad budem studirao matematiku da ne bude da vidim prvi put nesta. Delovalo mi je komplikovano ispocetka ali sad sa sporim progresom napredujem . Iz knjige sam presao binomnu, Poasonovu i normalnu raspodelu i zavrsio sve sa verovatnocom osim zadataka iz ovih raspodela + cu jos malo da utvrdim Bajesovu formulu, tako da ce mi mozda trebati pomoc tu.

E pa sjajno.
Ne znam da li si pročitao moj tutorijal na temu diskretnih raspodela.
Spremam i još jedan na temu neprekidnih, ali kada će biti – ne zna se
Za Bajesovu formulu i šta god u vezi s tim, slobodno otvaraj novu temu u potforumu Verovatnoća, jedva čekam