Neka su [inlmath]X_1,X_2,\ldots,X_n[/inlmath] nezavisne slučajne promenljive sa eksponencijalnom raspodelom [inlmath]\varepsilon(1)[/inlmath]. Naći matematičko očekivanje slučajne promenljive [inlmath]Y=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2-\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\right)^2[/inlmath].
Rešenje:
[dispmath]E(X_i)=\frac{1}{1}=1\\
D(X_i)=\frac{1}{1^2}=1\\
E\left(X^2_i\right)=D(X_i)+E^2(X_i)=2\\
E(Y)=E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^2-\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\right)^2\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE\left(X_i^2\right)-E\left(\left(\frac{1}{n}\right)^2\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)^2\right)=\\
=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n2-\frac{1}{n^2}E\left(\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)^2\right)=\frac{2n}{n}-\frac{1}{n^2}E\left(\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)^2\right)=\cdots[/dispmath] Sad valjda ide neka formula za kvadrat sume. Fora je što ne znam kako glasi i kako se koristi, na internetu sam nalazio neke koje se ne poklapaju.
Znam da je valjda [inlmath]\sum_{1\leq i<j\leq n}c={n\choose2}c[/inlmath], ako može to da se iskoristi.
Voleo bih detaljniji postupak. Rezultat je [inlmath]\frac{n-1}{n}[/inlmath].