MATEMANIJA

Proizvod prolazi kroz tri kontrolna uredjaja. Prvi konstantuje nepravilnost koja se javlja kod [inlmath]10\%[/inlmath] proizvoda, drugi konstantuje nepravilnost koja se javlja kod [inlmath]15\%[/inlmath] proizvoda, i treca konstantuje nepravilnost koja se javlja kod [inlmath]5\%[/inlmath] proizvoda. Proizvod se odbacuje ako ima vise od jedne nepravilnosti. Kupac prihvata seriju od [inlmath]10000[/inlmath] proizvoda, ako ona ima manje od [inlmath]k[/inlmath] proizvoda koji se odbacuju. Naci [inlmath]k[/inlmath] tako da kupac prihvata seriju sa vjerovatnocom od [inlmath]0.99[/inlmath].

Prvo trebam izracunati vjerovatnocu da proizvod ima vise od jedne nepravilnosti, neka je [inlmath]P(A)=0.1[/inlmath], [inlmath]P(B)=0.15[/inlmath], [inlmath]P(C)=0.05[/inlmath] vjerovatnoce da proizvod ima nepravilnost kad prodje kroz prvi drugi i treci kontrolni uredjaj. Onda skup svih ishoda je [inlmath]\{AB,AC,BC,ABC\}[/inlmath], [inlmath]P(AB)=0.015[/inlmath], [inlmath]P(BC)=0.0075[/inlmath], [inlmath]P(AC)=0.005[/inlmath], [inlmath]P(ABC)=0.00075[/inlmath] pa vjerovatnoca da proizvod ima vise od jedne nepravilnosti je [inlmath]P(H)=0.015+0.0075+0.005+0.00075=0.02825[/inlmath], i onda iskoristim centralnu granicnu teoremu [inlmath]P(X<k)=\left(\frac{X-np}{\sqrt{npq}}<\frac{k-np}{npq}\right)=0.99[/inlmath], gdje je [inlmath]n=10\,000[/inlmath], interesuje me da li je ovaj prvi dio dobar i citav postupak?

Svaki od slučajeva [inlmath]AB[/inlmath], [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath] u sebi već obuhvata slučaj [inlmath]ABC[/inlmath]. Npr. slučaj [inlmath]AB[/inlmath] predstavlja proizvod koji ima prvu i drugu neispravnost, ali ništa se ne zna o trećoj neispravnosti – nju proizvod možda ima, možda nema.
Prema tome, kada si sabirao verovatnoće slučajeva [inlmath]AB[/inlmath], [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath], ti si zapravo triput sabrao verovatnoću slučaja [inlmath]ABC[/inlmath]. Zbog toga je potrebno da nakon toga verovatnoću slučaja [inlmath]ABC[/inlmath] oduzmeš dvaput (na tome se zasniva i teorema uključivanja i isključivanja).

Drugi način je da sabereš [inlmath]pq(1-r)[/inlmath], [inlmath]pr(1-q)[/inlmath] i [inlmath]qr(1-p)[/inlmath], a zatim na to dodaš još verovatnoću [inlmath]pqr[/inlmath] (ovde sam, radi lakšeg zapisa, sa [inlmath]p[/inlmath], [inlmath]q[/inlmath] i [inlmath]r[/inlmath] obeležio [inlmath]P(A)[/inlmath], [inlmath]P(B)[/inlmath] i [inlmath]P(C)[/inlmath], respektivno).
Znači, [inlmath]pq(1-r)[/inlmath] označava verovatnoću da proizvod ima prvu i drugu neispravnost a nema treću neispravnost itd.

P.S. Ispravno je konstatuje (od konstatovati). Triput si napisao s drugim n, tako da očigledno nije typo.