OK, mislim da je vreme da prokomentarišem rešavanje ovog zadatka.
Prvo – oznake. Bilo bi nezgodno koristiti početna slova imena, jer bismo onda imali tri „[inlmath]M[/inlmath]“. Označićemo zato tu trojicu sa [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath], pri čemu [inlmath]A[/inlmath] pogađa [inlmath]100\%[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] pogađa u [inlmath]80\%[/inlmath] slučajeva, a [inlmath]C[/inlmath] u [inlmath]50\%[/inlmath].
Zatim, što se tiče redosleda gađanja, imamo [inlmath]6[/inlmath] slučajeva (broj permutacija bez ponavljanja od [inlmath]3[/inlmath] elementa, [inlmath]P_3=3!=6[/inlmath]). To su slučajevi:
[dispmath]ABC\quad ACB\\
BAC\quad CAB\\
BCA\quad CBA[/dispmath] Slučajevi [inlmath]ABC[/inlmath] i [inlmath]ACB[/inlmath] su najjednostavniji, jer tada [inlmath]A[/inlmath] u startu kokne nekog od preostalih, zatim onaj preživeli ili kokne [inlmath]A[/inlmath] (čime je igra gotova), ili ga promaši pa [inlmath]A[/inlmath] u sledećem potezu kokne njega (čime je igra takođe gotova).
Pokazaću slučaj [inlmath]ABC[/inlmath], dok se slučaj [inlmath]ACB[/inlmath] radi sasvim analogno – njega prepuštam drugima, da ne bude da sam ja sve uradio.
Dakle, za slučaj [inlmath]ABC[/inlmath], verovatnoća preživljavanja igrača [inlmath]B[/inlmath] bila bi jednaka proizvodu verovatnoće da [inlmath]A[/inlmath] nije gađao u [inlmath]B[/inlmath] već je pogodio [inlmath]C[/inlmath] (a koja iznosi [inlmath]0,5[/inlmath]) i verovatnoće da je, u narednom potezu, [inlmath]B[/inlmath] pogodio [inlmath]A[/inlmath] (koja iznosi [inlmath]0,8[/inlmath]):
[dispmath]P(B)=0,5\cdot0,8=0,4[/dispmath] Verovatnoća preživljavanja igrača [inlmath]C[/inlmath] jednaka je verovatnoći da [inlmath]A[/inlmath] nije pogodio [inlmath]C[/inlmath] nego je pogodio [inlmath]B[/inlmath] (a koja iznosi [inlmath]0,5[/inlmath]) i verovatnoće da je, u narednom potezu, [inlmath]C[/inlmath] pogodio [inlmath]A[/inlmath] (koja iznosi [inlmath]0,5[/inlmath]):
[dispmath]P(C)=0,5\cdot0,5=0,25[/dispmath] Verovatnoća preživaljvanja igrača [inlmath]A[/inlmath] računa se nešto malo složenije (naravno, može kao [inlmath]1-P(B)-P(C)[/inlmath], ali je najsigurnije izračunati svaku posebno pa ako im je zbir jednak [inlmath]1[/inlmath] to je najbolja provera da smo sve tačno odradili). U slučaju da je [inlmath]A[/inlmath] u prvom potezu pogodio [inlmath]B[/inlmath] (a verovatnoća za to je [inlmath]0,5[/inlmath]), igrač [inlmath]A[/inlmath] će preživeti ako ga [inlmath]C[/inlmath] promaši (a verovatnoća za to je [inlmath]0,5[/inlmath]); u slučaju da je [inlmath]A[/inlmath] u prvom potezu pogodio [inlmath]C[/inlmath] (a verovatnoća za to je [inlmath]0,5[/inlmath]), igrač [inlmath]A[/inlmath] će preživeti ako ga [inlmath]B[/inlmath] promaši (a verovatnoća za to je [inlmath]0,2[/inlmath]). Dakle:
[dispmath]P(A)=0,5\cdot0,5+0,5\cdot0,2=0,35[/dispmath]
Samo na ovom primeru vidi se koliko je neophodan podatak da igrač s pojednakom verovatnoćom gađa u nekog od preostala dva igrača, jer bez tog podatka ne bismo mogli mrdnuti sa zadatkom.
Slučaj [inlmath]BAC[/inlmath]. Ovaj slučaj je već zanimljiviji, jer ovakav raspored otvara mogućnost da [inlmath]A[/inlmath] u startu bude ubijen, čime u igri ostaju [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath], od kojih nijedan nije savršen strelac, pa teoretski njihov dvoboj može da potraje do u beskonačnost (u slučaju da i jedan i drugi uporno promašuju).
No, krenimo prvo od najjednostavnijeg za računanje – to je verovatnoća preživljavanja igrača [inlmath]A[/inlmath]. Igrač [inlmath]A[/inlmath] će preživeti u jednom od dva slučaja:
- [inlmath]B[/inlmath] pogađa [inlmath]C[/inlmath] (jer će u narednom potezu [inlmath]A[/inlmath] pogoditi [inlmath]B[/inlmath]) – verovatnoća da će [inlmath]B[/inlmath] pogoditi [inlmath]C[/inlmath] jednaka je proizvodu verovatnoće da je [inlmath]B[/inlmath] pogodio ([inlmath]0,8[/inlmath]) i verovatnoće da je pogodio u [inlmath]C[/inlmath] a ne u [inlmath]A[/inlmath] ([inlmath]0,5[/inlmath]); prema tome, [inlmath]0,8\cdot0,5[/inlmath];
- [inlmath]B[/inlmath] promašuje, u koga god da je gađao (verovatnoća za ovo je [inlmath]0,2[/inlmath]); u narednom potezu ako [inlmath]A[/inlmath] pogodi [inlmath]B[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]), tada je potrebno da [inlmath]C[/inlmath] promaši [inlmath]A[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]), a ako [inlmath]A[/inlmath] pogodi [inlmath]C[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]), tada je potrebno da [inlmath]B[/inlmath] promaši [inlmath]A[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,2[/inlmath]) – dakle, [inlmath]0,2(0,5\cdot0,5+0,5\cdot0,2)[/inlmath].
[dispmath]P(A)=0,8\cdot0,5+0,2\left(0,5\cdot0,5+0,5\cdot0,2\right)=0,47[/dispmath] S verovatnoćom preživaljavanja igrača [inlmath]B[/inlmath] stvar je zanimljivija. On će preživeti u jednom od dva slučaja:
- [inlmath]B[/inlmath] pogađa (verovatnoća [inlmath]0,8[/inlmath]) i pritom ne pogađa [inlmath]C[/inlmath] (jer bi u sledećem potezu [inlmath]A[/inlmath] pogodio [inlmath]B[/inlmath]), već pogađa [inlmath]A[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]); zatim ga [inlmath]C[/inlmath] promašuje (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]); sada ili [inlmath]B[/inlmath] pogađa [inlmath]C[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,8[/inlmath]), ili [inlmath]B[/inlmath] promašuje (verovatnoća [inlmath]0,2[/inlmath]) pa [inlmath]C[/inlmath] promašuje (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]) pa onda opet – ili [inlmath]B[/inlmath] pogađa [inlmath]C[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,8[/inlmath]), ili [inlmath]B[/inlmath] promašuje (verovatnoća [inlmath]0,2[/inlmath]) pa [inlmath]C[/inlmath] promašuje (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]) i tako do u bekosnačnost; prema tome, [inlmath]0,8\cdot0,5\cdot0,5\Bigl(0,8+0,2\cdot0,5\bigl(0,8+0,2\cdot0,5(0,8+\cdots)\bigr)\Bigr)[/inlmath];
- [inlmath]B[/inlmath] promašuje (verovatnoća [inlmath]0,2[/inlmath]), nakon čega [inlmath]A[/inlmath] pogađa [inlmath]C[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]), nakon čega [inlmath]B[/inlmath] pogađa [inlmath]A[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,8[/inlmath]) – dakle, [inlmath]0,2\cdot0,5\cdot0,8[/inlmath].
[dispmath]P(B)=0,8\cdot0,5\cdot0,5\Bigl(0,8+0,2\cdot0,5\bigl(0,8+0,2\cdot0,5(0,8+\cdots)\bigr)\Bigr)+0,2\cdot0,5\cdot0,8[/dispmath] Vrednost beskonačnog izraza unutar zagrade može se izračunati postupkom nalaženja limesa niza, pri čemu se za taj izraz dobije da iznosi [inlmath]\frac{8}{9}[/inlmath]. Odatle je
[dispmath]P(B)=0,8\cdot0,5\cdot0,5\cdot\frac{8}{9}+0,2\cdot0,5\cdot0,8=\frac{58}{225}\quad(\approx0,26)[/dispmath] Verovatnoća preživaljvanja igrača [inlmath]C[/inlmath] računa se po sličnom principu. Opet imamo dva slučaja:
- [inlmath]B[/inlmath] pogađa (verovatnoća [inlmath]0,8[/inlmath]) i pritom ne pogađa [inlmath]C[/inlmath] već [inlmath]A[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]); sada [inlmath]C[/inlmath] ima dva načina da preživi: ili u sledećem potezu pogađa igrača [inlmath]B[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]), ili ga promašuje (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]) pa onda i [inlmath]B[/inlmath] promašuje [inlmath]C[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,2[/inlmath]), nakon čega [inlmath]C[/inlmath] opet ima dva načina da preživi – ili će pogoditi igrača [inlmath]B[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]), ili ga promašuje (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]) pa onda i [inlmath]B[/inlmath] promašuje [inlmath]C[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,2[/inlmath]), nakon čega [inlmath]C[/inlmath] opet ima dva načina da preživi, i tako do u beskonačnost: [inlmath]0,8\cdot0,5\Bigl(0,5+0,5\cdot0,2\bigl(0,5+0,5\cdot0,2(0,5+\cdots)\bigr)\Bigr)[/inlmath];
- [inlmath]B[/inlmath] promašuje (verovatnoća [inlmath]0,2[/inlmath]), nakon čega [inlmath]A[/inlmath] pogađa [inlmath]B[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]), pa [inlmath]C[/inlmath] pogađa [inlmath]A[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]) – dakle, [inlmath]0,2\cdot0,5\cdot0,5[/inlmath].
[dispmath]P(C)=0,8\cdot0,5\Bigl(0,5+0,5\cdot0,2\bigl(0,5+0,5\cdot0,2(0,5+\cdots)\bigr)\Bigr)+0,2\cdot0,5\cdot0,5[/dispmath] Za vrednost beskonačnog izraza unutar zagrade dobije se [inlmath]\frac{5}{9}[/inlmath]. Odatle je
[dispmath]P(C)=0,8\cdot0,5\cdot\frac{5}{9}+0,2\cdot0,5\cdot0,5=\frac{49}{180}\quad(\approx0,27)[/dispmath]
Slično se uradi i za ostale slučajeve, da sad ne ispisujem sve, ko želi eto mu zanimacije. Kod slučajeva [inlmath]BCA[/inlmath] i [inlmath]CBA[/inlmath] – tj. kod slučajeva u kojima [inlmath]A[/inlmath] gađa poslednji (i to ako uopšte stigne) – prilikom računanja verovatnoće preživljavanja i za [inlmath]B[/inlmath] i za [inlmath]C[/inlmath] imaćemo po dva scenarija u kojima može doći do „beskonačnog“ dvoboja, što ova dva slučaja čini još interesantnijim. Namerno ne pokazujem te postupke (zasad), toplo preporučujem da pokušate da ih uradite.
Na kraju, kad se uzmu u obzir rezultati svih šest slučajeva, dobija se
[dispmath]P(A)=\frac{171}{400}=42,75\%\\
P(B)=\frac{157}{450}\approx34,89\%\\
P(C)=\frac{161}{720}\approx22,36\%[/dispmath] Dakle, nimalo neiznenađujuć rezultat. Igrač [inlmath]A[/inlmath], kao što se i očekivalo, ima najviše šanse da preživi, dok najmanje šanse ima igrač [inlmath]C[/inlmath].