Pokazaću postupak za opštiji slučaj, da računamo verovatnoću da će se poslednji od [inlmath]6[/inlmath] posmatranih brojeva pojaviti u [inlmath]n[/inlmath]-tom izvlačenju. Dakle, u tvom primeru je [inlmath]n=27[/inlmath], lako to posle uvrstiš.
Možemo računati na više načina, ali je rezultat uvek isti (i to što je rezultat isti, najbolja je potvrda ispravnosti rešenja).
Prvi način (posmatramo brojeve pre [inlmath]n[/inlmath]-tog mesta, pri čemu je njihov redosled bitan – onako kako si i ti krenuo da radiš):
Broj povoljnih slučajeva:
Na [inlmath]n[/inlmath]-tom mestu treba da se nađe neki od naših [inlmath]6[/inlmath] brojeva – znači, [inlmath]6[/inlmath] mogućnosti.
Od [inlmath]n-1[/inlmath] prethodnih mesta, pošto se na [inlmath]5[/inlmath] mesta nalaze preostalih [inlmath]5[/inlmath] naših brojeva, na preostalih [inlmath]n-6[/inlmath] mesta treba da se nađu neki od [inlmath]48-6[/inlmath] preostalih brojeva. Njih možemo izabrati na [inlmath]42\choose n-6[/inlmath] načina, a zatim za tako izabranih [inlmath]n-1[/inlmath] brojeva nađemo još broj njihovih mogućih rasporeda ([inlmath]P_{n-1}=(n-1)![/inlmath]).
Dakle, broj povoljnih slučajeva je [inlmath]6\cdot{42\choose n-6}\cdot(n-1)![/inlmath].
Ukupan broj mogućnosti je broj načina na koje možemo od ukupno [inlmath]48[/inlmath] raspoloživih brojeva odabrati njih [inlmath]n[/inlmath], pri čemu je redosled bitan – to su varijacije bez ponavljanja [inlmath]V_{48}^n=\frac{48!}{(48-n)!}={48\choose n}\cdot n![/inlmath] (to je zapravo ono što si već izračunao, ali preko varijacija je nešto elegantnije).
Verovatnoća da će poslednji od šest izabranih brojeva biti izvučen [inlmath]n[/inlmath]-ti po redu jeste:
[dispmath]P(n)=\frac{6\cdot{42\choose n-6}\cdot(n-1)!}{{48\choose n}\cdot n!}[/dispmath]
Drugi način (posmatramo brojeve pre [inlmath]n[/inlmath]-tog mesta, pri čemu njihov redosled nije bitan):
Broj povoljnih slučajeva:
Na [inlmath]n[/inlmath]-tom mestu treba da se nađe neki od naših [inlmath]6[/inlmath] brojeva – znači, [inlmath]6[/inlmath] mogućnosti.
Od [inlmath]n-1[/inlmath] prethodnih mesta, pošto se na [inlmath]5[/inlmath] mesta nalaze preostalih [inlmath]5[/inlmath] naših brojeva, ostaje [inlmath]n-6[/inlmath] mesta na kojima treba da se nađu neki od [inlmath]48-6[/inlmath] preostalih brojeva.
To je ukupno [inlmath]6\cdot{42\choose n-6}[/inlmath] povoljnih mogućnosti.
Ukupan broj slučajeva:
Na [inlmath]n[/inlmath]-tom mestu može da se nađe neki od [inlmath]48[/inlmath] raspoloživih brojeva, to je [inlmath]48[/inlmath] mogućnosti. Na [inlmath]n-1[/inlmath] mesta koja prethode [inlmath]n[/inlmath]-tom mestu raspoređujemo neke od preostalih [inlmath]47[/inlmath] brojeva, dakle, to možemo učiniti na [inlmath]47\choose n-1[/inlmath] načina. Ukupan broj slučajeva je, prema tome, [inlmath]48\cdot{47\choose n-1}[/inlmath].
Verovatnoća je jednaka
[dispmath]P(n)=\frac{6\cdot{42\choose n-6}}{48\cdot{47\choose n-1}}[/dispmath]
Treći način (ne posmatramo brojeve pre [inlmath]n[/inlmath]-tog mesta, već one nakon [inlmath]n[/inlmath]-tog mesta):
Iako se izvlači samo [inlmath]35[/inlmath] brojeva, nas to ne sprečava da problem posmatramo kao da se izvlači svih [inlmath]48[/inlmath] brojeva pri čemu oni izvučeni od [inlmath]36.[/inlmath] mesta pa nadalje ne utiču na dobitak. Cilj nam je da nakon [inlmath]n[/inlmath]-tog mesta nema nijednog od naših brojeva, jer će to značiti da su svi raspoređeni do [inlmath]n[/inlmath]-tog mesta.
Broj povoljnih slučajeva:
Na [inlmath]n[/inlmath]-tom mestu treba da se nađe jedan od [inlmath]6[/inlmath] naših brojeva – to je [inlmath]6[/inlmath] mogućnosti.
Na mestima od [inlmath](n+1).[/inlmath] do [inlmath]48[/inlmath]-og ne sme, dakle, da se nađe nijedan od [inlmath]6[/inlmath] naših brojeva, što znači da na tih [inlmath]48-n[/inlmath] mesta treba da se nađu neki od preostalih [inlmath]48-6[/inlmath] brojeva.
To je [inlmath]6\cdot{42\choose48-n}[/inlmath] povoljnih mogućnosti.
Ukupan broj slučajeva:
Na [inlmath]n[/inlmath]-tom mestu se može naći bilo koji od [inlmath]48[/inlmath] raspoloživih brojeva, a na preostalim mestima od [inlmath](n+1).[/inlmath] do [inlmath]48[/inlmath]-og može se naći neki od preostalih [inlmath]47[/inlmath] brojeva.
Ukupan broj slučajeva je, prema tome, [inlmath]48\cdot{47\choose48-n}[/inlmath].
Verovatnoća je jednaka
[dispmath]P(n)=\frac{6\cdot{42\choose48-n}}{48\cdot{47\choose48-n}}[/dispmath]
Četvrti način (biramo ona mesta (izvlačenja) na koja ćemo smestiti naše brojeve):
Broj povoljnih slučajeva:
[inlmath]n[/inlmath]-to mesto je već „zauzeto“ jednim od [inlmath]6[/inlmath] naših brojeva, potrebno je naći broj načina na koji od [inlmath]n-1[/inlmath] prethodnih mesta možemo odabrati njih [inlmath]5[/inlmath] na koja ćemo smestiti preostalih [inlmath]5[/inlmath] naših brojeva. To možemo učiniti na [inlmath]n-1\choose5[/inlmath] načina, i to je broj povoljnih slučajeva.
Ukupan broj slučajeva:
Pošto sada onih [inlmath]6[/inlmath] naših brojeva možemo rasporediti bilo gde, to znači da od ukupno [inlmath]48[/inlmath] mesta biramo [inlmath]6[/inlmath] na koja ćemo rasporediti naše brojeve, a to možemo učiniti na [inlmath]48\choose6[/inlmath] načina, i to je ukupan broj mogućnosti.
Verovatnoća je
[dispmath]P(n)=\frac{n-1\choose5}{48\choose6}[/dispmath]
Na sva četiri načina, kada se izraz za verovatnoću sredi, dobije se identičan rezultat,
[dispmath]\enclose{box}{P(n)=\frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{1472581440}}[/dispmath] Takođe, kada se (softverski) izračuna suma [inlmath]\sum\limits_{n=6}^{n=48}P(n)[/inlmath] dobije se [inlmath]1[/inlmath], što je još jedna potvrda ispravnosti rezultata.
Grafik raspodele verovatnoće izgleda ovako (zeleno je s dobicima, crno je bez dobitaka):
- verovatnoca.png (2.09 KiB) Pogledano 330217 puta
Ponovio bih ono što je nekada aktivan forumaš desideri
non-stop govorio – „Nemojte se kockati, dobijate sigurno.“
Poslato: Petak, 15. Maj 2020, 19:40