Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI VEROVATNOĆA

Verovatnoca – granicne teoreme, Moivre–Laplace

[inlmath]P\left(A_k/B\right)P\left(B\right)=P\left(B/A_k\right)P\left(A_k\right)[/inlmath]

Verovatnoca – granicne teoreme, Moivre–Laplace

Postod Burn » Petak, 27. Septembar 2013, 17:29

1. Prosecno [inlmath]2\%[/inlmath] proizvoda u skladistu je neispravno. U skladistu se nalazi [inlmath]12000[/inlmath] proizvoda. Kolika je verovatnoca da se u skladistu nalazi izmedju [inlmath]300[/inlmath] i [inlmath]700[/inlmath] neispravnih proizvoda? Teorema Moavr-Laplac-a kaze da je verovatnoca [inlmath]=0[/inlmath].
Ako je [inlmath]X[/inlmath] slucajna promenljiva koja predstavlja broj neispravnih proizvoda onda imamo binomnu raspodelu [inlmath]B(12000,0.02)[/inlmath] i [inlmath]q=0,98[/inlmath] (broj ispravnih) i vrsimo aproksimaciju normalnom raspodelom. Tako sam ja uradio ali nisam bas siguran da je rezultat tacan. Moze neko da proveri rezultat? :)

2. Prosecno [inlmath]30\%[/inlmath] posetilaca kupi sladoled i neka je prodato [inlmath]2100[/inlmath] ulaznica za neki festival. Ako sladoled kosta [inlmath]100\text{ din}[/inlmath], kolika je verovatnoca da ce zarada biti bar [inlmath]60\:000\text{ din}[/inlmath]? Moj racun kaze da je verovatnoca priblizno [inlmath]1[/inlmath].
Burn  OFFLINE
 
Postovi: 5
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Verovatnoca – granicne teoreme, Moivre–Laplace

Postod Daniel » Subota, 28. Septembar 2013, 19:08

Burn je napisao:1. Prosecno [inlmath]2\%[/inlmath] proizvoda u skladistu je neispravno. U skladistu se nalazi [inlmath]12000[/inlmath] proizvoda. Kolika je verovatnoca da se u skladistu nalazi izmedju [inlmath]300[/inlmath] i [inlmath]700[/inlmath] neispravnih proizvoda? Teorema Moavr-Laplac-a kaze da je verovatnoca [inlmath]=0[/inlmath].
Ako je [inlmath]X[/inlmath] slucajna promenljiva koja predstavlja broj neispravnih proizvoda onda imamo binomnu raspodelu [inlmath]B(12000,0.02)[/inlmath] i [inlmath]q=0,98[/inlmath] (broj ispravnih) i vrsimo aproksimaciju normalnom raspodelom. Tako sam ja uradio ali nisam bas siguran da je rezultat tacan. Moze neko da proveri rezultat? :)

Ja baš i ne dobijem da je verovatnoća jednaka nuli, ali je svakako vrlo mala.

[inlmath]n=12000\\
p=0,02\\
q=0,98[/inlmath]
[dispmath]np=240,\quad\sqrt{npq}=\sqrt{235,2}[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)=P\left(\frac{300-np}{\sqrt{npq}}\le X^*\le\frac{700-np}{\sqrt{npq}}\right)[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)=P\left(\frac{60}{\sqrt{235,2}}\le X^*\le\frac{460}{\sqrt{235,2}}\right)[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)=F\left(\frac{460}{\sqrt{235,2}}\right)-F\left(\frac{60}{\sqrt{235,2}}\right)[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)=\cancelto{\approx1}{F\left(29,994\right)}-F\left(3,912\right)[/dispmath]
Na osnovu tabele vrednosti za standardizovanu normalnu raspodelu,
[dispmath]P\left(300\le X\le700\right)\approx1-0,99995[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)\approx5\cdot10^{-5}[/dispmath]


Nešto precizniji rezultat se može dobiti računanjem pomoću funkcije greške, budući da Wolframalpha relativno precizno izračunava funkciju greške, što daje tačniji rezultat nego putem tabela:
[dispmath]g\left(x\right)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{\displaystyle-\frac{\left(x-m\right)^2}{2\sigma^2}},\quad m=np,\quad\sigma=\sqrt{npq}[/dispmath][dispmath]g\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{\displaystyle-\frac{\left(x-np\right)^2}{2npq}}[/dispmath][dispmath]g\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{470,4\pi}}e^{\displaystyle-\frac{\left(x-240\right)^2}{470,4}}[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)=\int\limits_{\displaystyle300}^{\displaystyle700}g\left(x\right)\mathrm dx[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)=\frac{1}{\sqrt{470,4\pi}}\int\limits_{\displaystyle300}^{\displaystyle700}e^{\displaystyle-\frac{\left(x-240\right)^2}{470,4}}\mathrm dx[/dispmath]
[inlmath]t=\displaystyle\frac{x-240}{\sqrt{470,4}}\\
\mathrm dt=\displaystyle\frac{\mathrm dx}{\sqrt{470,4}}[/inlmath]
[dispmath]P\left(300\le X\le700\right)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{\displaystyle\frac{60}{\sqrt{470,4}}}^{\displaystyle\frac{460}{\sqrt{470,4}}}e^{\displaystyle-t^2}\mathrm dt[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^{\displaystyle\frac{460}{\sqrt{470,4}}}e^{\displaystyle-t^2}\mathrm dt-\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^{\displaystyle\frac{60}{\sqrt{470,4}}}e^{\displaystyle-t^2}\mathrm dt\right)[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)=\frac{1}{2}\left[\mathrm{erf}\left(\frac{460}{\sqrt{470,4}}\right)-\mathrm{erf}\left(\frac{60}{\sqrt{470,4}}\right)\right][/dispmath]
[inlmath]\mathrm{erf}\left(\displaystyle\frac{460}{\sqrt{470,4}}\right)\approx1[/inlmath] (link)
[inlmath]\mathrm{erf}\left(\displaystyle\frac{60}{\sqrt{470,4}}\right)\approx0,9999085803[/inlmath] (link)
[dispmath]P\left(300\le X\le700\right)\approx\frac{1}{2}\left(1-0,9999085803\right)[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)\approx4,571\cdot10^{-5}[/dispmath]
Burn je napisao:2. Prosecno [inlmath]30\%[/inlmath] posetilaca kupi sladoled i neka je prodato [inlmath]2100[/inlmath] ulaznica za neki festival. Ako sladoled kosta [inlmath]100\text{ din}[/inlmath], kolika je verovatnoca da ce zarada biti bar [inlmath]60\:000\text{ din}[/inlmath]? Moj racun kaze da je verovatnoca priblizno [inlmath]1[/inlmath].

Tekst nije najjasniji, ali pretpostavljam da se misli samo na zaradu od prodatog sladoleda, budući da nije data cena ulaznice?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9304
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Verovatnoca – granicne teoreme, Moivre–Laplace

Postod Burn » Subota, 28. Septembar 2013, 19:25

Da, odnosi se samo na zaradu. Kako bi to trebalo resiti?
Burn  OFFLINE
 
Postovi: 5
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Verovatnoca – granicne teoreme, Moivre–Laplace

Postod Daniel » Subota, 28. Septembar 2013, 19:57

Pa, znam da se odnosi samo na zaradu, ali sam pitao da li se odnosi samo na zaradu od sladoleda, ili na zaradu i od sladoleda i od ulaznica. Ali, pošto cena ulaznice nije data, pretpostaviću da je u pitanju ovo prvo.

Ništa, imaš [inlmath]n=2100,\;p=0,3,\;q=0,7[/inlmath], prema tome, [inlmath]np=630[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{npq}=\sqrt{441}=21[/inlmath].

Potpuno isti princip kao u prethodnom zadatku, samo zameni brojne vrednosti. Pošto se traži verovatnoća da je zarada bar [inlmath]60\:000\text{ din}[/inlmath], a cena jednog sladoleda je [inlmath]100\text{ din}[/inlmath], tražiš zapravo verovatnoću da je prodato najmanje [inlmath]600[/inlmath] sladoleda.

Trebalo bi da se dobije verovatnoća [inlmath]0,9234[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9304
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Verovatnoca – granicne teoreme, Moivre–Laplace

Postod Kalkulator » Utorak, 03. Jun 2014, 16:22

Imam još jedno pitanje, ako neko može da pomogne.

Preduzeće u jednoj smeni proizvede [inlmath]20\:000[/inlmath] komponenti jedne vrste. Verovatnoća da je komponenta neispravna iznosi [inlmath]0.05[/inlmath]. Po završetku smene neispravne komponente se stavljaju u posebnu kutiju. Za koliki najmanji broj komponenti ova kutija treba da bude napravljena da bi sa verovatnoćom [inlmath]0.95[/inlmath] bila dovoljna za sve neispravne komponente iz jedne smene?

Potrebna mi je pomoć ili sugestija kako da postavim ovaj zadatak. Hvala.
 
Postovi: 9
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Verovatnoca – granicne teoreme, Moivre–Laplace

Postod Daniel » Utorak, 03. Jun 2014, 21:32

Radi se po potpuno istom principu kao i prvi zadatak ove teme, onaj s proizvodima u skladištu. Jedina razlika je to, što se u tom zadatku tražila verovatnoća da se slučajna promenljiva nađe u zadatom opsegu, a u tvom zadatku je obrnuto – traži se opseg u kojem će se slučajna promenljiva naći sa zadatom verovatnoćom. Slučajna promenljiva u oba ta zadatka predstavlja broj neispravnih proizvoda/komponenti. Dakle, pitanje na koje treba da odgovoriš je – koji je to broj za koji će verovatnoća da će broj neispravnih proizvoda biti manji od tog broja – iznositi [inlmath]0,95[/inlmath]. Kreni da rešavaš na isti način na koji sam pokazao postupak za taj prvi zadatak, pa ako negde bude bilo problema, napiši šta te tačno muči i pomoći ćemo.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9304
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Verovatnoca – granicne teoreme, Moivre–Laplace

Postod Kalkulator » Sreda, 04. Jun 2014, 18:23

Rešila sam ovako:
[dispmath]n=20\:000\\
p=0.05\\
q=0.95[/dispmath][dispmath]np=1000\\
\sqrt{npq}=\sqrt{950}[/dispmath][dispmath]P(X\le a)=P\left(X^*\le\frac{a-np}{\sqrt{npq}}\right)=0.95\\
P\left(X^*\le\frac{a-1000}{\sqrt{950}}\right)=0.95[/dispmath]
Na osnovu tablice za normalnu raspodelu:
[dispmath]F\left(\frac{a-1000}{\sqrt{950}}\right)=0.95\\
\frac{a-1000}{\sqrt{950}}=1.65\\
a=1050.8=1051[/dispmath]
Da li može ovo da se proveri? Hvala.
 
Postovi: 9
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Verovatnoca – granicne teoreme, Moivre–Laplace

Postod Daniel » Sreda, 04. Jun 2014, 18:31

:correct-box: Upravo tako sam i ja dobio.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9304
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Verovatnoca – granicne teoreme, Moivre–Laplace

Postod Kalkulator » Sreda, 11. Jun 2014, 09:48

Da li može neko da pomogne s ovim zadatkom? Nisam sigurna kako da ga postavim.

Student rešava test na kom može da osvoji ceo broj poena između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]100[/inlmath]. Ako verovatnoća da dobije svaki poen iznosi [inlmath]p[/inlmath] i ne zavisi od broja prethodno osvojenih poena, odrediti verovatnoću da student osvoji ne manje od [inlmath]60[/inlmath] poena.

I ovaj zadatak takođe.

U skladištu postoji [inlmath]30[/inlmath] frižidera klase [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]50[/inlmath] klase [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]20[/inlmath] klase [inlmath]C[/inlmath]. Svaka klasa je okarakterisana prosečnom mesečnom potrošnjom [inlmath]X[/inlmath] i eksponencijalnom promenljivom [inlmath]EX[/inlmath] sa vrednostima [inlmath]4,\;6,\;10[/inlmath] respektivno za klase [inlmath]A,\;B,\;C[/inlmath]. Nalepnice koje određuju klasu su izmešane, pa su prodavci odlučili da stave sve frižidere na sniženje. Odrediti verovatnoću da za slučajno izabrani frižider (od svih klasa) važi: [inlmath]5\le X\le7[/inlmath].

Hvala.
 
Postovi: 9
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Verovatnoca – granicne teoreme, Moivre–Laplace

Postod Daniel » Sreda, 11. Jun 2014, 10:15

Pa isto postavljaš kao i u prethodnim zadacima. [inlmath]n=100[/inlmath], [inlmath]p[/inlmath] je dato kao opšti broj, pa je [inlmath]np=100p,\;\sqrt{npq}=\sqrt{100p\left(1-p\right)}[/inlmath]. Ne znam na koji način vam je rečeno da radite ovaj zadatak – ako ga radite preko Moivre–Laplacea, ne može se koristiti tabela jer nije data konkretna vrednost za [inlmath]p[/inlmath]. Izraz za [inlmath]P\left(x\ge60\right)[/inlmath] u zavisnosti od [inlmath]p[/inlmath] može se dobiti i bez korišćenja Moivre–Laplacea, primenom formule za binomnu raspodelu.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9304
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Sledeća

Povratak na VEROVATNOĆA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 14. April 2024, 12:56 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs