MATEMANIJA

1. Prosecno [inlmath]2\%[/inlmath] proizvoda u skladistu je neispravno. U skladistu se nalazi [inlmath]12000[/inlmath] proizvoda. Kolika je verovatnoca da se u skladistu nalazi izmedju [inlmath]300[/inlmath] i [inlmath]700[/inlmath] neispravnih proizvoda? Teorema Moavr-Laplac-a kaze da je verovatnoca [inlmath]=0[/inlmath].
Ako je [inlmath]X[/inlmath] slucajna promenljiva koja predstavlja broj neispravnih proizvoda onda imamo binomnu raspodelu [inlmath]B(12000,0.02)[/inlmath] i [inlmath]q=0,98[/inlmath] (broj ispravnih) i vrsimo aproksimaciju normalnom raspodelom. Tako sam ja uradio ali nisam bas siguran da je rezultat tacan. Moze neko da proveri rezultat?

2. Prosecno [inlmath]30\%[/inlmath] posetilaca kupi sladoled i neka je prodato [inlmath]2100[/inlmath] ulaznica za neki festival. Ako sladoled kosta [inlmath]100\text{ din}[/inlmath], kolika je verovatnoca da ce zarada biti bar [inlmath]60\:000\text{ din}[/inlmath]? Moj racun kaze da je verovatnoca priblizno [inlmath]1[/inlmath].

Burn je napisao:1. Prosecno [inlmath]2\%[/inlmath] proizvoda u skladistu je neispravno. U skladistu se nalazi [inlmath]12000[/inlmath] proizvoda. Kolika je verovatnoca da se u skladistu nalazi izmedju [inlmath]300[/inlmath] i [inlmath]700[/inlmath] neispravnih proizvoda? Teorema Moavr-Laplac-a kaze da je verovatnoca [inlmath]=0[/inlmath].
Ako je [inlmath]X[/inlmath] slucajna promenljiva koja predstavlja broj neispravnih proizvoda onda imamo binomnu raspodelu [inlmath]B(12000,0.02)[/inlmath] i [inlmath]q=0,98[/inlmath] (broj ispravnih) i vrsimo aproksimaciju normalnom raspodelom. Tako sam ja uradio ali nisam bas siguran da je rezultat tacan. Moze neko da proveri rezultat?

Ja baš i ne dobijem da je verovatnoća jednaka nuli, ali je svakako vrlo mala.

[inlmath]n=12000\\
p=0,02\\
q=0,98[/inlmath]
[dispmath]np=240,\quad\sqrt{npq}=\sqrt{235,2}[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)=P\left(\frac{300-np}{\sqrt{npq}}\le X^*\le\frac{700-np}{\sqrt{npq}}\right)[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)=P\left(\frac{60}{\sqrt{235,2}}\le X^*\le\frac{460}{\sqrt{235,2}}\right)[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)=F\left(\frac{460}{\sqrt{235,2}}\right)-F\left(\frac{60}{\sqrt{235,2}}\right)[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)=\cancelto{\approx1}{F\left(29,994\right)}-F\left(3,912\right)[/dispmath]
Na osnovu tabele vrednosti za standardizovanu normalnu raspodelu,
[dispmath]P\left(300\le X\le700\right)\approx1-0,99995[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)\approx5\cdot10^{-5}[/dispmath]

---

Nešto precizniji rezultat se može dobiti računanjem pomoću funkcije greške, budući da Wolframalpha relativno precizno izračunava funkciju greške, što daje tačniji rezultat nego putem tabela:
[dispmath]g\left(x\right)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{\displaystyle-\frac{\left(x-m\right)^2}{2\sigma^2}},\quad m=np,\quad\sigma=\sqrt{npq}[/dispmath][dispmath]g\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{\displaystyle-\frac{\left(x-np\right)^2}{2npq}}[/dispmath][dispmath]g\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{470,4\pi}}e^{\displaystyle-\frac{\left(x-240\right)^2}{470,4}}[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)=\int\limits_{\displaystyle300}^{\displaystyle700}g\left(x\right)\mathrm dx[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)=\frac{1}{\sqrt{470,4\pi}}\int\limits_{\displaystyle300}^{\displaystyle700}e^{\displaystyle-\frac{\left(x-240\right)^2}{470,4}}\mathrm dx[/dispmath]
[inlmath]t=\displaystyle\frac{x-240}{\sqrt{470,4}}\\
\mathrm dt=\displaystyle\frac{\mathrm dx}{\sqrt{470,4}}[/inlmath]
[dispmath]P\left(300\le X\le700\right)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{\displaystyle\frac{60}{\sqrt{470,4}}}^{\displaystyle\frac{460}{\sqrt{470,4}}}e^{\displaystyle-t^2}\mathrm dt[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^{\displaystyle\frac{460}{\sqrt{470,4}}}e^{\displaystyle-t^2}\mathrm dt-\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^{\displaystyle\frac{60}{\sqrt{470,4}}}e^{\displaystyle-t^2}\mathrm dt\right)[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)=\frac{1}{2}\left[\mathrm{erf}\left(\frac{460}{\sqrt{470,4}}\right)-\mathrm{erf}\left(\frac{60}{\sqrt{470,4}}\right)\right][/dispmath]
[inlmath]\mathrm{erf}\left(\displaystyle\frac{460}{\sqrt{470,4}}\right)\approx1[/inlmath] (link)
[inlmath]\mathrm{erf}\left(\displaystyle\frac{60}{\sqrt{470,4}}\right)\approx0,9999085803[/inlmath] (link)
[dispmath]P\left(300\le X\le700\right)\approx\frac{1}{2}\left(1-0,9999085803\right)[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)\approx4,571\cdot10^{-5}[/dispmath]

Burn je napisao:2. Prosecno [inlmath]30\%[/inlmath] posetilaca kupi sladoled i neka je prodato [inlmath]2100[/inlmath] ulaznica za neki festival. Ako sladoled kosta [inlmath]100\text{ din}[/inlmath], kolika je verovatnoca da ce zarada biti bar [inlmath]60\:000\text{ din}[/inlmath]? Moj racun kaze da je verovatnoca priblizno [inlmath]1[/inlmath].

Tekst nije najjasniji, ali pretpostavljam da se misli samo na zaradu od prodatog sladoleda, budući da nije data cena ulaznice?

Da, odnosi se samo na zaradu. Kako bi to trebalo resiti?

Pa, znam da se odnosi samo na zaradu, ali sam pitao da li se odnosi samo na zaradu od sladoleda, ili na zaradu i od sladoleda i od ulaznica. Ali, pošto cena ulaznice nije data, pretpostaviću da je u pitanju ovo prvo.

Ništa, imaš [inlmath]n=2100,\;p=0,3,\;q=0,7[/inlmath], prema tome, [inlmath]np=630[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{npq}=\sqrt{441}=21[/inlmath].

Potpuno isti princip kao u prethodnom zadatku, samo zameni brojne vrednosti. Pošto se traži verovatnoća da je zarada bar [inlmath]60\:000\text{ din}[/inlmath], a cena jednog sladoleda je [inlmath]100\text{ din}[/inlmath], tražiš zapravo verovatnoću da je prodato najmanje [inlmath]600[/inlmath] sladoleda.

Trebalo bi da se dobije verovatnoća [inlmath]0,9234[/inlmath].

Imam još jedno pitanje, ako neko može da pomogne.

Preduzeće u jednoj smeni proizvede [inlmath]20\:000[/inlmath] komponenti jedne vrste. Verovatnoća da je komponenta neispravna iznosi [inlmath]0.05[/inlmath]. Po završetku smene neispravne komponente se stavljaju u posebnu kutiju. Za koliki najmanji broj komponenti ova kutija treba da bude napravljena da bi sa verovatnoćom [inlmath]0.95[/inlmath] bila dovoljna za sve neispravne komponente iz jedne smene?

Potrebna mi je pomoć ili sugestija kako da postavim ovaj zadatak. Hvala.

Radi se po potpuno istom principu kao i prvi zadatak ove teme, onaj s proizvodima u skladištu. Jedina razlika je to, što se u tom zadatku tražila verovatnoća da se slučajna promenljiva nađe u zadatom opsegu, a u tvom zadatku je obrnuto – traži se opseg u kojem će se slučajna promenljiva naći sa zadatom verovatnoćom. Slučajna promenljiva u oba ta zadatka predstavlja broj neispravnih proizvoda/komponenti. Dakle, pitanje na koje treba da odgovoriš je – koji je to broj za koji će verovatnoća da će broj neispravnih proizvoda biti manji od tog broja – iznositi [inlmath]0,95[/inlmath]. Kreni da rešavaš na isti način na koji sam pokazao postupak za taj prvi zadatak, pa ako negde bude bilo problema, napiši šta te tačno muči i pomoći ćemo.

Rešila sam ovako:
[dispmath]n=20\:000\\
p=0.05\\
q=0.95[/dispmath][dispmath]np=1000\\
\sqrt{npq}=\sqrt{950}[/dispmath][dispmath]P(X\le a)=P\left(X^*\le\frac{a-np}{\sqrt{npq}}\right)=0.95\\
P\left(X^*\le\frac{a-1000}{\sqrt{950}}\right)=0.95[/dispmath]
Na osnovu tablice za normalnu raspodelu:
[dispmath]F\left(\frac{a-1000}{\sqrt{950}}\right)=0.95\\
\frac{a-1000}{\sqrt{950}}=1.65\\
a=1050.8=1051[/dispmath]
Da li može ovo da se proveri? Hvala.

Upravo tako sam i ja dobio.

Da li može neko da pomogne s ovim zadatkom? Nisam sigurna kako da ga postavim.

Student rešava test na kom može da osvoji ceo broj poena između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]100[/inlmath]. Ako verovatnoća da dobije svaki poen iznosi [inlmath]p[/inlmath] i ne zavisi od broja prethodno osvojenih poena, odrediti verovatnoću da student osvoji ne manje od [inlmath]60[/inlmath] poena.

I ovaj zadatak takođe.

U skladištu postoji [inlmath]30[/inlmath] frižidera klase [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]50[/inlmath] klase [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]20[/inlmath] klase [inlmath]C[/inlmath]. Svaka klasa je okarakterisana prosečnom mesečnom potrošnjom [inlmath]X[/inlmath] i eksponencijalnom promenljivom [inlmath]EX[/inlmath] sa vrednostima [inlmath]4,\;6,\;10[/inlmath] respektivno za klase [inlmath]A,\;B,\;C[/inlmath]. Nalepnice koje određuju klasu su izmešane, pa su prodavci odlučili da stave sve frižidere na sniženje. Odrediti verovatnoću da za slučajno izabrani frižider (od svih klasa) važi: [inlmath]5\le X\le7[/inlmath].

Hvala.

Pa isto postavljaš kao i u prethodnim zadacima. [inlmath]n=100[/inlmath], [inlmath]p[/inlmath] je dato kao opšti broj, pa je [inlmath]np=100p,\;\sqrt{npq}=\sqrt{100p\left(1-p\right)}[/inlmath]. Ne znam na koji način vam je rečeno da radite ovaj zadatak – ako ga radite preko Moivre–Laplacea, ne može se koristiti tabela jer nije data konkretna vrednost za [inlmath]p[/inlmath]. Izraz za [inlmath]P\left(x\ge60\right)[/inlmath] u zavisnosti od [inlmath]p[/inlmath] može se dobiti i bez korišćenja Moivre–Laplacea, primenom formule za binomnu raspodelu.

Tek sad videh da si naknadno dopisala post još jednim zadatkom. Molim te da ga postaviš u posebnu temu, pošto je ovo tema o Moivre–Laplaceovoj teoremi. Takođe, podsetio bih te i na tačku 6. Pravilnika.

Možete obrisati taj zadatak. U međuvremenu sam ga rešila.

1.Oko [inlmath]80\%[/inlmath] zrna kukuruza proklija.
(a) Ako je zasadjeno [inlmath]100[/inlmath] zrna, odrediti verovatnocu da ce proklijati od [inlmath]60[/inlmath] do [inlmath]90[/inlmath] zrna.
(b) Koliko bi najmanje zrna trebalo zasaditi da bi sa verovatnocom [inlmath]0.90[/inlmath] proklijalo vise od [inlmath]70[/inlmath] zrna.

Pod a)
[dispmath]n=100,\;p=0.8,\;np=80,\;\sqrt{npq}=4,\\
\qquad P(60\le X\le90)=P\left(\frac{60-np}{\sqrt{npq}}\le X^*\le\frac{90-np}{\sqrt{npq}}\right)=P\left(-5\le X^*\le2.5\right)=F(2.5)+F(5)=0.99379[/dispmath]
Uradila sam pod a, isti je princip kao u zadacima sa ove teme, koristila sam tablicu normalne raspodele, mislim da je dobro. Pod b, nisam sigurna da sam dobro postavila zadatak, evo kako sam pocela. Sada trazimo [inlmath]n[/inlmath].
[dispmath]0.90=P(X>70)=1-P(0\le X\le70)=1-P\left(\frac{-np}{\sqrt{npq}}\le X^*\le\frac{70-np}{\sqrt{npq}}\right)[/dispmath]
Ako moze neko da mi pomogne.

Pod a) je rezultat u redu, jedino što imam primedbu na ovaj deo postupka:

JelenaMat je napisao:[dispmath]\cdots=P\left(-5\le X^*\le2.5\right)={\color{red}F(2.5)+F(5)}=0.99379[/dispmath]

Budući da se funkcija standardizovane normalne raspodele definiše kao
[dispmath]F\left(X\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\color{red}\displaystyle-\infty}^{\displaystyle X}e^{\displaystyle-\frac{x^2}{2}}\mathrm dx[/dispmath]
tada bi bilo
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
F\left(2,5\right)\approx0,99379\\
F\left(5\right)\approx1
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad F\left(2,5\right)+F\left(5\right)\approx1,99379[/dispmath]
što, naravno, ne može biti tačno, jer verovatnoća ne može biti veća od jedinice.

Zato bi to ovde trebalo da se napiše kao
[dispmath]\cdots=P\left(-5\le X^*\le2,5\right)=P\left(X^*\le2,5\right)-P\left(X^*<-5\right)=F\left(2,5\right)-\underbrace{F\left(-5\right)}_{\displaystyle\approx0}\approx F\left(2,5\right)=0.99379[/dispmath]
Tvoj način zapisivanja bi bio OK kada bi funkcija standardizovane normalne raspodele bila definisana kao
[dispmath]F\left(X\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\color{red}\displaystyle0}^{\displaystyle X}e^{\displaystyle-\frac{x^2}{2}}\mathrm dx[/dispmath]
Ne znam, možda negde postoje i takve tablice, ali one nisu baš najstandardnije.

JelenaMat je napisao:Pod b, nisam sigurna da sam dobro postavila zadatak, evo kako sam pocela. Sada trazimo [inlmath]n[/inlmath].
[dispmath]0.90=P(X>70)=1-P(0\le X\le70)=1-P\left(\frac{-np}{\sqrt{npq}}\le X^*\le\frac{70-np}{\sqrt{npq}}\right)[/dispmath]
Ako moze neko da mi pomogne.

To je OK, s tim što nema potrebe da pišeš [inlmath]P\left(0\le X\le70\right)[/inlmath], budući da je [inlmath]X[/inlmath] prirodan broj, pa je, samim tim, svakako veći od nule, tj. [inlmath]P\left(X\ge0\right)=1[/inlmath]. Znači, umesto [inlmath]P\left(0\le X\le70\right)[/inlmath] dovoljno je pisati [inlmath]P\left(X\le70\right)[/inlmath], pa je onda
[dispmath]0,9=P\left(X>70\right)=1-P\left(X\le70\right)=1-P\left(X^*\le\frac{70-np}{\sqrt{npq}}\right)=1-F\left(\frac{70-np}{\sqrt{npq}}\right)[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad F\left(\frac{70-np}{\sqrt{npq}}\right)=0,1[/dispmath]
Zatim iz tablica odrediš koliko je [inlmath]\displaystyle\frac{70-np}{\sqrt{npq}}[/inlmath], pa pošto su ti [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] poznati, dobiješ jednačinu iz koje lako nađeš [inlmath]n[/inlmath]...

Hvala na odgovoru. Samo, kod mene u tablici je [inlmath]F(2.5)=0.49379[/inlmath]. Nisu iste tablice, ali isto se dobija na kraju.

Da, u tvojim tablicama se pod funkcijom [inlmath]F\left(X\right)[/inlmath] smatra zelena površina na ovoj prvoj slici,


za razliku od onih standardnih tablica kod kojih [inlmath]F\left(X\right)[/inlmath] odgovara zelenoj površini na ovoj slici:


ali, što kažeš, bitno da se dobije isti rezultat.

Verovatnoća da student položi kolokvijum je [inlmath]0.8[/inlmath]. Pretpostavimo da studenti polažu kolokvijum nezavisno jedan od drugog. Ako na kolokvijum izadje [inlmath]80[/inlmath] studenata, pomoću teoreme Muavr-Laplas-a izračunati verovatnoću da će položiti bar [inlmath]40[/inlmath] studenata.

Pokusavao sam da resim zadatak po formuli gde je [inlmath]n=80[/inlmath], [inlmath]p=0.8[/inlmath] i [inlmath]q=0.2[/inlmath], [inlmath]np=64[/inlmath], [inlmath]\sqrt{npq}=12.8[/inlmath]
[dispmath]P(X\ge40)=\left(\frac{40-64}{12.8}\right)[/dispmath]
ali zbog brojioca u razlomku dobija negativan broj…kako da resim ovaj problem?

Molim te da, radi preglednosti koju na ovom forumu negujemo, formule kucaš u Latex-u (tačka 13. Pravilnika). Uputstvo imaš ovde.

Da, u brojiocu ispadne negativan broj, ali to ne treba da te buni. Negativna vrednost razlomka ne predstavlja ni verovatnoću, ni vrednost slučajne promenljive (broj studenata), već predstavlja onu vrednost za koju tražimo verovatnoću da će standardizovana slučajna promenljiva s normalnom raspodelom [inlmath]\mathcal{N}\left(0,1\right)[/inlmath] biti veća od te vrednosti. Standardizovana slučajna promenljiva može imati i pozitivne i negativne vrednosti (srednja vrednost joj je nula – pogledaj grafike koje sam crtao u svom prethodnom postu), tako da nije ništa neobično što se za taj razlomak dobija negativna vrednost.
Verovatno te zbunilo to što si loše napisao tu formulu. Iz onog kako si je napisao, [inlmath]P(X\ge40)=\left(\frac{40-64}{12.8}\right)[/inlmath], zaista bi se moglo zaključiti da se za verovatnoću dobije negativna vrednost. Ta formula, zapravo, treba da glasi
[dispmath]P(X\ge40)=P\left(X^*\ge\frac{40-64}{\sqrt{12.8}}\right)[/dispmath]
Takođe, obrati pažnju i na to da u imeniocu treba da se nalazi kvadratni koren ([inlmath]\sqrt{npq}[/inlmath] je jednako [inlmath]\sqrt{12.8}[/inlmath], a ne [inlmath]{12.8}[/inlmath]).

---

I nekoliko postova ranije (konkretno, ovaj post) imali smo zadatak u kojem određujemo verovatnoću da se standardizovana slučajna promenljiva nalazi između neke negativne i neke pozitivne vrednosti, tako da negativne vrednosti u ovakvim zadacima nisu ništa čudno.

Izvinjavam se, prvi put sam na ovom forumu, ali vidim da cemo se druziti, tako da cu nauciti, obecavam =D
Sad me intresuje nastavak zadatka, da li ja ovu negativnu vrednost koju sam dobio treba da ubacim u formulu:
[dispmath]F\left(X\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\displaystyle-\infty}^{\displaystyle X}e^{\displaystyle-\frac{x^2}{2}}\mathrm dx[/dispmath]
i to kao granicu integrala ? takvim racunanjem dobijam
[dispmath]x=3.95\cdot10^{-9}[/dispmath]
jel to dobro? prvi put radim ovakve zadatke pa uopste nema osecaj sta i kako treba...ako nije dobro, molim Vas da mi objasnite kako da uradim pravilno =)

Ne znam koji si softver koristio za računanje tog integrala, ali kad u taj integral uvrstiš [inlmath]X^*=\frac{40-64}{\sqrt{12,8}}[/inlmath], treba da se dobije [inlmath]\approx9,85\cdot10^{-12}[/inlmath].

E sad, taj integral se, pošto su mu granice od [inlmath]-\infty[/inlmath] do [inlmath]X^*[/inlmath], odnosi na površinu ispod Gausove krive levo od vrednosti [inlmath]X^*[/inlmath] (na slici obeležena crveno):


To je, zapravo, verovatnoća da će najviše [inlmath]40[/inlmath] studenata položiti kolokvijum (tj. suprotan događaj od onog koji ti posmatraš).

Tebi treba verovatnoća da slučajna promenljiva uzima vrednosti veće od [inlmath]X^*[/inlmath], a ta verovatnoća odgovara površini ispod Gausove krive desno od vrednosti [inlmath]X^*[/inlmath] (na slici obeležena zeleno). Pošto je ukupna površina ispod Gausove krive jednaka jedinici (što odgovara verovatnoći sigurnog događaja), to znači da traženu verovatnoću (zelenu površinu) dobiješ tako što od jedinice oduzmeš crvenu površinu. Znači,
[dispmath]P\approx1-9,85\cdot10^{-12}[/dispmath]
(jedinica umanjena za vrednost verovatnoće da najviše [inlmath]40[/inlmath] studenata položi kolokvijum)
Očigledno da je ova verovatnoća vrlo, vrlo bliska jedinici, što znači da možemo reći da će skoro sigurno bar [inlmath]40[/inlmath] studenata položiti kolokvijum.