-
+1
Ovi korisnici su zahvalili autoru
desideri za post:
Daniel
Reputacija: 4.55%
od desideri » Nedelja, 06. Mart 2022, 00:54
Zbir tačaka na gornjim stranama [inlmath]3[/inlmath] bačene kockice može biti [inlmath]3,4,5,\ldots,16,17,18[/inlmath]. Zbog jednakoverovatnih elementarnih događaja postoji visoka simetrija verovatnoća. Recimo, ista je verovatnoća da je zbir [inlmath]3[/inlmath] i da je zbir [inlmath]18[/inlmath] i iznosi [inlmath]\frac{1}{216}[/inlmath], dok je verovatnoća za zbirove [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]17[/inlmath] takođe ista i iznosi [inlmath]\frac{3}{216}[/inlmath].
Ovo je bilo lako, no treba uočiti da nema potrebe za računanjem verovatnoća za zbirove [inlmath]13[/inlmath], [inlmath]14[/inlmath], [inlmath]15[/inlmath] i [inlmath]16[/inlmath] jer su one iste kao za zbirove [inlmath]8[/inlmath], [inlmath]7[/inlmath], [inlmath]6[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath], respektivno.
Zašto je ovo važno? Kao što je već na Matemaniji razmatrano, možemo smatrati da na svakoj kockici, tj. na njenoj gornjoj strani apriori imamo po jednu tačku, pa raspoređujemo samo "kusur" tačaka do posmatranog zbira i to funkcioniše do zbira [inlmath]8[/inlmath], preko "čistih" kombinacija sa ponavljanjem. Za zbir [inlmath]9[/inlmath] i više potrebna su dodatna razmatranja jer ako [inlmath]6[/inlmath] tačaka rasporedimo na istu kocku, dođosmo do broja [inlmath]7[/inlmath] na kocki jer imamo i onu "apriornu" tačku, unapred dodeljenu.
Dakle, za zbir [inlmath]5[/inlmath] (i za zbir [inlmath]16[/inlmath]) imamo broj povoljnih ishoda: [inlmath]{3+2-1\choose2}=6[/inlmath], za zbir [inlmath]6[/inlmath] (i za zbir [inlmath]15[/inlmath]): [inlmath]{3+3-1\choose3}=10[/inlmath], za zbir [inlmath]7[/inlmath] (i za zbir [inlmath]14[/inlmath])
imamo: [inlmath]{3+4-1\choose4}=15[/inlmath], te na kraju dobijamo za zbir [inlmath]8[/inlmath] (i samim tim za zbir [inlmath]13[/inlmath]): [inlmath]{3+5-1\choose5}=21[/inlmath].
Sabiranjem dobijenih verovatnoća za zbirove [inlmath]13[/inlmath], [inlmath]14[/inlmath], [inlmath]15[/inlmath], [inlmath]16[/inlmath], [inlmath]17[/inlmath] i [inlmath]18[/inlmath] dobijamo traženu verovatnoću da zbir tačaka na tri kocke bude veći od [inlmath]12[/inlmath] i ona iznosi [inlmath]\frac{56}{216}=\frac{7}{27}[/inlmath]. Pošto se u zadatku traži raspodela slučajne promenljive [inlmath]X[/inlmath] koja podrazumeva da se [inlmath]5[/inlmath] buta bacaju po tri kocke, a uspeh kod ove binomne raspodele je da zbir bude preko [inlmath]12[/inlmath], dobijamo zakon raspodele u obliku:
[dispmath]P(X=x)={5\choose x}\left(\frac{7}{27}\right)^x\left(\frac{20}{27}\right)^{5-x}[/dispmath] Pri tome je [inlmath]x=0,1,2,3,4,5[/inlmath].