Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI VEROVATNOĆA

Diskretna slucajna promjenljiva

[inlmath]P\left(A_k/B\right)P\left(B\right)=P\left(B/A_k\right)P\left(A_k\right)[/inlmath]

Diskretna slucajna promjenljiva

Postod emir911 » Subota, 25. Februar 2023, 19:25

Veliki pozdrav svima!
Potrebna mi je pomoc u vezi ovog zadatka.

Data je diskretna slucajna promjenljiva [inlmath]X[/inlmath] za koju je:
[dispmath]P(X=k)=\frac{a^k}{(a+1)^k},\quad k=0,1,2,3\ldots,\quad a>0.[/dispmath] Naći [inlmath]E(X)[/inlmath] i [inlmath]\sigma^2(X)[/inlmath].

Naime, pokusavao sam izracunati [inlmath]E(X)[/inlmath] preko sume geometrijskog reda:
[dispmath]x^n=1+x+x^2+x^3+\cdots=\frac{1}{1-x}[/dispmath] Te sam dobio da je [inlmath]E(X)=a+1[/inlmath]
Disperziju ne znam kako pronaci.
emir911  OFFLINE
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Diskretna slucajna promjenljiva

Postod Daniel » Subota, 25. Februar 2023, 20:48

Pozdrav, dobro došao!

Nisam baš siguran šta si ovde radio,
emir911 je napisao:Naime, pokusavao sam izracunati [inlmath]E(X)[/inlmath] preko sume geometrijskog reda:
[dispmath]x^n=1+x+x^2+x^3+\cdots=\frac{1}{1-x}[/dispmath] Te sam dobio da je [inlmath]E(X)=a+1[/inlmath]

pretpostavljam da [inlmath]x^n[/inlmath] zapravo predstavlja [inlmath]\sum\limits_{n=0}^\infty x^n[/inlmath] i da ta jednakost važi za [inlmath]0<x<1[/inlmath], ali jesi li siguran da si na ovaj način izračunao [inlmath]E(X)[/inlmath], a ne zapravo sumu svih verovatnoća?

Ali hajde da krenemo od samog početka. Da li u zadatku [inlmath]k[/inlmath] sigurno ide od nule?
I, ako ide od nule, koliko onda iznosi [inlmath]P(X=0)[/inlmath]?
A koliko bi onda morale iznositi sve ostale verovatnoće?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Diskretna slucajna promjenljiva

Postod emir911 » Subota, 25. Februar 2023, 21:29

Veliki pozdrav i za vas!
Da, u zadatku [inlmath]k[/inlmath] sigurno ide od nule. Uvrstivsi [inlmath]0[/inlmath] umjesto [inlmath]k[/inlmath] dobio sam da je
[dispmath]P(X=0)=1[/dispmath] jer je
[dispmath]\frac{a^0}{(a+1)^0}=1[/dispmath][dispmath]P(X=1)=\frac{a^1}{(a+1)^1}\\
P(X=2)=\frac{a^2}{(a+1)^2}[/dispmath] Mislim da se radi o geometrijskom redu sa kolicnikom [inlmath]q=\frac{a}{a+1}[/inlmath].
Posto je [inlmath]a>0[/inlmath], uvrstivsi neku konkretnu vrijednost umjesto [inlmath]a[/inlmath], npr broj [inlmath]2[/inlmath] dobije se geometrijski red
[dispmath]1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\frac{8}{27}+\cdots+\frac{a^k}{(a+1)^k}[/dispmath] sa kolicnikom [inlmath]q=\frac{2}{3}[/inlmath]
[inlmath]E(X)[/inlmath] sam trazio preko sume geometrijskog reda
[dispmath]\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+\cdots=\frac{1}{1-x}[/dispmath] Posto je [inlmath]x=q=\frac{a}{a+1}[/inlmath], dobio sam da je [inlmath]E(X)=a+1[/inlmath].
Ovako sam ja to zamislio, mozda se ovako i ne radi, svaka pomoc je dobrodosla.
emir911  OFFLINE
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Diskretna slucajna promjenljiva

Postod Daniel » Subota, 25. Februar 2023, 21:59

emir911 je napisao:[inlmath]E(X)[/inlmath] sam trazio preko sume geometrijskog reda
[dispmath]\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+\cdots=\frac{1}{1-x}[/dispmath] Posto je [inlmath]x=q=\frac{a}{a+1}[/inlmath], dobio sam da je [inlmath]E(X)=a+1[/inlmath].

Ovime si, kažem, tražio zbir svih verovatnoća (koji po definiciji mora biti jednak [inlmath]1[/inlmath]).
A [inlmath]E(X)[/inlmath] računaš kao [inlmath]\sum\limits_{k=0}^\infty k\cdot P(X=k)[/inlmath].

emir911 je napisao:Da, u zadatku [inlmath]k[/inlmath] sigurno ide od nule. Uvrstivsi [inlmath]0[/inlmath] umjesto [inlmath]k[/inlmath] dobio sam da je
[dispmath]P(X=0)=1[/dispmath]

Namerno sam to pitao, jer ako [inlmath]k[/inlmath] ide od nule, onda je [inlmath]P(X=0)=1[/inlmath] kao što si i napisao, a pošto suma svih verovatnoća mora biti [inlmath]1[/inlmath], to znači da sve ostale verovatnoće, [inlmath]P(X=1)[/inlmath], [inlmath]P(X=2)[/inlmath] itd. – moraju biti nule. Drugim rečima, [inlmath]X=0[/inlmath] je siguran događaj, tako da [inlmath]X[/inlmath] ne može uzeti nijednu drugu vrednost osim nule.
Međutim, ovime dolazimo do toga da je [inlmath]P(X=1)=\frac{a}{a+1}=0[/inlmath] a odatle [inlmath]a=0[/inlmath], što je u suprotnosti s uslovom zadatka da je [inlmath]a>0[/inlmath].

Dakle, za ovako postavljen tekst zadatka imaš puno pravo da kažeš da rešenje ne postoji, jer je nemoguće da istovremeno budu ispunjena oba uslova – da [inlmath]k[/inlmath] ide od nule, i da je [inlmath]a>0[/inlmath].

Da li hoćeš da radimo ovaj zadatak pod pretpostavkom da [inlmath]k[/inlmath] ipak ide od [inlmath]1[/inlmath]?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Diskretna slucajna promjenljiva

Postod emir911 » Subota, 25. Februar 2023, 22:07

Hvala puno Daniel, sad sam i ja to vidio. Da [inlmath]k[/inlmath] ide od [inlmath]1[/inlmath], moze naravno da uradimo.
emir911  OFFLINE
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Diskretna slucajna promjenljiva

Postod Daniel » Subota, 25. Februar 2023, 22:10

Eto možeš li za početak da odrediš koliko iznosi [inlmath]a[/inlmath], koristeći uslov da je zbir svih verovatnoća jednak [inlmath]1[/inlmath]? Dakle, [inlmath]\sum\limits_{k=1}^\infty P(X=k)=1[/inlmath].
A nakon što si odredio [inlmath]a[/inlmath], uvrštavanjem u [inlmath]P(X=k)=\frac{a^k}{(a+1)^k}[/inlmath], možeš li odrediti i [inlmath]E(X)[/inlmath] prema formuli koju gore napisah? [inlmath]E(X)=\sum\limits_{k=1}^\infty k\cdot P(X=k)[/inlmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Diskretna slucajna promjenljiva

Postod emir911 » Subota, 25. Februar 2023, 23:51

Nadam se da ce biti dobro
[dispmath]\frac{a}{a+1}\left(1+\frac{a}{a+1}+\frac{a^2}{(a+1)^2}+\cdots+\frac{1^k}{1^k}\right)=1\\
\frac{\frac{a}{a+1}}{1-\frac{a}{a+1}}=1,\quad a=1[/dispmath] Kad uvrstimo:
[dispmath]\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1^k}{2^k}=1\\
E(X)=\sum_{k=1}^\infty k\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^k\\
E(X)=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\\
E(X)=2[/dispmath]
Poslednji put menjao Daniel dana Nedelja, 26. Februar 2023, 00:56, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija Latexa
emir911  OFFLINE
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Diskretna slucajna promjenljiva

Postod Daniel » Nedelja, 26. Februar 2023, 01:58

Morao sam da korigujem Latex, kako bi bilo čitljivo to što si napisao.

Prvi deo je u redu, dobije se [inlmath]a=1[/inlmath], samo bih imao zamerku na ovo crveno:
emir911 je napisao:[dispmath]\frac{a}{a+1}\left(1+\frac{a}{a+1}+\frac{a^2}{(a+1)^2}+\cdots{+\color{red}\frac{1^k}{1^k}}\right)=1[/dispmath]

Ne znam kako si došao do tog sabirka, ali je svakako suvišan, pošto suma ide do beskonačnosti. Jednakost, dakle, treba da glasi
[dispmath]\frac{a}{a+1}\left(1+\frac{a}{a+1}+\frac{a^2}{(a+1)^2}+\cdots\right)=1[/dispmath] Isti slučaj i ovde,
emir911 je napisao:[dispmath]\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots{\color{red}+\frac{1^k}{2^k}}=1[/dispmath]

Treba samo
[dispmath]\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots=1[/dispmath] bez onog crvenog.
Eventualno može i [inlmath]\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1^k}{2^k}+\cdots=1[/inlmath], ali je bitno da tri tačke budu na poslednjem mestu unutar izraza za beskonačnu sumu.

emir911 je napisao:[dispmath]E(X)=\sum_{k=1}^\infty k\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^k\\
E(X)=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}[/dispmath]

Prelaz između ova dva koraka ti nije dobar (mada je nekom slučajnošću ispala tačna vrednost za [inlmath]E(X)[/inlmath]). Rekao bih da si izostavio onaj činilac [inlmath]k[/inlmath] unutar sume, a da si sumu opet računao kao da [inlmath]k[/inlmath] ide od nule.

Suma, kada se ispravno razvije, biće:
[dispmath]E(X)=1\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^1+2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2+3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3+4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^4+5\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5+\cdots\\
E(X)=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}+\frac{5}{2^5}+\cdots[/dispmath] Kako bismo ovu sumu izračunali, napisaćemo razvijen izraz i za [inlmath]2E(X)[/inlmath]:
[dispmath]2E(X)=1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+\frac{5}{2^4}+\cdots[/dispmath] A zatim ćemo od izraza za [inlmath]2E(X)[/inlmath] oduzeti izraz za [inlmath]E(X)[/inlmath] (i tako dobiti [inlmath]E(X)[/inlmath]), pri čemu ćemo odmah grupisati članove s jednakim imeniocima:
[dispmath]2E(X)-E(X)=E(X)=1+\frac{2}{2}-\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}-\frac{2}{2^2}+\frac{4}{2^3}-\frac{3}{2^3}+\frac{5}{2^4}-\frac{4}{2^4}+\cdots\\
E(X)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\cdots\\[/dispmath] To sad dalje možeš i sam, primenom izraza za sumu geometrijskog niza dobije se [inlmath]E(X)=2[/inlmath]...



Računanje disperzije

Može se koristiti ili formula [inlmath]\sigma^2(X)=E\Bigl(\bigl(X-E(X)\bigr)^2\Bigr)[/inlmath] ili formula [inlmath]\sigma^2(X)=E\left(X^2\right)-\bigl(E(X)\bigr)^2[/inlmath], isti đavo.
[dispmath]\sigma^2(X)=E\left(X^2\right)-\bigl(E(X)\bigr)^2\\
\sigma^2(X)=E\left(X^2\right)-4\\
\sigma^2(X)=\sum_{k=1}^\infty k^2P(X=k)-4[/dispmath] Sumu [inlmath]\sum\limits_{k=1}^\infty k^2P(X=k)[/inlmath] obeležićemo sa [inlmath]S[/inlmath], pa je [inlmath]\sigma^2(X)=S-4[/inlmath]. Ostalo je da nađemo [inlmath]S[/inlmath].
[dispmath]S=\frac{1^2}{2}+\frac{2^2}{2^2}+\frac{3^2}{2^3}+\frac{4^2}{2^4}+\frac{5^2}{2^5}+\cdots[/dispmath] Pa ćemo se sada dvaput poslužiti onom metodom korišćenom pri računanju [inlmath]E(X)[/inlmath]. Napišemo čemu je jednako [inlmath]2S[/inlmath]:
[dispmath]2S=1+\frac{2^2}{2}+\frac{3^2}{2^2}+\frac{4^2}{2^3}+\frac{5^2}{2^4}+\cdots[/dispmath] Nađemo [inlmath]2S-S[/inlmath], slično kao i malopre,
[dispmath]2S-S=S=1+\frac{2^2-1^2}{2}+\frac{3^2-2^2}{2^2}+\frac{4^2-3^2}{2^3}+\frac{5^2-4^2}{2^4}+\cdots\\
S=1+\frac{(2-1)(2+1)}{2}+\frac{(3-2)(3+2)}{2^2}+\frac{(4-3)(4+3)}{2^3}+\frac{(5-4)(5+4)}{2^4}+\cdots\\
S=1+\frac{3}{2}+\frac{5}{2^2}+\frac{7}{2^3}+\frac{9}{2^4}+\cdots[/dispmath] Sada, dakle, opet napišemo koliko je [inlmath]2S[/inlmath],
[dispmath]2S=2+3+\frac{5}{2}+\frac{7}{2^2}+\frac{9}{2^3}+\cdots[/dispmath] i onda kao i prošli put [inlmath]S[/inlmath] nađemo kao [inlmath]2S-S[/inlmath], al' to sad prepuštam tebi da završiš, dalje ne bi trebalo da bude teško...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Diskretna slucajna promjenljiva

Postod emir911 » Nedelja, 26. Februar 2023, 19:28

Dobio sam da je
[dispmath]E\left(X^2\right)=6[/dispmath] Onda je disperzija
[dispmath]\sigma^2(X)=2[/dispmath]
emir911  OFFLINE
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Diskretna slucajna promjenljiva

Postod Daniel » Ponedeljak, 27. Februar 2023, 01:03

Tako je.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na VEROVATNOĆA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 40 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 12:24 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs