Morao sam da korigujem Latex, kako bi bilo čitljivo to što si napisao.
Prvi deo je u redu, dobije se [inlmath]a=1[/inlmath], samo bih imao zamerku na ovo crveno:
emir911 je napisao:[dispmath]\frac{a}{a+1}\left(1+\frac{a}{a+1}+\frac{a^2}{(a+1)^2}+\cdots{+\color{red}\frac{1^k}{1^k}}\right)=1[/dispmath]
Ne znam kako si došao do tog sabirka, ali je svakako suvišan, pošto suma ide do beskonačnosti. Jednakost, dakle, treba da glasi
[dispmath]\frac{a}{a+1}\left(1+\frac{a}{a+1}+\frac{a^2}{(a+1)^2}+\cdots\right)=1[/dispmath] Isti slučaj i ovde,
emir911 je napisao:[dispmath]\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots{\color{red}+\frac{1^k}{2^k}}=1[/dispmath]
Treba samo
[dispmath]\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots=1[/dispmath] bez onog crvenog.
Eventualno može i [inlmath]\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1^k}{2^k}+\cdots=1[/inlmath], ali je bitno da tri tačke budu na poslednjem mestu unutar izraza za beskonačnu sumu.
emir911 je napisao:[dispmath]E(X)=\sum_{k=1}^\infty k\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^k\\
E(X)=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}[/dispmath]
Prelaz između ova dva koraka ti nije dobar (mada je nekom slučajnošću ispala tačna vrednost za [inlmath]E(X)[/inlmath]). Rekao bih da si izostavio onaj činilac [inlmath]k[/inlmath] unutar sume, a da si sumu opet računao kao da [inlmath]k[/inlmath] ide od nule.
Suma, kada se ispravno razvije, biće:
[dispmath]E(X)=1\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^1+2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2+3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3+4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^4+5\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5+\cdots\\
E(X)=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}+\frac{5}{2^5}+\cdots[/dispmath] Kako bismo ovu sumu izračunali, napisaćemo razvijen izraz i za [inlmath]2E(X)[/inlmath]:
[dispmath]2E(X)=1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+\frac{5}{2^4}+\cdots[/dispmath] A zatim ćemo od izraza za [inlmath]2E(X)[/inlmath] oduzeti izraz za [inlmath]E(X)[/inlmath] (i tako dobiti [inlmath]E(X)[/inlmath]), pri čemu ćemo odmah grupisati članove s jednakim imeniocima:
[dispmath]2E(X)-E(X)=E(X)=1+\frac{2}{2}-\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}-\frac{2}{2^2}+\frac{4}{2^3}-\frac{3}{2^3}+\frac{5}{2^4}-\frac{4}{2^4}+\cdots\\
E(X)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\cdots\\[/dispmath] To sad dalje možeš i sam, primenom izraza za sumu geometrijskog niza dobije se [inlmath]E(X)=2[/inlmath]...
Računanje disperzije
Može se koristiti ili formula [inlmath]\sigma^2(X)=E\Bigl(\bigl(X-E(X)\bigr)^2\Bigr)[/inlmath] ili formula [inlmath]\sigma^2(X)=E\left(X^2\right)-\bigl(E(X)\bigr)^2[/inlmath], isti đavo.
[dispmath]\sigma^2(X)=E\left(X^2\right)-\bigl(E(X)\bigr)^2\\
\sigma^2(X)=E\left(X^2\right)-4\\
\sigma^2(X)=\sum_{k=1}^\infty k^2P(X=k)-4[/dispmath] Sumu [inlmath]\sum\limits_{k=1}^\infty k^2P(X=k)[/inlmath] obeležićemo sa [inlmath]S[/inlmath], pa je [inlmath]\sigma^2(X)=S-4[/inlmath]. Ostalo je da nađemo [inlmath]S[/inlmath].
[dispmath]S=\frac{1^2}{2}+\frac{2^2}{2^2}+\frac{3^2}{2^3}+\frac{4^2}{2^4}+\frac{5^2}{2^5}+\cdots[/dispmath] Pa ćemo se sada dvaput poslužiti onom metodom korišćenom pri računanju [inlmath]E(X)[/inlmath]. Napišemo čemu je jednako [inlmath]2S[/inlmath]:
[dispmath]2S=1+\frac{2^2}{2}+\frac{3^2}{2^2}+\frac{4^2}{2^3}+\frac{5^2}{2^4}+\cdots[/dispmath] Nađemo [inlmath]2S-S[/inlmath], slično kao i malopre,
[dispmath]2S-S=S=1+\frac{2^2-1^2}{2}+\frac{3^2-2^2}{2^2}+\frac{4^2-3^2}{2^3}+\frac{5^2-4^2}{2^4}+\cdots\\
S=1+\frac{(2-1)(2+1)}{2}+\frac{(3-2)(3+2)}{2^2}+\frac{(4-3)(4+3)}{2^3}+\frac{(5-4)(5+4)}{2^4}+\cdots\\
S=1+\frac{3}{2}+\frac{5}{2^2}+\frac{7}{2^3}+\frac{9}{2^4}+\cdots[/dispmath] Sada, dakle, opet napišemo koliko je [inlmath]2S[/inlmath],
[dispmath]2S=2+3+\frac{5}{2}+\frac{7}{2^2}+\frac{9}{2^3}+\cdots[/dispmath] i onda kao i prošli put [inlmath]S[/inlmath] nađemo kao [inlmath]2S-S[/inlmath], al' to sad prepuštam tebi da završiš, dalje ne bi trebalo da bude teško...