Pozdrav, imam problema sa ovim zadatkom pa postavljam ovde:
"Dokazati da je [inlmath]\rho[/inlmath] relacija poretka i pronaći najveći, najmanji, minimalne i maksimalne elemente."

Relacija: [inlmath](x,y)\rho(z,w)\iff\cos x\leq\cos z\;\land y\;\leq w[/inlmath]
Skup: [inlmath][0,\pi]\times[0,\pi][/inlmath]

Pošto je [inlmath]\cos[/inlmath] opadajuća na [inlmath][0,\pi][/inlmath], znak se menja pa će biti [inlmath]x\geq z[/inlmath]
Dakle, relacija je [inlmath]\geq\times\leq[/inlmath]
Mene sada zanima kako da ispitam relaciju poretka za ovaj Dekartov proizvod (tj. proveriti refleksivnost, antisimetričnost i tranzitivnost)? Već od ranije znam da su obe [inlmath]\geq[/inlmath] i [inlmath]\leq[/inlmath] totalne relacije poretka, i njihov proizvod bi isto bio relacija poretka ali kako to ispitati konkretno?

Za drugi deo zadatka dalje treba pronaći najveći i najmanji element i ukoliko oni postoje onda su oni jedini minimalni i maksimalni. Ukoliko najveći i najmanji ne postoje, dalje se traže minimalni i maksimalni elementi.
U postupku je stavljeno [inlmath](x,y)\rho(a,b)[/inlmath] za najveći i [inlmath](a,b)\rho(x,y)[/inlmath] za najmanji. Konkretno me zanima zašto su tražene koordinate [inlmath](a,b)[/inlmath] kod najvećeg sa desne strane, a kod najmanjeg sa leve strane? Kako je ovo povezano sa relacijom [inlmath]\geq\times\leq[/inlmath], jer bi dalje bilo [inlmath]x\geq a\;\land\;y\leq b[/inlmath] za najveći tj. [inlmath]a\geq x\;\land\;b\leq y[/inlmath] za najmanji, ali ovo mi nema smisla jer će najveći element biti [inlmath](0,\pi)[/inlmath], a najmanji [inlmath](\pi,0)[/inlmath]. Jedan će se nalaziti na [inlmath]y[/inlmath] osi, a drugi na [inlmath]x[/inlmath] osi i pritom su oba podjednako udaljena od koordinatnog početka?



Da bih bolje pokazao ono što me buni, evo još jednog tabličnog primera:
[inlmath]\begin{array}{c|c|c}
\text{primer} & A=R\leq B=[0,1) & A=R\geq B=[0,1)\\ \hline
\text{gornje} & 10 & -2\\ \hline
\text{donje} & -2 & 10\\ \hline
\text{najveci} & \text{nema} & 0\\ \hline
\text{najmanji} & 0 & \text{nema}\\ \hline
\text{max} & \text{nema} & 0\\ \hline
\text{min} & 0 & \text{nema}\\ \hline
\text{sup} & 1 & 0\\ \hline
\text{inf} & 0 & 1\\ \hline
\end{array}[/inlmath]
Kako su se vrednosti "obrnule" nakon zamene znaka?
Mislim da najviše od svega ne razumem ovu relaciju jer ako gledam samo skup [inlmath]B=[0,1)[/inlmath] u prvom slučaju sve dobijene vrednosti imaju smisla.

Evo jedan update: Mislim da sam shvatio kako se rade ove stvari evo mog pojasnjenja, ispravite ako nije dobro:

(a) [inlmath][0,\pi]\times[0,\pi][/inlmath]
najveci: Traze se koordinate, [inlmath](a,b)[/inlmath] [inlmath](x,y)\rho(a,b)\iff x\geq a\;\land\;y\leq b[/inlmath]. Odavde imamo uslov da [inlmath]a[/inlmath] mora biti manje od bilo kog [inlmath]x\in[0,\pi][/inlmath] tj vizuelizujemo na [inlmath]x[/inlmath]-osi, dakle najveci je onda [inlmath]0[/inlmath]. Dalje potpuno analogno istu stvar radimo i za [inlmath]y[/inlmath] tj. [inlmath]b[/inlmath] koordinatu. Ovde imamo [inlmath]\leq[/inlmath], to znaci da je [inlmath]b[/inlmath] vece od svakog [inlmath]y\in[0,\pi][/inlmath], pa je prema tome ova koordinata [inlmath]\pi[/inlmath] (Opet lakse je vizuelno zamisliti na [inlmath]y[/inlmath]-osi). Tako se dobija najveci element [inlmath]=(0,\pi)[/inlmath]. Imamo najveci, znaci da je to i jedini maksimalni.

najmanji: Isti slucaj kao sa najvecim samo se koordinatama obrnu mesta pa ispadne [inlmath](a,b)\rho(x,y)\iff a\geq x\;\land\;b\leq y[/inlmath]
Opet moze da se posmatra preko koordinatnog sistema, samo ovaj put imamo [inlmath]a\geq x\;\land\;b\leq y[/inlmath] sto znaci da na [inlmath]x[/inlmath]-osi trazimo [inlmath]a[/inlmath] koje je vece od [inlmath]x\in[0,\pi][/inlmath], dakle [inlmath]a=\pi[/inlmath], i isto tako znamo da nam je potrebno [inlmath]b[/inlmath] manje od [inlmath]y \in [0, \pi][/inlmath]. Zakljucujemo da [inlmath]b[/inlmath] mora biti 0, znaci da je najmanji element [inlmath](\pi,0)[/inlmath] i to je istovremeno i jedini minimalni element. Voleo bih da skiciram ovo radi bolje interpretacije ali jos uvek ne znam da baratam crtanjem grafika na digitalan nacin.

Inace ovo objasnjenje moze pojasniti i bilo koju zabunu u tabeli.

Pošto se refleksivnost jednostavno dokazuje, dokazaću antisimetričnost relacije (tranzitivnost slično dokazujemo). Relacija [inlmath]\rho[/inlmath] je antisimetrična, ako je
[dispmath]x\rho y\;\land\;y\rho x\;\Rightarrow\;x=y[/dispmath] (ako je element [inlmath]x[/inlmath] u relaciji sa elementom [inlmath]y[/inlmath], i ako je [inlmath]y[/inlmath] u relaciji sa [inlmath]x[/inlmath], onda su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] jednaki; [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] su elementi skupa na kom je relacija definisana).
Primenimo to na navedenu relaciju. Treba dokazati da je
[dispmath](a,b)\rho(c,d)\;\land\;(c,d)\rho(a,b)\;\Rightarrow\;(a,b)=(c,d)[/dispmath]
a [inlmath](a,b)[/inlmath] i [inlmath](c,d)[/inlmath] jesu elementi skupa [inlmath]I\times I[/inlmath], [inlmath]I=[0,\pi][/inlmath].
U prvom (i poslednjem) koraku dokaza koristimo definiciju relacije. U dokazivanju koristimo poznate činjenice (zakone), u ovom slučaju, osim nekih dobro poznatih osobina, koristimo asocijativnost i komutativnost logičke operacije [inlmath]\land[/inlmath].
[dispmath](a,b)\rho(c,d)\land(c,d)\rho(a,b)\Leftrightarrow(\cos a\le\cos c\land b\le d)\land(\cos c\le\cos a\land d\le b)\Rightarrow[/dispmath][dispmath]\cos a=\cos c\land b=d\Leftrightarrow[/dispmath] Pošto iz jednakosti [inlmath]\cos a=\cos c[/inlmath] ne mora da sledi da je [inlmath]a=c[/inlmath], obrazložimo to posebno.
[dispmath]\cos a=\cos c\Leftrightarrow cos a-\cos c=0\Leftrightarrow-2\sin\frac{a+c}{2}\sin\frac{a-c}{2}=0\Leftrightarrow\sin\frac{a+c}{2}=0\lor\sin\frac{a-c}{2}=0[/dispmath] Pošto je [inlmath]0\le a\le\pi[/inlmath] i [inlmath]0\le c\le\pi[/inlmath], sabiranjem tih nejednakosti dobijamo [inlmath]0\le a+c\le2\pi\Leftrightarrow0\le\frac{a+c}{2}\le\pi[/inlmath], pa su rešenja jednačine [inlmath]\sin\frac{a+c}{2}=0[/inlmath], brojevi [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]\pi[/inlmath]. Ako je [inlmath]\frac{a+c}{2}=0\Leftrightarrow a=-c[/inlmath], a pošto su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath], nenegativni, sledi da je [inlmath]a=c=0[/inlmath]. Ako je [inlmath]\frac{a+c}{2}=\pi\Leftrightarrow a+c=2\pi[/inlmath] a to je moguće samo ako je [inlmath]a=c=\pi[/inlmath].

Slično iz [inlmath]\sin\frac{a-c}{2}=0[/inlmath] sledi da je [inlmath]a=c[/inlmath]. Dakle
[dispmath]\cos a=\cos c\;\land\;b=d\;\Rightarrow\;a=c\;\land\;b=d\;\Leftrightarrow\;(a,b)=(c,d).[/dispmath]