MATEMANIJA

Zadatak glasi:
Dokazati da je tautologija primenom elementarnih transformacija:
[dispmath](p\Leftrightarrow q)\Leftrightarrow ((p\Rightarrow q)\land (q\Rightarrow p))[/dispmath]
Dokazujemo u oba smera.
Prvo, u smeru [inlmath](\Rightarrow)[/inlmath]
[dispmath]\neg((\neg p\lor q)\land (\neg q\lor p))\lor ((\neg p\lor q)\land (\neg q\lor p))[/dispmath]
Ovde nisam siguran kod brisanja zagrada, kad ih smemo brisati a kada ne. Da li se sada [inlmath]((\neg p\lor q)\land (\neg q\lor p))[/inlmath] može zapisati kao [inlmath](\neg p\lor q\land\neg q\lor p)[/inlmath]. Takođe nisam siguran i oko primene komutativnosti, recimo uopšteno [inlmath]A\lor B\land C[/inlmath]. Da li je to ekvivalentno sa [inlmath]A\land C\lor B[/inlmath]?
Konkretno, u ovom zadatku iz navedenih izraza ( i iz početnog, a i iz ovog drugog) je očigledno da je vrednost formule uvek tačna, tj, ako imamo [inlmath]\neg\alpha\lor\alpha[/inlmath] sledi da je uvek tačna, jer disjunkcija je netačna ako su oba iskaza netačna, a ovde to se neće nikada desiti jer imamo iskaz i njegovu negaciju. Ali me interesuje kako bi se rešilo kada bi išli korak po korak? One nedoumice me koče.

Miladin Jovic je napisao:Ovde nisam siguran kod brisanja zagrada, kad ih smemo brisati a kada ne. Da li se sada [inlmath]((\neg p\lor q)\land (\neg q\lor p))[/inlmath] može zapisati kao [inlmath](\neg p\lor q\land\neg q\lor p)[/inlmath]. Takođe nisam siguran i oko primene komutativnosti, recimo uopšteno [inlmath]A\lor B\land C[/inlmath]. Da li je to ekvivalentno sa [inlmath]A\land C\lor B[/inlmath]?

Na to pitanje si možeš sâm odgovoriti, tako što kreiraš tabelu,
[dispmath]\begin{array}{c|c|c|c|c}
A & B & C & A\lor B\land C & A\land C\lor B\\ \hline
\begin{matrix}
\top\\
\top\\
\top\\
\top\\
\bot\\
\bot\\
\bot\\
\bot
\end{matrix} & \begin{matrix}
\top\\
\top\\
\bot\\
\bot\\
\top\\
\top\\
\bot\\
\bot
\end{matrix} & \begin{matrix}
\top\\
\bot\\
\top\\
\bot\\
\top\\
\bot\\
\top\\
\bot
\end{matrix} & \vdots & \vdots
\end{array}[/dispmath]
zatim popuniš kolonu [inlmath]A\lor B\land C[/inlmath] i kolonu [inlmath]A\land C\lor B[/inlmath] i, ako u svim vrstama tih kolona dobiješ identične istinitosne vrednosti, tada znači da je [inlmath]A\lor B\land C[/inlmath] isto što i [inlmath]A\land C\lor B[/inlmath]. U suprotnom, nije isto.

Miladin Jovic je napisao:Konkretno, u ovom zadatku iz navedenih izraza ( i iz početnog, a i iz ovog drugog) je očigledno da je vrednost formule uvek tačna, tj, ako imamo [inlmath]\neg\alpha\lor\alpha[/inlmath] sledi da je uvek tačna, jer disjunkcija je netačna ako su oba iskaza netačna, a ovde to se neće nikada desiti jer imamo iskaz i njegovu negaciju. Ali me interesuje kako bi se rešilo kada bi išli korak po korak? One nedoumice me koče.

Ja bih to radio upravo tako kao što si naveo u prvoj rečenici citata i nema nikakvog razloga da se to ne prizna kao tačno. Znači, [inlmath]\big((\neg p\lor q)\land (\neg q\lor p)\big)[/inlmath] obeležiš sa [inlmath]r[/inlmath] i onda to postaje [inlmath]\neg r\lor r[/inlmath], a to je uvek tačno.

Izrazi u tabeli nisu ekvivalentni. Kako se onda rastavlja uopšteno [inlmath](A\land B)\lor (C\land D)[/inlmath]? U nekom zadatku smo [inlmath](A\lor B)\lor (C\land D)[/inlmath] napisali kao
[inlmath](A\lor B \lor C)\land (A\lor B\lor D)[/inlmath]

Primeniš formulu za osobinu distribucije, [inlmath]P\lor\left(Q\land R\right)\iff\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right)[/inlmath], u koju umesto [inlmath]P[/inlmath] uvrstiš [inlmath]\left(A\lor B\right)[/inlmath], umesto [inlmath]Q[/inlmath] uvrstiš [inlmath]C[/inlmath], a umesto [inlmath]R[/inlmath] uvrstiš [inlmath]D[/inlmath].