MATEMANIJA

1. Pitanje
1. Zadatak: Korišćenjem logičkih operacija i kvantora zapisati rečenicu:
"Postoji zajednički sadržalac za bilo koje prirodne brojeve [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]".

Da li je bitan redosled kvantifikatora (ja smatram da nije, ali nisam siguran):
[dispmath](\exists z)(\forall x)(\forall y)(x\mid z\;\land\;y\mid z),\\
(\forall x)(\forall y)(\exists z)(x\mid z\;\land\;y\mid z).[/dispmath] Ali, da sam recimo promenio u potpunosti brojčano kvantifikatore i njihov odnos, tu bi već došlo do osetne promene, bez obzira na njihov redosled - takođe:
[dispmath](\forall z)(\exists x)(\exists y)(x\mid z\;\land\;y\mid z),\\
(\exists x)(\exists y)(\forall z)(x\mid z\;\land\;y\mid z).[/dispmath]
2. Pitanje
Nije mi najjasnije na osnovu čega se u matematici došlo do sledećeg pravila:
[dispmath](\forall x\in\mathbb{N})\thinspace p(x)\iff(\forall x)\thinspace\bigl(x\in\mathbb{N}\;\Longrightarrow\;p(x)\bigr),\\
(\exists x\in\mathbb{N})\thinspace p(x)\iff(\exists x)\thinspace\bigl(x\in\mathbb{N}\;\land\;p(x)\bigr).[/dispmath] Konkretno - pitam se zašto je kvantifikatoru [inlmath]\forall[/inlmath] pripala [inlmath]\Longrightarrow[/inlmath] (implikacija), dok je kvantifikatoru [inlmath]\exists[/inlmath] pripala [inlmath]\land[/inlmath] (konjunkcija)? Jer, nisam primetio i nakon više urađenih zadataka neku ključnu razliku prilikom zaključivanja. Bilo bi mi puno jasnije ako bi neki od članova napisao i primere sa zadacima i ključnim razlikama koje nastaju, naravno, ako postoje i ako nisu matematičari proizvoljno dodelili kvantifikatorima logičke operacije koje važe za njih.

3. Pitanje
Verujem da čovek kao i u recimo srpskom jeziku i svakom drugom može na više načina da 'poentira' tj. da nešto predstavi onakvim kakvim jeste na više različitih načina, pa iz tog razloga i sledi moje pitanje:
2. Zadatak: Korišćenjem logičkih operacija i kvantora zapisati sledeće rečenice:
a) "Postoji najviše jedan broj čiji je kvadrat nula";
b) "Postoji tačno jedan broj čiji je kvadrat nula".
Rešenja:
a) [inlmath]\lnot(\exists x)(\exists y)\thinspace\left(x^2=0\;\land\;y^2=0\;\land\;x\neq y\right)[/inlmath];
b) [inlmath](\exists x)\Bigl(x^2=0\;\land\;(\forall y)\left(y^2=0\;\land\;y\Longrightarrow x\right)\Bigr)[/inlmath], a šta da sam napisao recimo [inlmath](\exists_1x)\left(x^2=0\right)[/inlmath] zar nije i to tačno?
I ono najvažnije; po meni su rešenja slobodno mogla da se zamene (da podzadatku a odgovara rešenje b, i obratno), i da odgovori opet budu tačni (izuzev mog rešenja sa kvantorom [inlmath]\exists_1x[/inlmath]). Ja nikako ne mogu da primetim razliku koje su to finese koje odlučuju za reč 'najviše' i 'tačno', a da su prenete u formulu. I otkud bih se ja setio baš tako da napišem formulu, držao bih se tih ideja zasigurno, ali najverovatnije bih ga napisao bar malo drugačije - e baš to mi se dešava kod većine zadataka da se rešenja ne poklapaju, ali da prenose sličnu misao - donekle.
I u vezi ovog pitanja zamolio bih po neki primer, ili još bolje da se ovaj zadatak sa svojim podzadacima reši na više načina.

Matematička logika mi nije jača strana, pa ću prokomentarisati samo treći zadatak.

Ponuđene rečenice nikako nisu iste sa jezičke tačke gledišta. U prvoj se kaže da "najviše jedan broj ima kvadrat jednak nuli", ili, drugim rečima, najviše može da bude jedan takav broj, a može da ih bude i manje. Dakle ova rečenica nam kaže da brojeva sa kvadratom jednakim nuli može da bude ili nula (ne postoji takav broj) ili jedan.

U drugoj rečenici se kaže da "tačno jedan broj ima kvadrat jednak nuli". Dakle ni manje ni više nego jedan jedini.

Naravno, kada nam "jezičke" rečenice saopštavaju različite informacije, onda ni njihovi matematički zapisi ne mogu da budu isti.

1. Pitanje

štime je napisao:Da li je bitan redosled kvantifikatora (ja smatram da nije, ali nisam siguran):
[dispmath](\exists z)(\forall x)(\forall y)(x\mid z\;\land\;y\mid z),\\
(\forall x)(\forall y)(\exists z)(x\mid z\;\land\;y\mid z).[/dispmath]

I te kako je bitan redosled. Promenom redosleda suštinski se menja značenje. Prvi iskaz bi glasio „Postoji neki broj [inlmath]z[/inlmath] koji predstavlja zajednički sadržalac za svaka dva broja“, dok drugi iskaz glasi „Za svaka dva broja postoji neki njihov zajednički sadržalac“. Očigledno da je, ukoliko se posmatra skup prirodnih brojeva, prvi iskaz netačan a drugi tačan (i taj drugi iskaz je, zapravo, onaj iskaz koji je i zadat, samo s malo izmenjenim redosledom reči).

Sličan primer bi bile rečenice „Postoji jezik koji govore svi ljudi na svetu“ i „Svaki čovek na svetu govori neki jezik“. Ako razumeš razliku u smislu između ove dve rečenice, neće ti biti problem ni da razumeš razliku između ta dva iskaza koja si naveo.

štime je napisao:Ali, da sam recimo promenio u potpunosti brojčano kvantifikatore i njihov odnos, tu bi već došlo do osetne promene, bez obzira na njihov redosled - takođe:
[dispmath](\forall z)(\exists x)(\exists y)(x\mid z\;\land\;y\mid z),\\
(\exists x)(\exists y)(\forall z)(x\mid z\;\land\;y\mid z).[/dispmath]

Tako je, promena je i ovde drastična. Prvi iskaz bi glasio „Svaki broj predstavlja zajednički sadržalac neka dva broja“ (što je u skupu prirodnih brojeva tačno, jer svaki prirodan broj jeste zajednički sadržalac jedinice i samog sebe). Drugi iskaz bi glasio „Postoje neka dva broja takva da je svaki broj njihov zajednički sadržalac“ (što je takođe tačno, jer su ta dva broja [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] (nije rečeno da ta dva broja moraju biti različita)). Oba ova iskaza su bitno drugačija od onog iskaza koji je zadat.

@miletrans, pre svega hvala što si izdvojio vreme i pokušao da mi pomogneš. Ali, iskren da budem i dalje mi nije potpuno jasno kakva je to razlika.
I ako bi mogao da mi kažeš da li u 2. zadatku pod b, u redu ova formula [inlmath](\exists_1x)\left(x^2=0\right)[/inlmath] kao rešenje tog zadatka?

@Daniel, hvala na dosadašnjoj pomoći, ali bune me neke novonastale okolnosti:

Daniel je napisao:1. Pitanje

štime je napisao:Da li je bitan redosled kvantifikatora (ja smatram da nije, ali nisam siguran):
[dispmath](\exists z)(\forall x)(\forall y)(x\mid z\;\land\;y\mid z),\\
(\forall x)(\forall y)(\exists z)(x\mid z\;\land\;y\mid z).[/dispmath]

I te kako je bitan redosled. Promenom redosleda suštinski se menja značenje. Prvi iskaz bi glasio „Postoji neki broj [inlmath]z[/inlmath] koji predstavlja zajednički sadržalac za sve brojeve“, dok drugi iskaz glasi „Za svaka dva broja postoji neki njihov zajednički sadržalac“.

Daniel je napisao:

štime je napisao:Ali, da sam recimo promenio u potpunosti brojčano kvantifikatore i njihov odnos, tu bi već došlo do osetne promene, bez obzira na njihov redosled - takođe:
[dispmath](\forall z)(\exists x)(\exists y)(x\mid z\;\land\;y\mid z),\\
(\exists x)(\exists y)(\forall z)(x\mid z\;\land\;y\mid z).[/dispmath]

Tako je, promena je i ovde drastična. Prvi iskaz bi glasio „Svaki broj predstavlja zajednički sadržalac neka dva broja“ (što je u skupu prirodnih brojeva tačno, jer svaki prirodan broj jeste zajednički sadržalac jedinice i samog sebe). Drugi iskaz bi glasio „Postoje neka dva broja takva da je svaki broj njihov zajednički sadržalac“ (što je takođe tačno, jer su ta dva broja [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] (nije rečeno da ta dva broja moraju biti različita)). Oba ova iskaza su bitno drugačija od onog iskaza koji je zadat.

Da rezimiram u čemu nastaje zabuna:
[inlmath](\exists z)(\forall x)(\forall y)[/inlmath] - "Postoji neki...za sve brojeve". Zašto nije za svaka dva broja? Dok su preostala tri sasvim jasna;
[inlmath](\forall x)(\forall y)(\exists z)[/inlmath] - "Za svaka dva...postoji neki";
[inlmath](\forall z)(\exists x)(\exists y)[/inlmath] - "Svaki broj...neka dva broja";
[inlmath](\exists x)(\exists y)(\forall z)[/inlmath] - "Postoji neka dva...svaki broj".

I zamolio bih da mi neko odgovori i na 2. pitanje. Jer na njega nisam dobio odgovor, a užasno me zanima.

štime je napisao:Da rezimiram u čemu nastaje zabuna:
[inlmath](\exists z)(\forall x)(\forall y)[/inlmath] - "Postoji neki...za sve brojeve". Zašto nije za svaka dva broja? Dok su preostala tri sasvim jasna;

Da, to si dobro primetio, moja greška, zaista treba da stoji svaka dva broja. Hvala na opažanju, ispraviću da ne bi i ostale čitaoce zbunilo.
U principu, ako je taj broj sadržalac bilo koja dva broja nekog skupa, to znači da je sadržalac i neka druga dva broja, pa još neka druga dva broja... i tako induktivnim razmišljanjem dolazimo do toga da je taj broj sadržalac svih brojeva tog skupa, tako da ni to što sam napisao nije sasvim netačno. Ali, ako bismo doslovno tumačili taj iskaz, bez daljeg zaključivanja, onda je ispravno tumačenje „... za svaka dva broja“.

štime je napisao:I zamolio bih da mi neko odgovori i na 2. pitanje. Jer na njega nisam dobio odgovor, a užasno me zanima.

Polako, biće odgovor i na 2. pitanje, ali dosta si pitanja postavio, pa ne može sve odjednom. Tačka 16. Pravilnika.

@Daniel, čitao sam pravilnik, ali pomislio sam kako je ipak bolje da podsetim članove

Daniel je napisao:1. Pitanje

štime je napisao:Da li je bitan redosled kvantifikatora (ja smatram da nije, ali nisam siguran):
[dispmath](\exists z)(\forall x)(\forall y)(x\mid z\;\land\;y\mid z),\\
(\forall x)(\forall y)(\exists z)(x\mid z\;\land\;y\mid z).[/dispmath]

I te kako je bitan redosled. Promenom redosleda suštinski se menja značenje. Prvi iskaz bi glasio „Postoji neki broj [inlmath]z[/inlmath] koji predstavlja zajednički sadržalac za svaka dva broja“, dok drugi iskaz glasi „Za svaka dva broja postoji neki njihov zajednički sadržalac“. Očigledno da je, ukoliko se posmatra skup prirodnih brojeva, prvi iskaz netačan a drugi tačan (i taj drugi iskaz je, zapravo, onaj iskaz koji je i zadat, samo s malo izmenjenim redosledom reči).

Iskreno, nije mi jasno za koje [inlmath]x,y,z\in\mathbb{N}[/inlmath] neće važiti prvi iskaz, a drugi hoće? I takođe, i dalje ne mogu da primetim suštinsku razliku ako im promenimo redosled.

Dakle, u prvom primeru, kako smo se složili, iskaz glasi „Postoji neki broj [inlmath]z[/inlmath] koji predstavlja zajednički sadržalac za svaka dva broja“. I, dogovorili smo se (mada to nije u zadatku naglašeno) da posmatramo da li ovo važi u skupu prirodnih brojeva. E sad, ti mi kažeš neki prirodan broj [inlmath]z[/inlmath], a ja uvek mogu naći neka dva prirodna broja [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] takva da to [inlmath]z[/inlmath] koje si prethodno odabrao ne bude njihov zajednički sadržalac (npr. jedan od ta dva broja odaberem tako da bude veći od [inlmath]z[/inlmath], a samim tim [inlmath]z[/inlmath] ne može biti njegov sadržalac – to je jedan od mogućih kontraprimera). Time je pokazano da nije tačno da je moguće naći takav prirodan broj [inlmath]z[/inlmath] koji će biti zajednički sadržalac bilo koja dva prirodna broja.

S druge strane, u drugom iskazu, koji glasi „Za svaka dva broja postoji neki njihov zajednički sadržalac“, ti mi kažeš bilo koja dva prirodna broja [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], a ja ću ti za njih uvek naći neki njihov zajednički sadržalac (npr. dovoljno je da ih samo pomnožim – proizvod [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] jeste njihov zajednički sadržalac).

Ako ti nije jasna suštinska razlika između ova dva primera, da li si razumeo onaj moj primer s ljudima i jezicima?

štime je napisao:2. Pitanje
Nije mi najjasnije na osnovu čega se u matematici došlo do sledećeg pravila:
[dispmath](\forall x\in\mathbb{N})\thinspace p(x)\iff(\forall x)\thinspace\bigl(x\in\mathbb{N}\;\Longrightarrow\;p(x)\bigr),\\
(\exists x\in\mathbb{N})\thinspace p(x)\iff(\exists x)\thinspace\bigl(x\in\mathbb{N}\;\land\;p(x)\bigr).[/dispmath] Konkretno - pitam se zašto je kvantifikatoru [inlmath]\forall[/inlmath] pripala [inlmath]\Longrightarrow[/inlmath] (implikacija), dok je kvantifikatoru [inlmath]\exists[/inlmath] pripala [inlmath]\land[/inlmath] (konjunkcija)?

[inlmath](\forall x\in\mathbb{N})p(x)[/inlmath] čitamo kao „Za svaki prirodan broj [inlmath]x[/inlmath] važi [inlmath]p(x)[/inlmath]“. Odatle intuitivno možemo zaključiti da, ako je [inlmath]x[/inlmath] prirodan broj tada [inlmath]p(x)[/inlmath] mora važiti, dok ako [inlmath]x[/inlmath] nije prirodan broj tada [inlmath]p(x)[/inlmath] može ali i ne mora važiti. To opet, drugim rečima, znači da iz podatka da je [inlmath]x[/inlmath] prirodan broj obavezno sledi [inlmath]p(x)[/inlmath]. Otuda implikacija.

[inlmath](\exists x\in\mathbb{N})p(x)[/inlmath] čitamo kao „Postoji neki prirodan broj [inlmath]x[/inlmath] takav da važi [inlmath]p(x)[/inlmath]“. Intuitivno je, opet, jasno da to možemo preformulisati tako da kažemo „Postoji neki broj [inlmath]x[/inlmath] koji je prirodan broj i za koji važi [inlmath]p(x)[/inlmath]. Otuda konjunkcija.

Haj'mo sada da u gornjim iskaznim formulama zamenimo znake implikacije i konjunkcije, pa da vidimo šta će se desiti.

[inlmath](\forall x)\bigl(x\in\mathbb{N}\;\land\;p(x)\bigr)[/inlmath] – ovo bismo čitali kao „Za svaki broj [inlmath]x[/inlmath] važi da je prirodan broj i da važi [inlmath]p(x)[/inlmath]“. Dakle, ovakvim iskazom se isključuje postojanje bilo kakvih drugih brojeva osim prirodnih. Vidimo da je, samim tim, ova iskazna formula suštinski različita od formule [inlmath](\forall x\in\mathbb{N})p(x)[/inlmath] koja ne isključuje postojanje drugih brojeva osim prirodnih, tako da ne važi ekvivalencija između [inlmath](\forall x\in\mathbb{N})p(x)[/inlmath] i [inlmath](\forall x)\bigl(x\in\mathbb{N}\;\land\;p(x)\bigr)[/inlmath].

[inlmath](\exists x)\thinspace\bigl(x\in\mathbb{N}\;\Longrightarrow\;p(x)\bigr)[/inlmath] – ovo bismo čitali kao „postoji neki broj [inlmath]x[/inlmath] takav da, ako je to prirodan broj, onda važi [inlmath]p(x)[/inlmath]“. Na prvi pogled, ovo se i ne razlikuje mnogo od [inlmath](\exists x\in\mathbb{N})p(x)[/inlmath], ali krije u sebi jednu „zamku“. Dok [inlmath](\exists x\in\mathbb{N})p(x)[/inlmath] ukazuje na obavezno postojanje bar jednog prirodnog broja, [inlmath](\exists x)\thinspace\bigl(x\in\mathbb{N}\;\Longrightarrow\;p(x)\bigr)[/inlmath] dopušta nepostojanje nijednog prirodnog broja (druga je stvar koliko je to matematički tačno, ali ovde se bavimo samo interpretacijom iskaza) jer leva strana implikacije ne mora biti tačna da bi implikacija bila tačna. Zbog toga ne važi ekvivalencija između [inlmath](\exists x\in\mathbb{N})p(x)[/inlmath] i [inlmath](\exists x)\thinspace\bigl(x\in\mathbb{N}\;\Longrightarrow\;p(x)\bigr)[/inlmath].

Sačekao bih da vidimo da li imaš u vezi s ovim nekih nejasnoća, pre nego što pređemo na 3. pitanje.

@Daniel,

O 1. pitanju:
Shvatio sam kako je zapravo mnogo bitan redosled, i rečenica dok se 'čita' mora teći postepenim redosledom pa se na osnovu toga rečenice mogu umnogome razlikovati. Jer, ti si pokazujući primer pojasnio kako dok se redom čita rečenica automatski i istim takvim redom postavljaju i ispunjavaju uslovi odnosno donosi neki zaključak.

O 2. pitanju:
Razmislio sam, i mislim da sam shvatio u čemu je suština.
Ovako, kod kvantifikatora [inlmath]\forall[/inlmath] tu smo mogli da 'prisvojimo' kao nekakav standardan oblik i [inlmath]\forall[/inlmath] uz [inlmath]\land[/inlmath], naravno poštujući promenu do koje dolazi; da se odnosni samo na određeni skup brojeva, a ne na sve moguće brojeve. Hoću da kažem nema neke drastične razlike, niti drastičnog razloga zašto polazni oblici baš tako izgledaju, to je više ilustrativne prirode da nam pokaže da je ispravno i skratiti izraze (što matematičari obožavaju da rade), a da se ne gubi na značenju.
Dok kod kvantifikatora [inlmath]\exists[/inlmath] i [inlmath]\Longrightarrow[/inlmath] dolazi do ozbiljnih promena, jer polazni iskaz koji posmatramo i uzimamo kao premisu nema nekog smisla (bio on istinit ili lažan) i to je glavni razlog zašto se 'isključivo' koristi [inlmath]\land[/inlmath].
Između ostalog formule su 'fleksibline' i mi sami smišljamo pomoću logičkih operacija, konstanti, promenljivih i kvantifikatora ono što hoćemo da iskažemo bilo da se to traži od nas ili mi to želimo.

O 3. pitanju:
Mogli bi da pređemo na 3. pitanje, ako nisam negde pogrešio u razumevanju prethodna dva.

Iskreno, pročitao sam nekoliko puta tvoj zaključak za 2. pitanje, ali nisam sasvim siguran da li sam razumeo šta si želeo da kažeš, tako da ne mogu ni da prokomentarišem da li ti je razmišljanje ispravno ili ne. Ali haj'mo na 3. pitanje.

Razliku između a) i b) miletrans ti je sasvim lepo objasnio – najviše jedan znači da može biti ili nijedan ili jedan, dok tačno jedan znači upravo to – da ne može biti ni manje od jedan ni veće od jedan, već tačno jedan (matematičari bi za to još rekli jedan i samo jedan).

a) [inlmath]\lnot(\exists x)(\exists y)\left(x^2=0\;\land\;y^2=0\;\land\;x\neq y\right)[/inlmath]
Suština ove iskazne formule je to, da nije moguće da istovremeno bude ispunjeno da su kvadrati dva broja jednaki nuli, i da su ti brojevi međusobno različiti. Znači, moguće je da bude [inlmath]x^2=0\;\land\;y^2=0[/inlmath] ali da je pritom [inlmath]x=y[/inlmath] (u tom slučaju imamo jedan broj čiji je kvadrat jednak nuli), a moguće je i da bude [inlmath]x\ne y[/inlmath] ali tada bar jedan od iskaza [inlmath]x^2=0[/inlmath] ili [inlmath]y^2=0[/inlmath] nije tačan (tj. može biti tačan samo jedan od njih, a mogu i oba biti netačna). Time je zapravo rečeno, ili da ne postoji broj koji dignut na kvadrat daje nulu, ili da postoji tačno jedan broj koji dignut na kvadrat daje nulu – što znači da postoji najviše jedan broj koji dignut na kvadrat daje nulu.

b) [inlmath](\exists x)\Bigl(x^2=0\;\land\;(\forall y)\left(y^2=0\;\land\;y\Longrightarrow x\right)\Bigr)[/inlmath]
U ovoj formuli, dakle, imamo konjunkciju, tj. postoji neko [inlmath]x[/inlmath] takvo da mora biti ispunjeno i [inlmath]x^2=0[/inlmath] i [inlmath](\forall y)\left(y^2=0\;\land\;y\Longrightarrow x\right)[/inlmath]. Znači, kvadrat tog broja je nula, a za svaki broj tog skupa važi da, ako mu je kvadrat jednak nuli, onda je taj broj zapravo [inlmath]x[/inlmath]. Drugim rečima, postoji taj [inlmath]x[/inlmath] čiji je kvadrat jednak nuli, a ne postoji nijedan drugi broj različit od [inlmath]x[/inlmath] čiji je kvadrat jednak nuli. To jest, postoji tačno jedan (možemo reći i jedan i samo jedan) broj čiji je kvadrat jednak nuli.

štime je napisao:a šta da sam napisao recimo [inlmath](\exists_1x)\left(x^2=0\right)[/inlmath] zar nije i to tačno?

Jeste, tačno je. To je tzv. jedinstveni (unikatni) kvantifikator, u različitoj literaturi se mogu još naći i oznake poput [inlmath]\exists!x[/inlmath] i [inlmath]\exists_{=1}x[/inlmath] (možeš pogledati ovaj i ovaj link). Međutim, u ovom tvom zadatku očigledno je traženo da se zadati iskazi zapišu bez korišćenja jedinstvenog kvantifikatora – dakle, samo uz pomoć univerzalnog i egzistencijalnog kvantifikatora.

@Daniel, još jednom da se nadovežem u vezi 2. pitanja. Priznajem, deluje zbunjujuće to što sam napisao. A hteo sam da kažem kako ona dva demonstrativna primera koji pokazuju kako oblik predikatske formule može biti drugačijeg izgleda, a da predstavlja jedno isto, i da se ta dva pomenuta primera najčešće nalaze u literaturi, a nalaze se jer fino pokazuju u konkretnom slučaju kom kvantifikatoru šta bolje 'paše'. I ti si to lepo prikazao. Ništa više od toga.

Reč je o:
[dispmath](\forall x\in\mathbb{N})\thinspace p(x)\iff(\forall x)\thinspace\bigl(x\in\mathbb{N}\;\Longrightarrow\;p(x)\bigr),\\
(\exists x\in\mathbb{N})\thinspace p(x)\iff(\exists x)\thinspace\bigl(x\in\mathbb{N}\;\land\;p(x)\bigr).[/dispmath]

---

U međuvremenu došlo je do novih nejasnoća, a tiču se ove teme. Pa da pređemo:

5. Zašto se,
[dispmath]A\cap B=\{x\mid x\in A\;\land\;x\in B\},\\
A\cup B=\{x\mid x\in A\;\lor\;x\in B\},\\
A\backslash B=\{x\mid x\in A\;\land\;x\notin B\},\\
A^\mathsf{c}=\{x\mid x\notin A\},[/dispmath] definišu [inlmath]A=\{x\mid p(x)\}[/inlmath], skup [inlmath]A[/inlmath] čiji su elementi [inlmath]x[/inlmath] takvi da važi svojstvo [inlmath]p(x)[/inlmath]?

Dok,
[dispmath]A\subseteq B\iff(\forall x)(x\in A\;\Longrightarrow\;x\in B),\\
A=B\iff(\forall x)(x\in A\iff x\;\in B),[/dispmath] ne u obliku formata skupova i vitičastih zagrada, već u obliku predikatske formule (matematičke logike).
Po meni je slobodno moglo da se umesto [inlmath]A=B\iff(\forall x)(x\in A\iff x\;\in B)[/inlmath], zapisati kao [inlmath]A=B=\{x\mid x\in A\iff x\in B\}[/inlmath]. Da li je to ispravno?

6. Zatim:
a) Da li je korektan zapis kada se za element skupa smatra uređeni par [inlmath](x,y)[/inlmath] pisati ga kao [inlmath]A\cap B=\{(x,y)\mid(x,y)\in A\;\land\;(x,y)\in B\}[/inlmath]. Format je isti, samo smo umesto [inlmath]x[/inlmath] pisali [inlmath]x,y[/inlmath];
b) Da li je korektno ukoliko se umesto [inlmath]\land[/inlmath] piše [inlmath],[/inlmath] (zapeta), npr. [inlmath]A\cap B=\{(x,y)\mid(x,y)\in\mathbb{N}\;\land\;x+y=10\}[/inlmath] nek' se piše [inlmath]A\cap B=\{(x,y)\mid(x,y)\in\mathbb{N},\;x+y=10\}[/inlmath];
c) Takođe da li je prihvatljivo ako zamenimo [inlmath](\forall x\in A)(x\,\rho\,x)[/inlmath] za [inlmath](\forall x\in A)\bigl((x,x)\in\rho\bigr)[/inlmath];
d) Slično kao u prethodnom primeru,
[dispmath](x\,\rho\,y)\overset{\text{def}}\iff(x+y=3\;\land\;x-y=1),\\
(x,y)\in\rho\overset{\text{def}}\iff(x+y=3,\;x-y=1),[/dispmath] ali uz još jednu nejasnoću - na koji način su zadovoljenje implikacije iz levog odnosno desnog smera da bi postala ekvivalencija, kako je zadovoljen potreban i dovoljan uslov u konkretnom primeru?

Znači, 4. pitanje preskačemo? Dešava se da se ponekad namerno s 12. pitanja preskoči na 14. pitanje, valjda zbog nekakvog sujeverja, no ne verujem da je to ovde slučaj.

OK, onda 5. pitanje:
Treba da praviš razliku između operacija i relacija. [inlmath]A\cap B[/inlmath], [inlmath]A\cup B[/inlmath], [inlmath]A\setminus B[/inlmath] i [inlmath]A^\mathsf{c}[/inlmath] predstavljaju operacije nad skupovima, dok [inlmath]A\subseteq B[/inlmath] i [inlmath]A=B[/inlmath] predstavljaju relacije nad skupovima (isto kao što [inlmath]+[/inlmath], [inlmath]-[/inlmath], [inlmath]\cdot[/inlmath] i [inlmath]/[/inlmath] predstavljaju operacije nad brojevima, dok [inlmath]=[/inlmath], [inlmath]\ne[/inlmath], [inlmath]<[/inlmath], [inlmath]>[/inlmath], [inlmath]\le[/inlmath] i [inlmath]\ge[/inlmath] predstavljaju relacije nad brojevima).
Rezultat operacije nad brojevima predstavlja neki novi broj, dok rezultat operacije nad skupovima predstavlja neki novi skup – npr. operacija preseka dva skupa, [inlmath]A\cap B[/inlmath], daje neki novi skup (koji sadrži one elemente koji pripadaju i jednom i drugom skupu).
S druge strane, relacija predstavlja iskaz (koji, samim tim, može biti tačan ili netačan – tačan ako posmatrani elementi jesu u relaciji, netačan ako nisu).
Zbog toga se operacija i zapisuje u formi skupa, a relacija u formi iskaza.

Uostalom, hajde da vidimo šta bi bilo da smo u formuli za presek skupova [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], umesto [inlmath]\{x\mid x\in A\;\land\;x\in B\}[/inlmath] napisali [inlmath](\forall x)(x\in A\;\land\;x\in B)[/inlmath]. To bismo sada čitali kao: „za svako [inlmath]x[/inlmath] važi da pripada i skupu [inlmath]A[/inlmath] i skupu [inlmath]B[/inlmath]“. Drugim rečima, ne postoje elementi koji su samo u skupu [inlmath]A[/inlmath] a ne u skupu [inlmath]B[/inlmath], takođe ne postoje elementi koji su samo u skupu [inlmath]B[/inlmath] a ne u skupu [inlmath]A[/inlmath], a ne postoje ni elementi koji su izvan ovih skupova – postoje samo elementi koji pripadaju i jednom i drugom skupu (tj. preseku ovih skupova). Uočavaš li razliku u odnosu na [inlmath]\{x\mid x\in A\;\land\;x\in B\}[/inlmath], koji jasno označava skup svih onih elemenata koji su istovremeno i elementi skupa [inlmath]A[/inlmath] i elementi skupa [inlmath]B[/inlmath]?

Isto tako, da smo u formuli za jednakost skupova [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], umesto [inlmath](\forall x)(x\in A\iff x\;\in B)[/inlmath] napisali [inlmath]\{x\mid x\in A\iff x\in B\}[/inlmath], to bi sad označavalo skup svih onih elemenata takvih da ako element pripada skupu [inlmath]A[/inlmath] tada pripada i skupu [inlmath]B[/inlmath], kao i obratno. Dakle, tu bi spadali elementi koji pripadaju i skupu [inlmath]A[/inlmath] i skupu [inlmath]B[/inlmath] (tj. njihovom preseku) jer su tada obe strane ekvivalencije tačne pa je i ekvivalencija tačna, ali bi spadali i oni elementi koji ne pripadaju ni skupu [inlmath]A[/inlmath] ni skupu [inlmath]B[/inlmath] – jer su tada obe strane ekvivalencije netačne pa je ekvivalencija tačna.
Ili, prikazano pomoću Venovog dijagrama, to bi bila oblast označena zeleno:


Nasuprot tome, formula [inlmath](\forall x)(x\in A\iff x\;\in B)[/inlmath] predstavlja iskaz i njom se tvrdi da za svako [inlmath]x[/inlmath] važi da, ako pripada skupu [inlmath]A[/inlmath] tada pripada skupu [inlmath]B[/inlmath] i obratno. Dakle, ne postoje elementi koji pripadaju samo jednom od ovih skupova, tj. ta dva skupa su jednaka.

štime je napisao:6. Zatim:
a) Da li je korektan zapis kada se za element skupa smatra uređeni par [inlmath](x,y)[/inlmath] pisati ga kao [inlmath]A\cap B=\{(x,y)\mid(x,y)\in A\;\land\;(x,y)\in B\}[/inlmath]. Format je isti, samo smo umesto [inlmath]x[/inlmath] pisali [inlmath]x,y[/inlmath];

U opštem slučaju, elementi skupova [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] ne moraju biti samo uređeni parovi, mogu biti i npr. sami brojevi. Ako bi se presek definisao na ovaj način, njime bi bili obuhvaćeni uređeni parovi koji pripadaju i jednom i drugom skupu, ali ne bi bili obuhvaćeni i sami brojevi.
Konkretno, neka presek [inlmath]A\cap B[/inlmath] sadrži kao elemente [inlmath](2,5)[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath]. Iz ovako napisane definicije preseka sledilo bi da presek sadrži samo uređeni par [inlmath](2,5)[/inlmath], dakle, četvorka bi bila izostavljena.
Međutim, ako bi kao uslov bilo izričito naglašeno da svi elementi skupova [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] jesu uređeni parovi (što mi se čini da i jeste tvoje pitanje), tada bi se ovako napisana definicija preseka mogla smatrati tačnom.

štime je napisao:b) Da li je korektno ukoliko se umesto [inlmath]\land[/inlmath] piše [inlmath],[/inlmath] (zapeta), npr. [inlmath]A\cap B=\{(x,y)\mid(x,y)\in\mathbb{N}\;\land\;x+y=10\}[/inlmath] nek' se piše [inlmath]A\cap B=\{(x,y)\mid(x,y)\in\mathbb{N},\;x+y=10\}[/inlmath];

Da, korektno je. Smisao se ne menja.

štime je napisao:c) Takođe da li je prihvatljivo ako zamenimo [inlmath](\forall x\in A)(x\,\rho\,x)[/inlmath] za [inlmath](\forall x\in A)\bigl((x,x)\in\rho\bigr)[/inlmath];
d) Slično kao u prethodnom primeru,
[dispmath](x\,\rho\,y)\overset{\text{def}}\iff(x+y=3\;\land\;x-y=1),\\
(x,y)\in\rho\overset{\text{def}}\iff(x+y=3,\;x-y=1),[/dispmath]

Da, [inlmath]x\rho y[/inlmath] i [inlmath](x,y)\in\rho[/inlmath] su ekvivalentni iskazi.

štime je napisao:ali uz još jednu nejasnoću - na koji način su zadovoljenje implikacije iz levog odnosno desnog smera da bi postala ekvivalencija, kako je zadovoljen potreban i dovoljan uslov u konkretnom primeru?

Ovo pitanje nisam razumeo.

Daniel je napisao:

štime je napisao:ali uz još jednu nejasnoću - na koji način su zadovoljenje implikacije iz levog odnosno desnog smera da bi postala ekvivalencija, kako je zadovoljen potreban i dovoljan uslov u konkretnom primeru?

Ovo pitanje nisam razumeo.

Evo jedan primer:
[inlmath]xy=0[/inlmath] je potreban i dovoljan uslov (odnosno [inlmath]\iff[/inlmath]) za [inlmath]x=0\;\lor\;y=0[/inlmath]
[inlmath]p\iff q,[/inlmath] znači da je [inlmath]p[/inlmath] potreban i dovoljan uslov za [inlmath]q[/inlmath]. I da je [inlmath]q[/inlmath] potreban i dovoljan uslov za [inlmath]p[/inlmath]. Pa iz tog razloga pitam, na koji način je implikacija zadovoljena u oba smera da bi postala ekvivalencija u pomenutnom primeru, a to je:
[dispmath](x\,\rho\,y)\overset{\text{def}}\iff(x+y=3\;\land\;x-y=1),\\
(x,y)\in\rho\overset{\text{def}}\iff(x+y=3,\;x-y=1),[/dispmath] Nadam se da si malo bolje razumeo šta sam hteo reći. Ako to moje pitanje uopšte ima nekog smisla, jer sam skoro radio i potrebne i dovoljne uslove, pa bih to da upotpunim.

I dalje nisam siguran da li dobro razumem šta znači „na koji način je implikacija zadovoljena“. Zadovoljena je u oba smera jer je tako definisano u zadatku (zato i imaš onu oznaku [inlmath]\text{def}[/inlmath] iznad znaka ekvivalencije). Dakle, kao što je u nekom zadatku iz geometrije npr. zadato da je poluprečnik nekog kruga jednak [inlmath]5\text{ cm}[/inlmath], tako ti je isto i ovde u zadatku zadato da su dva elementa u relaciji ako im je zbir [inlmath]3[/inlmath] i ako je prvi veći od drugog za [inlmath]1[/inlmath].

@Daniel,
U vezi 5. pitanja. U Veneovoj zbirci pronašao sam sledeću definiciju, o kojoj smo već govorili:
[dispmath]A\subseteq B\iff\left\{x\mid x\in A\;\Longrightarrow\;x\in B\right\},[/dispmath] Što je po meni potpuno pogrešna definicija, kao što si i ti rekao. Jer:
Recimo da je [inlmath]x=2[/inlmath] pri čemu, [inlmath]x\notin A,\;x\notin B[/inlmath];
[dispmath]A\subseteq B\iff\left\{x\mid x\in A\;\Longrightarrow\;x\in B\right\};\\
A\subseteq B\iff\left\{2\mid2\in A\;\Longrightarrow\;2\in B\right\};\\
A\subseteq B\iff\left\{2\mid\bot\;\Longrightarrow\;\bot\iff\top\right\},\\
A\subseteq B\iff\left\{2\right\},[/dispmath] kao što rekoh evo dokaza da je reč o pogrešno napisanoj definiciji.
Zapis je nedvosmisleno netačan, jer je zapisan u formi skupa pa je samim tim novo-komponovani skup uslovljen je da prihvata sve elemente koji zadovoljavaju implikaciju. A da je zapisano u formi logike (što je ispravno) onda bi se čitalo redom, i tako kako se čita tako se i govori šta to zapravo predstavlja:
[dispmath]A\subseteq B\iff(\forall x)(x\in A\;\Longrightarrow\;x\in B),[/dispmath] odnosno svi elementi koji pripadaju skupu [inlmath]A[/inlmath] i skupu [inlmath]B[/inlmath] predstavljaju [inlmath]A\subseteq B[/inlmath]. Ovde nigde nema potrebe za zadovoljavanjem nekakvih uslova, već se kao što rekoh koristeći matematičku-logiku piše rečenica u obliku iste, i čita kako je napisana. Jer ona to i predstavlja - rečenični zapis.

E sad, meni nije jasno kako je moguće da se tako krupna greška provukla u Veneovoj zbirci, i to ni manje ni više nego u teorijskom delu/definiciji. Reč je o dvadeset osmom izdanju. Ne znam je l' ispravljeno u novijim izdanjima.

štime je napisao:[dispmath]A\subseteq B\iff\left\{x\mid x\in A\;\Longrightarrow\;x\in B\right\},[/dispmath] Što je po meni potpuno pogrešna definicija, kao što si i ti rekao.

Tako je, defka je pogrešna, pre svega zato što s leve strane ekvivalencije imamo iskaz, a s desne strane ekvivalencije imamo skup. To su dve sasvim različite stvari, i ne mogu se porediti. Kao babe i žabe.

Dalje tvoje razmišljanje je sasvim tačno, izuzev samog zapisa koji si koristio. [inlmath]\{2\mid2\in A\;\Longrightarrow\;2\in B\}[/inlmath] ne znači ništa. Razumem na šta si mislio, ali s leve strane crte [inlmath]\mid[/inlmath] smeju se koristiti isključivo opšte oznake ([inlmath]x[/inlmath], [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath]...), nikako konkretni elementi skupa kao što je [inlmath]2[/inlmath]. Bilo bi ispravno da si samo napisao [inlmath]2\in A\;\Longrightarrow\;2\in B[/inlmath].

štime je napisao:E sad, meni nije jasno kako je moguće da se tako krupna greška provukla u Veneovoj zbirci, i to ni manje ni više nego u teorijskom delu/definiciji.

Na literaturu se nikad ne treba 100% oslanjati, jer su greške prilikom štampanja uvek moguće.