MATEMANIJA

What strategy would you adopt to show that the conjunction [inlmath]\phi_1\land\phi_2\land\dots\land\phi_n[/inlmath] is true?
What strategy would you adopt to show that the conjunction [inlmath]\phi_1\land\phi_2\land\dots\land\phi_n[/inlmath] is false?
What strategy would you adopt to show that the disjunction [inlmath]\phi_1\lor\phi_2\lor\dots\lor\phi_n[/inlmath] is true?
What strategy would you adopt to show that the disjunction [inlmath]\phi_1\lor\phi_2\lor\dots\lor\phi_n[/inlmath] is false?


Simplify the following symbolic statements as much as you can, leaving your answer in the standard
symbolic form.

[inlmath](x\ge 0)\land(x\le 0)[/inlmath]
[inlmath]x=0[/inlmath]

[inlmath](\pi>3)\lor(\pi>10)[/inlmath]
[inlmath]\pi>3[/inlmath] ?

[inlmath](x<0)\lor(x>0)[/inlmath]
[inlmath]x=\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}[/inlmath] ?

[inlmath](x-0)\lor(x>0)[/inlmath]
[inlmath]x>0[/inlmath] ?

[inlmath]\lnot(x^2>0)[/inlmath]
???

[inlmath]\lnot(x-1)[/inlmath]
[inlmath]x+1[/inlmath] ?

[inlmath]\lnot\lnot\psi[/inlmath]
[inlmath]\psi[/inlmath]???


Nisam siguran šta ovde treba, matematički (logički) napsat ove rečenice ?
Let [inlmath]D[/inlmath] be the statement "The dollar is strong", [inlmath]Y[/inlmath] the statement "The Yuan is strong" and [inlmath]T[/inlmath] the statement "New US China trade agreement signed". Express the main content of each of the following (fictitious) newspaper headlines in logical notation. (Note that logical notation captures truth, but not the many nuances and inferences of natural language.) How would you justify and defend your answers?

(a) Dollar and Yuan both strong
(b) Yuan weak despite new trade agreement, but Dollar remains strong
(c) Dollar and Yuan can't both be strong at same time.
(d) New trade agreement does not prevent fall in Dollar and Yuan
(e) US China trade agreement fails but both currencies remain strong

TAAAAZZZZ

blake je napisao:What strategy would you adopt to show that the conjunction [inlmath]\phi_1\land\phi_2\land\dots\land\phi_n[/inlmath] is false?

Pošto je konjunkcija netačna onda kada je bar jedan iskaz netačan, kao strategiju bih izabrao to, da uočim za koji je od ponuđenih iskaza [inlmath]\phi_1[/inlmath], [inlmath]\phi_2[/inlmath], ... [inlmath]\phi_n[/inlmath] najlakše pokazati da je on netačan. I – pokazao bih da je netačan, čime bih automatski pokazao i netačnost date konjunkcije, a ostale ponuđene iskaze ne bih ni gledao.

Vrlo slično i sa disjunkcijom za koju je potrebno pokazati da je tačna:

blake je napisao:What strategy would you adopt to show that the disjunction [inlmath]\phi_1\lor\phi_2\lor\dots\lor\phi_n[/inlmath] is true?

Dakle, potpuno ista strategija kao i za prethodnu konjunkciju, s tim da, gde god u mom prethodnom obrazloženju vidiš reč „konjunkcija“ stavi umesto nje „disjunkcija“ i gde god vidiš reč „netačan/netačna/netačnost“, zameni je sa „tačan/tačna/tačnost“.

blake je napisao:What strategy would you adopt to show that the conjunction [inlmath]\phi_1\land\phi_2\land\dots\land\phi_n[/inlmath] is true?

blake je napisao:What strategy would you adopt to show that the disjunction [inlmath]\phi_1\lor\phi_2\lor\dots\lor\phi_n[/inlmath] is false?

E, za ova dva slučaja već ne vidim nikakvu strategiju, osim da, nažalost, ispitujem u slučaju konjunkcije tačnost svakog od iskaza, a u slučaju disjunkcije netačnost svakog od iskaza, budući da je konjunkcija tačna samo ako su svi iskazi tačni, a disjunkcija netačna samo ako su svi iskazi netačni.

---

blake je napisao:Simplify the following symbolic statements as much as you can, leaving your answer in the standard
symbolic form.

[inlmath](x\ge 0)\land(x\le 0)[/inlmath]
[inlmath]x=0[/inlmath]

[inlmath](\pi>3)\lor(\pi>10)[/inlmath]
[inlmath]\pi>3[/inlmath] ?

[inlmath](x<0)\lor(x>0)[/inlmath]
[inlmath]x=\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}[/inlmath] ?

[inlmath]\lnot\lnot\psi[/inlmath]
[inlmath]\psi[/inlmath]???

Ovo je sve

E, sad:

blake je napisao:[inlmath](x-0)\lor(x>0)[/inlmath]
[inlmath]x>0[/inlmath] ?

Budući da „[inlmath]-[/inlmath]“ nije relacija već računska operacija, [inlmath]\left(x-0\right)[/inlmath] nije nikakav istinitosni iskaz, već brojni izraz i na njega se, kao takvog, ne može primenjivati nikakva logička operacija, pa ni [inlmath]\lor[/inlmath]. Prema tome, zadata formula nema smisao.

blake je napisao:[inlmath]\lnot(x-1)[/inlmath]
[inlmath]x+1[/inlmath] ?

Isti slučaj, negaciju ne možemo primenjivati na brojne izraze, već isključivo na iskaze, prema tome, ni ova formula nema smisao.

blake je napisao:[inlmath]\lnot(x^2>0)[/inlmath]
???

[dispmath]\lnot\left(x^2>0\right)\quad\Leftrightarrow\quad x^2\le 0\quad\Leftrightarrow\quad\left(x^2<0\right)\lor\left(x^2=0\right)[/dispmath]
Pod pretpostavkom da [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath], iskaz [inlmath]\left(x^2<0\right)[/inlmath] je netačan za svako [inlmath]x[/inlmath], pa se formula svodi na:
[dispmath]\bot\lor\left(x^2=0\right)\quad\Leftrightarrow\quad x^2=0\quad\Leftrightarrow\quad\underline{x=0}[/dispmath]

---

blake je napisao:Nisam siguran šta ovde treba, matematički (logički) napsat ove rečenice ?
Let [inlmath]D[/inlmath] be the statement "The dollar is strong", [inlmath]Y[/inlmath] the statement "The Yuan is strong" and [inlmath]T[/inlmath] the statement "New US China trade agreement signed".

Evo ti, recimo, objašnjenje za (a), (b) i (c):

blake je napisao:(a) Dollar and Yuan both strong

– Dolar je jak i to označavao sa [inlmath]D[/inlmath];
– Juan je jak i to označavao sa [inlmath]Y[/inlmath].
I pošto su rečenicom iskazana oba iskaza, pišemo njihovu konjunkciju: [inlmath]D\land Y[/inlmath]

blake je napisao:(b) Yuan weak despite new trade agreement, but Dollar remains strong

– Juan je slab, znači, juan nije jak i to označavamo sa [inlmath]\lnot Y[/inlmath];
– Trgovinski sporazum je potpisan i to označavamo sa [inlmath]T[/inlmath];
– Dolar je jak i to označavamo sa [inlmath]D[/inlmath].
I pošto su rečenicom iskazana sva ova tri iskaza, pišemo njihovu konjunkciju: [inlmath]\lnot Y\land T\land D[/inlmath]

blake je napisao:(c) Dollar and Yuan can't both be strong at same time.

Ovo se može napisati na dva načina.

1 način:
[inlmath]\lnot\left(D\land Y\right)[/inlmath] – na ovaj način je eliminisan slučaj da su i dolar i juan istovremeno jaki;

2 način:
[inlmath]\left(D\land\lnot Y\right)\lor\left(\lnot D\land Y\right)\lor\left(\lnot D\land\lnot Y\right)[/inlmath] – na ovaj način su nabrojani svi slučajevi u kojima dolar i juan nisu istovremeno jaki: dolar jak a juan slab [inlmath]\left(D\land\lnot Y\right)[/inlmath], dolar slab a juan jak [inlmath]\left(\lnot D\land Y\right)[/inlmath] i slabi i dolar i juan [inlmath]\left(\lnot D\land\lnot Y\right)[/inlmath] i piše se disjunkcija ova tri slučaja, jer iz zadatog iskaza možemo zaključiti da je ispunjen jedan od njih.

Formule dobijene na 1. i na 2. način istinitosno su ekvivalentne, znači, to je jedan isti iskaz, samo drugačije zapisan.

Bi mogao sad da pokušaš za (d) i za (e)?

Daniel je napisao:Bi mogao sad da pokušaš za (d) i za (e)?

(d) New trade agreement does not prevent fall in Dollar and Yuan

[inlmath]T\land[\lnot(D\land Y)\lor(D\land Y)][/inlmath] ?

(e) US China trade agreement fails but both currencies remain strong

[inlmath]\lnot T\land(D\land Y)[/inlmath] ?

blake je napisao:(d) New trade agreement does not prevent fall in Dollar and Yuan

[inlmath]T\land[\lnot(D\land Y)\lor(D\land Y)][/inlmath] ?

Ne znam kako si došao do ovog izraza? On je oblika
[dispmath]T\land\left(\lnot p\lor p\right)[/dispmath]
gde [inlmath]p[/inlmath] predstavlja rezultat konjunkcije [inlmath]\left(D\land Y\right)[/inlmath].
[inlmath]\left(\lnot p\lor p\right)[/inlmath] uvek ima vrednost tačno, pa se onda tvoja formula svodi na
[dispmath]T\land\top[/dispmath]
a to je jednako [inlmath]T[/inlmath]. Tj. svodi se samo na iskaz da je sklopljen trgovinski sporazum i ni na šta više.
(nemoj da te zbunjuje [inlmath]T[/inlmath], koje predstavlja iskaz da je sklopljen trgovinski sporazum, i [inlmath]\top[/inlmath], koji predstavlja istinitosnu vrednost iskaza koji je tačan)

Sad, ni meni ta rečenica pod (d) nije baš najjasnija. Da li ona znači da:
1) trgovinski sporazum jeste sklopljen, ali da i dolar i juan (tj. i jedan i drugi) padaju;
ili
2) trgovinski sporazum jeste sklopljen, ali da nije postignuto da i dolar i juan budu jaki (tj. da bar jedan od njih pada).


U slučaju 1):
[dispmath]T\land\lnot D\land\lnot Y[/dispmath]
U slučaju 2):
[dispmath]T\land\lnot\left(D\land Y\right)[/dispmath]

blake je napisao:(e) US China trade agreement fails but both currencies remain strong

[inlmath]\lnot T\land(D\land Y)[/inlmath] ?

Da. S tim da, pošto za konjunkciju važi asocijativnost, nije ti potrebna zagrada:
[dispmath]\lnot T\land\left(D\land Y\right)\quad\Leftrightarrow\quad\left(\lnot T\land D\right)\land Y\quad\Leftrightarrow\quad\lnot T\land D\land Y[/dispmath]

Rečenica pod (d) kaže da taj sporazum ne mora (ali može) spriječiti pad dolara i yuana, zato sam napisa onako heh

Hm...

blake je napisao:(d) New trade agreement does not prevent fall in Dollar and Yuan

Bukvalan prevod bi, po meni, bio
Novi trgovinski sporazum ne sprečava pad dolara i juana.
Ali, kô što rekoh, ne mogu baš najpreciznije da protumačim značenje te rečenice...

blake je napisao:[inlmath](x-0)\lor(x>0)[/inlmath]
[inlmath]x>0[/inlmath] ?


[inlmath]\lnot(x-1)[/inlmath]
[inlmath]x+1[/inlmath] ?

Ja sam se u prvi mah zbunio s ovim izdvojenim primerima, jer kao sto i Daniel kaze, bzv je primeniti negaciju na brojevni izraz.

Neko alternativno tumacenje koje se meni nametnulo u prvi mah jeste da se ti brojevni izrazi posmatraju kao iskazi... To je i meni bzv, ali mi jedino to palo na pamet u cilju osmisljavanja neke poente tih primera....

Tako bi se [inlmath]x-0[/inlmath] moglo posmatrati kao iskaz: "od [inlmath]x[/inlmath] je oduzeta [inlmath]0[/inlmath]", a [inlmath]x+1[/inlmath] kao "broj [inlmath]x[/inlmath] je uvecan za [inlmath]1[/inlmath]"".

Tako bi prvi primer mogao da se svede na disjunkciju sledeca dva iskaza:
-od [inlmath]x[/inlmath] je oduzeta [inlmath]0[/inlmath]
-[inlmath]x[/inlmath] je veci od [inlmath]0[/inlmath]

Disjunkcija je tacna ako je bar jedan od iskaza tacan, sto znaci da je disjunkcija sigurno tacna ako je drugi iskaz tacan, tj. ako je [inlmath]x>0[/inlmath].
Tacnost prvog iskaza je upitna, on moze biti i tacan i netacan... Ako je [inlmath]x\le 0[/inlmath] onda je disjunkcija tacna samo ako je prvi iskaz tacan.

Drugi primer bi se, kao sto je vec receno, tom logikom sveo na:
- [inlmath]x[/inlmath] je uvecan za [inlmath]1[/inlmath]

Tvoja negacija [inlmath]x-1[/inlmath]je netacna jer bi onda mogli da je tumacimo kao " broj [inlmath]x[/inlmath] je umanjen za [inlmath]1[/inlmath]".
Negacija recenice "[inlmath]x[/inlmath] je uvecan za [inlmath]1[/inlmath]" nije "[inlmath]x[/inlmath] umanjeno za [inlmath]1[/inlmath]", vec "broj [inlmath]x[/inlmath] nije umanjen za [inlmath]1[/inlmath]".

Ova recenica se svakako tesko moze ispisati pojednostavljeno matematickim simbolima, tako da pretpostavljam da ni autor zadatka nije ciljao na to, ali ipak rekoh da se podelim idejom.

Dollar weak but Yuan strong, following new trade agreement.

Na netu (link) sam naša rješenje
[inlmath]T\land(\lnot D\lor Y)[/inlmath]

Sad zašto je između dolara i yuana znak ILI, a ne I?
S obzirom da smo radili implikacije ja bi to napisa

[inlmath]T\Rightarrow(\lnot D\land Y)[/inlmath]

Hm, to što nakon [inlmath]T[/inlmath] nisu upotrebili implikaciju već konjunkciju još i može nekako da se objasni time da, prema smislu rečenice, može da se protumači da je trgovinski sporazum već sklopljen, pa se kao posledica javlja ovo ostalo... Da sporazum još nije sklopljen i da se kaže ako bude sklopljen onda će... e, tada bi se upotrebila implikacija. To je moje tumačenje.

Ali, nikakvo objašnjenje nemam zbog čega su upotrebili disjunkciju u izrazu [inlmath]\left(\lnot D\lor Y\right)[/inlmath], kako si i sam primetio, a ne konjunkciju, budući da nije rečeno da je dolar slab ili juan jak, već je lepo rečeno da je dolar slab ali juan jak... Osim da je u pitanju štamparska greška, drugo objašnjenje nemam.