MATEMANIJA

Nisam siguran za prvi...
Za drugi sam sigurniji
Treći, treći...hmm (-:

[inlmath]1.[/inlmath]
[inlmath]\exists tW\left(t\right)[/inlmath] znači da postoji dubl meč koji Rosaria igra u partnerstvu s Antonijem, koji Rosaria (a samim tim i Antonio) dobije. Nigde nije rečeno da dobijaju svaki meč kad su njih dvoje u partnerstvu, tako da pod [inlmath]\left(a\right)[/inlmath] otpada. Po meni, tačni su odgovori pod [inlmath]\left(b\right)[/inlmath] i pod [inlmath]\left(e\right)[/inlmath].

[inlmath]2.[/inlmath]
[inlmath]\forall tW\left(t\right)[/inlmath] znači da svaki dubl meč koji Rosaria igra u partnerstvu s Antonijem, Rosaria (a samim tim i Antonio) dobije. Po meni, odgovor pod [inlmath]\left(a\right)[/inlmath] jeste tačan, ali su isto tako tačni i odgovori pod [inlmath]\left(c\right)[/inlmath] i pod [inlmath]\left(e\right)[/inlmath].

[inlmath]3.[/inlmath]
Rečenica pod [inlmath]\left(b\right)[/inlmath], koju si zaokružio, značila bi da za sve prirodne brojeve važi da su prosti i da od svakog prirodnog broja [inlmath]x[/inlmath] postoji neki veći prirodan broj [inlmath]y[/inlmath] koji je takođe prost. A pošto znamo da nisu svi prirodni brojevi prosti, ovaj odgovor otpada.
Na sličan način se mogu eliminisati i odgovori pod [inlmath]\left(c\right)[/inlmath], [inlmath]\left(e\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(f\right)[/inlmath].
[inlmath]\left(a\right)[/inlmath] bi značilo da ne postoji prost broj [inlmath]x[/inlmath] posle kojeg će postojati brojevi [inlmath]y[/inlmath] koji nisu prosti. Ovo bi, prevedeno, značilo da, kad jednom naiđemo na neki prost broj, posle njega će svi brojevi biti prosti. To em što je netačno, em nije isto što i tvrdnja da ne postoji najveći prost broj.
Ja kao tačan odgovor vidim jedino odgovor pod [inlmath]\left(d\right)[/inlmath]: od svakog prirodnog broja [inlmath]x[/inlmath] uvek će postojati neki veći prirodan broj [inlmath]y[/inlmath] koji će biti prost – iz čega direktno sledi da ne postoji najveći prost broj.

Great

Daniel je napisao:[inlmath]3.[/inlmath]
Rečenica pod [inlmath]\left(b\right)[/inlmath], koju si zaokružio, značila bi da za sve prirodne brojeve važi da su prosti i da od svakog prirodnog broja [inlmath]x[/inlmath] postoji neki veći prirodan broj [inlmath]y[/inlmath] koji je takođe prost. A pošto znamo da nisu svi prirodni brojevi prosti, ovaj odgovor otpada.

Ja sam tu rečenicu čita: Za svaki [inlmath]x[/inlmath] postoji [inlmath]y[/inlmath] takav da ako je [inlmath]x[/inlmath] prost i [inlmath]y[/inlmath] je prost i [inlmath]y[/inlmath] je veći od [inlmath]x[/inlmath]
>.>

blake je napisao:Ja sam tu rečenicu čita: Za svaki [inlmath]x[/inlmath] postoji [inlmath]y[/inlmath] takav da ako je [inlmath]x[/inlmath] prost i [inlmath]y[/inlmath] je prost i [inlmath]y[/inlmath] je veći od [inlmath]x[/inlmath]

Čim se u iskazu pojavljuje „ako je“, to znači da u formalnom zapisu takvog iskaza moramo koristiti implikaciju (znak [inlmath]\Rightarrow[/inlmath]). Međutim, pod [inlmath]\left(b\right)[/inlmath] se nigde ne pojavljuje implikacija. Pojavljuje se samo konjunkcija. Znači, za sve prirodne brojeve [inlmath]x[/inlmath] važi da su prosti i postoji neki broj [inlmath]y[/inlmath] koji je veći od [inlmath]x[/inlmath] i koji je prost broj. (Crveno obeležena slova i predstavljaju pomenute konjunkcije.)

Rečenica koju si ti napisao, „Za svaki [inlmath]x[/inlmath] postoji [inlmath]y[/inlmath] takav da ako je [inlmath]x[/inlmath] prost i [inlmath]y[/inlmath] je prost i [inlmath]y[/inlmath] je veći od [inlmath]x[/inlmath]“ morala bi se zapisati na sledeći način (ne ulazeći u tačnost samog iskaza):
[dispmath]\forall x\exists y\left[\mathrm{Prime}\left(x\right)\Rightarrow\mathrm{Prime}\left(y\right)\land y>x\right][/dispmath]

A zašto ovde nije pod a) ?

5. Which of the following means "The arithmetic operation [inlmath]x\uparrow y[/inlmath] is not commutative." ([inlmath]\uparrow[/inlmath] is just some arbitrary binary operation.)
[inlmath](a)\;\forall x\forall y\left[x\uparrow y\not-y\uparrow x\right]\\
(b)\;\forall x\exists y\left[x\uparrow y\not-y\uparrow x\right]\\
(c)\;\exists x\exists y\left[x\uparrow y\not-y\uparrow x\right]\\
(d)\;\exists x\forall y\left[x\uparrow y\not-y\uparrow x\right][/inlmath]

Slučaj pod a) nam kazuje da za svako [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], [inlmath]x\uparrow y[/inlmath] nije isto što i [inlmath]y\uparrow x[/inlmath]:
[dispmath]\forall x\forall y\left(x\uparrow y\ne y\uparrow x\right)[/dispmath]
Univerzalni kvantifikator označava da svi elementi nekog skupa imaju neku osobinu. Ako bismo uzeli da je [inlmath]x=y=z[/inlmath], došli bismo do kontradikcije, jer:
[dispmath](\forall x\forall y(x\uparrow y\ne y\uparrow x))\land(z=x=y)[/dispmath]
[dispmath]\Rightarrow z\cancel{\uparrow z}\ne z\cancel{\uparrow z}[/dispmath]
[dispmath]\Rightarrow z\ne z[/dispmath]
Što je kontradiktorno, iz čega sledi da je prvobitna pretpostavka netačna. Iskaz koji kaže da je operacija komutativna bio bi:
[dispmath]\forall x\forall y(x\uparrow y=y\uparrow x)[/dispmath]
njegova negacija bi bila:
[dispmath]\exists x\exists y\left(x\uparrow y\ne y\uparrow x\right)[/dispmath]
tj. dovoljan je barem jedan par [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], takav da operacija nije komutativna.

Someone? (:

U [inlmath]3.[/inlmath] i [inlmath]4.[/inlmath] zadatku među ponuđenim odgovorima ne vidim nijedan koji bi odgovarao onome što se traži, a u [inlmath]4.[/inlmath] me još dodatno zbunjuje i ovo "idiomatic expression" – da nije možda u tome neka caka?

U [inlmath]5.[/inlmath] je rešenje pod [inlmath]\left.d\right)[/inlmath]. Odgovor nije [inlmath]\left.b\right)[/inlmath] jer je taj iskaz tačan (njime se tvrdi da je relacija „manje ili jednako“ antisimetrična), a tačan je i iskaz pod [inlmath]\left.c\right)[/inlmath] – njime se tvrdi da za svaki broj [inlmath]x[/inlmath] postoji neki broj [inlmath]y[/inlmath] koji je istovremeno i veći ili jednak i manji ili jednak od [inlmath]x[/inlmath] – a to je upravo broj [inlmath]x[/inlmath], tj. [inlmath]y=x[/inlmath].
[inlmath]\left.d\right)[/inlmath] je jedini netačan iskaz od ponuđenih, jer se njime tvrdi da postoji neki realan broj [inlmath]x[/inlmath] takav da su svi realni brojevi ili manji ili veći od njega, a to nije tačno, jer postoji i realan broj koji nije ni manji od njega ni veći od njega, već je jednak tom broju [inlmath]x[/inlmath].

Evo mog misljenja o trecem, meni je ovo malo zbunjujuce , ispravite me ako gresim:

[inlmath]a)[/inlmath] [inlmath]\forall p\exists q\exists t\:W(p,q,t)[/inlmath] bi znacilo da za su svi igraci pobedili u bar jednom mecu. Ovaj slucaj je moguc ali nije i obavezan.

[inlmath]b)[/inlmath] [inlmath]\forall p\forall q\exists t\:W(p,q,t)[/inlmath] bi znacilo da je svaki igrac igrao sa svakim igracem dva puta i da je jednom pobedio i jednom izgubio. Opet, nije nemoguce ali je malo verovatno.

[inlmath]c)[/inlmath] [inlmath]\forall q\exists p\exists t\:W(p,q,t)[/inlmath] bi znacilo da u svi bili gubitnici bar jednom. Moguce ali .....

PS. sorry sa celavu latinicu

Sa svime se slažem, upravo sam tako i ja tumačio. Znači, među ponuđenim iskazima ne postoji onaj koji nikad ne može biti tačan. Što i nije nemoguće, budući da je u tekstu [inlmath]3.[/inlmath] zadatka i rečeno "if any", čime je ostavljena i mogućnost da nijedan od ponuđenih odgovora ne treba zaokružiti.

Više me zbunjuje [inlmath]4.[/inlmath] zadatak, u kojem takva mogućnost nije ostavljena, tj. očekuje se da je jedan od odgovora tačan, al' ja ga ne vidim...

Treći van je pod b)
Četvrti je a)
Peti je samo pod d)

Zanimljivo.
OK, za peti je jasno, ali može li objašnjenje za treći i za četvrti?

ubavic je napisao: Evo mog misljenja o trecem, meni je ovo malo zbunjujuce , ispravite me ako gresim:



[inlmath]b)[/inlmath] [inlmath]\forall p\forall q\exists t\:W(p,q,t)[/inlmath] bi znacilo da je svaki igrac igrao sa svakim igracem dva puta i da je jednom pobedio i jednom izgubio. Opet, nije nemoguce ali je malo verovatno.


PS. sorry sa celavu latinicu

Treći ja san točno zaokružija, moja logika i čitanje ovoga bila bi: Za svakog igrača [inlmath]1[/inlmath] i za svakog igrača [inlmath]2[/inlmath] postoji teniski meč, ili štagod je u pitanju sad za koji igrač [inlmath]1[/inlmath] pobjeđuje.

EDIT:
Četvrti zadatak
Pod b) nije točno jer bi to značilo da je osoba [inlmath]x[/inlmath] u ljubavnoj vezi sa svima.
a) i c) su slične, ali c) kaže da svi vole sve ("za svaki [inlmath]x[/inlmath]" i "za svaki [inlmath]y[/inlmath]" su odvojeni uvjeti),
pod a) točno

blake je napisao:Treći ja san točno zaokružija, moja logika i čitanje ovoga bila bi: Za svakog igrača [inlmath]1[/inlmath] i za svakog igrača [inlmath]2[/inlmath] postoji teniski meč, ili štagod je u pitanju sad za koji igrač [inlmath]1[/inlmath] pobjeđuje.

Slažem se i s tvojim i s Ubavicevim tumačenjem, ali i dalje ne shvatam zbog čega se ne može desiti da svaki igrač bar jednom pobedi i bar jednom izgubi?

Takođe i dalje ne shvatam [inlmath]4.[/inlmath] zadatak:

blake je napisao:Četvrti zadatak
Pod b) nije točno jer bi to značilo da je osoba [inlmath]x[/inlmath] u ljubavnoj vezi sa svima.

Ne znam kako si iz formule [inlmath]\forall x\forall y\left[\forall z\left(L\left(x,z\right)\lor L\left(z,x\right)\right)\Rightarrow L\left(y,x\right)\right][/inlmath] zaključio da je osoba [inlmath]x[/inlmath] u ljubavnoj vezi sa svima?
Prvo, u formuli imamo univerzalni kvantifikator [inlmath]\forall x[/inlmath], što znači da nema konkretne osobe [inlmath]x[/inlmath], već se svuda gde se u formuli pojavljuje [inlmath]x[/inlmath] misli na svaku osobu.
Evo kontraprimera za tvoje tumačenje: pretpostavimo da niko nikog ne voli. Tada je levi deo implikacije, koji glasi [inlmath]\forall z\left(L\left(x,z\right)\lor L\left(z,x\right)\right)[/inlmath], uvek netačan. A kad je iskaz levo od znaka implikacije netačan, implikacija je tačna bez obzira na istinitost iskaza desno od znaka implikacije. Dakle, slučaj da niko nikog ne voli bi bio jedan primer kada je formula pod [inlmath]\left.b\right)[/inlmath] tačna, prema tome, iako ne mogu tačno da kažem šta ta formula znači, ona sigurno ne može značiti da je bilo koja osoba u ljubavnoj vezi sa svima.

blake je napisao:a) i c) su slične, ali c) kaže da svi vole sve ("za svaki [inlmath]x[/inlmath]" i "za svaki [inlmath]y[/inlmath]" su odvojeni uvjeti),
pod a) točno

Pod [inlmath]\left.c\right)[/inlmath] je tačno da svako voli svakog (što uključuje i slučaj da svako voli i sebe ), ali još uvek nisi dao obrazloženje zbog čega je pod [inlmath]\left.a\right)[/inlmath] tačan odgovor...
Osim toga, [inlmath]\left.a\right)[/inlmath] i [inlmath]\left.c\right)[/inlmath], po meni, uopšte nisu slične... pod [inlmath]\left.a\right)[/inlmath] imamo implikaciju, a pod [inlmath]\left.c\right)[/inlmath] konjunkciju, što je bitna razlika...

A tako je reka Keith Devlin.
I dunno.

Pogledao sam taj video-klip s objašnjenjima (blake, fala za video ) i oduševio sam se logičnošću objašnjenja. Odgovori su, kao što i blake već reče, [inlmath]3.b)[/inlmath] i [inlmath]4.a)[/inlmath], a evo i obrazloženja:

[inlmath]3.b)[/inlmath]
[inlmath]\forall p\forall q\exists tW\left(p,q,t\right)[/inlmath]
Ovo znači, kao što već rekosmo, da je svaki igrač bar jednom pobedio svakog igrača, ali taj iskaz, samim tim, znači i da je svaki igrač bar jednom pobedio i samog sebe. E, to je ono što sam bio prevideo, a zbog čega je nemoguće da je taj iskaz tačan, budući da niko ne može da pobedi samog sebe.
Kada bi bilo naglašeno da je [inlmath]p\ne q[/inlmath], e tada bi bilo moguće da taj iskaz bude tačan.

[inlmath]4.a)[/inlmath]
[inlmath]\forall x\forall y\left[\exists z\left(L\left(x,z\right)\land L\left(z,x\right)\right)\Rightarrow L\left(y,x\right)\right][/inlmath]
Osoba je "lover", kako je to rečeno u tekstu, ako ona voli neku drugu osobu i ako ta druga osoba voli nju. Prema tome, ako je [inlmath]x[/inlmath] "lover", onda za nju važi [inlmath]\exists z\left(L\left(x,z\right)\land L\left(z,x\right)\right)[/inlmath]
tj. postoji neka osoba [inlmath]z[/inlmath] koju osoba [inlmath]x[/inlmath] voli i koja voli osobu [inlmath]x[/inlmath].
Prema tome, ponuđena formula [inlmath]\forall x\forall y\left[\exists z\left(L\left(x,z\right)\land L\left(z,x\right)\right)\Rightarrow L\left(y,x\right)\right][/inlmath] znači: „za svaku osobu važi da, ako je ta osoba 'lover', tada tu osobu svi vole“.
E, moja je greška bila to što sam ja rečenicu "Everybody loves a lover" uporno u svom mozgu prevodio kao „svako voli svog ljubavnika“ iako je, zapravo, pravi prevod u ovom slučaju – „svako voli svakog ljubavnika“. Zanimljiva igra reči.

Opasni zadaci, nema šta.