[inlmath]c^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+b^2[/inlmath] - visina trougla koji cini stranu piramide

sada posmatramo trougao koji cine visina trapeza, visina strane trougla i jos jedna stranica uglovi tog trougla su [inlmath]105^\circ[/inlmath],[inlmath]60^\circ[/inlmath] i [inlmath]15^\circ[/inlmath]

pa je
[dispmath]\frac{c}{\sin105^\circ}=\frac{h}{\sin60^\circ}[/dispmath]

ovo je pod pretpostavkom da je taj ugao ima [inlmath]105^\circ[/inlmath]

Evo nacrato sam ručno skicu samo iz druge ivice sam povukao ravan. Dosta bolje izgleda. Mada sa ove Ilijine skice presjek mi više liči na romb. Ali presjek je trapez kao što sam se i uvjerio.
Siniša kako si došao do tih uglova?

kada odredimo [inlmath]h[/inlmath] trapeza lako je izracunati njegovu povrsinu

unaprijed se izvinjavam zbog neurednosti

Pozdrav. Ovaj zadatak me je baš zainteresovao pa ću pokušati da dam rešenje. Polazim prvo od ove generalne slike pa ću ubaciti još par poprečnih preseka.


Ovde koristimo sinusnu teoremu da bi smo našli visinu trapeza.
[dispmath]\frac{h}{\sin(60^\circ)}=\frac{a}{\sin(75^\circ)}[/dispmath]
I odavde je
[dispmath]h=\sqrt{\frac{3}{2}}a\left(\sqrt3-1\right)[/dispmath]
Sada prelazimo na izračunavanje druge osnove trapeza.
Prvo nalazimo dužinu duži [inlmath]HJ[/inlmath] isto sinusnom teoremom.
[dispmath]\frac{HJ}{\sin(45^\circ)}=\frac{a}{\sin(75^\circ)}[/dispmath][dispmath]HJ=a\left(\sqrt3-1\right)[/dispmath]

Posto imam [inlmath]HJ[/inlmath] sa treće slike ćemo naći gornju osnovicu pomoću sličnosti trouglova.
[dispmath]\frac{EH}{EJ}=\frac{FG}{CB}[/dispmath][dispmath]\frac{EJ-HJ}{EJ}=\frac{FG}{CB}[/dispmath][dispmath]\frac{a-a\left(\sqrt3-1\right)}{a}=\frac{FG}{a}[/dispmath][dispmath]FG=a\left(2-\sqrt3\right)[/dispmath]
I sada samo koristimo formulu za povrsinu trapeza.
[dispmath]\frac{a\left(2-\sqrt3\right)+a}{2}\cdot\sqrt{\frac{3}{2}}a\left(\sqrt3-1\right)=P[/dispmath][dispmath]P=a^2\sqrt6\left(2\sqrt3-3\right)[/dispmath]
Izvinjavam se na velikim slikama pravio sam ih u geogebri pa ih eksportovao u .png fajl a nisam baš vičan za sve to. Nadam se da nisam pogrešio.

Dobro je. Ono sto bi trebalo izostaviti (konkretno ovde, zbog prirode ponudjenih odgovora kod ovog zadatka) je racionalisanje izraza i kod [inlmath]h[/inlmath] i kod [inlmath]FG[/inlmath].

P.S. Iako je vec napisano za velicinu slika, mogle su biti malo smanjene u nekom editoru.

*** Dodao bih, da u krajnjem resenju [inlmath]P=a^2\sqrt6\left(2\sqrt3-3\right)[/inlmath], treba da stoji
[dispmath]P=\frac{a^2\sqrt6\left(2\sqrt3-3\right)}{\color{red}2}[/dispmath]
Verovatno se potkralo u racunu.

Koliko ja vidim stavljeno je [inlmath]\overline{EJ}=a[/inlmath], a [inlmath]\overline{EJ}[/inlmath] treba da bude visina jednakostraničnog trougla [inlmath]\overline{EJ}=\frac{a\sqrt3}{2}[/inlmath]

Smanjio sam slike. Gledaj da ih ubuduće ipak, što reče Ilija, umanjiš u nekom grafičkom programu (bilo koji softver bolji od Painta prodržava resize). Ili, ako ne znaš kako to da uradiš, možeš me kontaktirati na PP pa ću ti pomoći oko smanjivanja.

U svakom slučaju, hvala na rešenju koje si priložio.

Gamma je napisao:Koliko ja vidim stavljeno je [inlmath]\overline{EJ}=a[/inlmath], a [inlmath]\overline{EJ}[/inlmath] treba da bude visina jednakostraničnog trougla [inlmath]\overline{EJ}=\frac{a\sqrt3}{2}[/inlmath]

Ne, Gamma, trougao [inlmath]\triangle EBC[/inlmath] nije jednakostraničan, pa samim tim ni [inlmath]\overline{EJ}[/inlmath] nije visina jednakostraničnog trougla.
Jednakostraničan je trougao [inlmath]\triangle EIJ[/inlmath].

ima greska u samom textu zadatka, kaze se da je piramida pravilna a s druge strane postoje oni uglovi od [inlmath]60^\circ[/inlmath] zbog koji zakljucujemo da je onaj trougao jednakostranicni... pa je sada nemoguce da je visina jednakostranicnog trougla jednaka njegovoj osnovici...

-u ovom zadatku je najbitnije bilo odrediti ugao pod kojim ova ravan dodiruje bocnu stranu, kasnije je sve racun

Sinisa je napisao:ima greska u samom textu zadatka, kaze se da je piramida pravilna a s druge strane postoje oni uglovi od [inlmath]60^\circ[/inlmath] zbog koji zakljucujemo da je onaj trougao jednakostranicni...

Nema nikakve greške u tekstu. To što je piramida pravilna ne znači da strane ne mogu biti pod uglom od [inlmath]60^\circ[/inlmath] u odnosu na osnovu. Pravilna piramida je ona kod koje je osnova pravilan mnogougao (u ovom slučaju, kod četvorostrane piramide, osnova je kvadrat). U tekstu nigde nije navedeno da piramida nije i prava, iliti uspravna (tj. da je visina te piramide normalna na ravan osnove), i slažem se da je tekst u tom smislu neprecizan, ali to možemo pretpostaviti jer bez tog podatka ne bi bilo moguće rešiti zadatak. To da je piramida prava nije u kontradikciji s podatkom da strana piramide s osnovom zaklapa ugao od [inlmath]60^\circ[/inlmath].

Sinisa je napisao:pa je sada nemoguce da je visina jednakostranicnog trougla jednaka njegovoj osnovici...

Naravno da visina jednakostraničnog trougla nije jednaka njegovoj osnovici. Ali, nemoj da te zbunjuje to što ovde postoje dva trougla koja posmatramo. Kako napisah i Gammi, trougao [inlmath]\triangle EIJ[/inlmath] je jednakostraničan, a trougao [inlmath]\triangle EBC[/inlmath] nije. Visina trougla [inlmath]\triangle EBC[/inlmath] predstavlja stranicu jednakostraničnog trougla [inlmath]\triangle EIJ[/inlmath], čija je stranica [inlmath]a[/inlmath], pa je zbog toga visina trougla [inlmath]\triangle EBC[/inlmath] jednaka osnovici trougla [inlmath]\triangle EIJ[/inlmath], a samim tim i stranici [inlmath]a[/inlmath].