Jednakostranicni trouglovi jedan unutar drugog

od **jelicka** » Nedelja, 19. April 2015, 19:27

U jednakostranicni trougao [inlmath]ABC[/inlmath] stranice [inlmath]a[/inlmath] upisan je trougao [inlmath]A_1B_1C_1[/inlmath] tako da su [inlmath]A_1,\;B_1,\;C_1[/inlmath] sredista stranica trougla [inlmath]ABC[/inlmath]. U trougao [inlmath]A_1B_1C_1[/inlmath] upisan je trougao [inlmath]A_2B_2C_2[/inlmath] tako da su [inlmath]A_2,\;B_2,\;C_2[/inlmath] sredista stranica trougla [inlmath]A_1B_1C_1[/inlmath] i tako dalje do u beskonacnost. Zbir povrsina svih ovih trouglova je ?

U resenju pise da je to jedna trecina povrsine trougla [inlmath]ABC[/inlmath]...i sad ja racunam koliko je to :
[dispmath]P=\frac{1}{3}\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{a^2\sqrt3}{12}[/dispmath]
a tacno resenje je [inlmath]P=\frac{a^2\sqrt3}{3}[/inlmath] :kojik:

od **desideri** » Nedelja, 19. April 2015, 20:01

Jeste dobro ovo ponuđeno rešenje. Ovo je, naravno, geometrijska progresija. Hajde da vidimo bez teorije redova:
Površina svakog unutrašnjeg (manjeg) trougla je četvrtina površine prethodnog (većeg). Zar nije tako?
To znači da imamo:
[dispmath]P=P_1+\frac{1}{4}P_1+\frac{1}{4^2}P_1+\cdots[/dispmath][dispmath]P=P_1\left(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\cdots\right)[/dispmath][dispmath]P=P_1\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{4}}[/dispmath][dispmath]P=P_1\cdot\frac{4}{3}[/dispmath][dispmath]P=\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\frac{4}{3}=\frac{a^2\sqrt3}{3}[/dispmath]
Eto, ovako je i bez redova pa i bez limesa, a ti formalizuj...

od **Gamma** » Nedelja, 19. April 2015, 20:02

Radi se o geometrijskoj progresiji.Primjeni formulu za dobijanje sume kada je [inlmath]q\in(0,1)[/inlmath]

od **Gamma** » Nedelja, 19. April 2015, 20:06

@desideri ipak si bio brži od mene :sad3:

od **desideri** » Nedelja, 19. April 2015, 20:10

Za minut, Gamma

od **Gamma** » Nedelja, 19. April 2015, 20:13

Ne bih ja rekao da je minut. Puno mi je to. Možda je bilo na kraju minute ipak mislim da nije bilo ni 20s možda 10s najviše.

od **jelicka** » Nedelja, 19. April 2015, 20:15

Da, ovaj isti zadatak je takodje i u oblasti za nizove i ovako je uradjen, ali mene buni ovo njihovo resenje u oblasti planimetrija da je zbir jedna trecina povrsine trougla [inlmath]ABC[/inlmath].

od **desideri** » Nedelja, 19. April 2015, 20:26

Pa i jeste, ako u zbir ne računamo onaj početni, najveći trougao.
Bitno je precizno postaviti zadatak.
Ova zabuna se svodi na:
[dispmath]\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}[/dispmath]

od **Daniel** » Nedelja, 19. April 2015, 20:54

Ili, drugim rečima – zbir površina svih trouglova koji su upisani u trouglao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] (ne računajući površinu trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath]) iznosi trećinu površine trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath], a to je [inlmath]\frac{a^2\sqrt3}{12}[/inlmath].

Ali, ako se traži zbir površina svih trouglova, uključujući i trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath], tada je tražena površina [inlmath]\frac{a^2\sqrt3}{3}[/inlmath], tj. uvećana u odnosu na prethodnu za [inlmath]\frac{a^2\sqrt3}{4}[/inlmath] (a to upravo i jeste površina trogula [inlmath]\triangle ABC[/inlmath]).

od **jelicka** » Nedelja, 19. April 2015, 20:58

Sad razumem, hvala

Jednakostranicni trouglovi jedan unutar drugog

Jednakostranicni trouglovi jedan unutar drugog

Sharuj ovu temu na:

Re: Jednakostranicni trouglovi jedan unutar drugog

Re: Jednakostranicni trouglovi jedan unutar drugog

Re: Jednakostranicni trouglovi jedan unutar drugog

Re: Jednakostranicni trouglovi jedan unutar drugog

Re: Jednakostranicni trouglovi jedan unutar drugog

Re: Jednakostranicni trouglovi jedan unutar drugog

Re: Jednakostranicni trouglovi jedan unutar drugog

Re: Jednakostranicni trouglovi jedan unutar drugog

Re: Jednakostranicni trouglovi jedan unutar drugog

Ko je OnLine