Koga zanima opštiji dokaz, tj. dokaz za [inlmath]n[/inlmath]-tostruku nulu, može pogledati ovu temu.
Radio sam i na jedan drugačiji način, čisto iz radoznalosti, da vidim može li se i bez poznavanja tog štosa s izvodima. Može, na dosta komplikovaniji način. Pa, kad sam već uradio, što da ne objavim?
Pošto smo, izjednačavajući [inlmath]P\left(-1\right)[/inlmath] s nulom, već utvrdili da je [inlmath]a=b-1[/inlmath], uvrstimo to u [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath]:
[dispmath]P\left(x\right)=\left(b-1\right)x^{2014}+bx^{2015}+1\\
P\left(x\right)=bx^{2015}+bx^{2014}-x^{2014}+1\\
P\left(x\right)=bx^{2015}+bx^{2014}-x^{2014}+1\\
P\left(x\right)=b\left(x+1\right)x^{2014}-x^{2014}+1[/dispmath]
Pošto je polinom [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] deljiv sa [inlmath]\left(x+1\right)^2[/inlmath], to znači da polinom [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] možemo dva puta podeliti sa [inlmath]\left(x+1\right)[/inlmath] i prilikom oba deljenja dobiti ostatak jednak nuli:
[dispmath]P\left(x\right)=b\left(x+1\right)x^{2014}-x^{2014}\underbrace{-x^{2013}+x^{2013}}_0\:\underbrace{+x^{2012}-x^{2012}}_0-\cdots\underbrace{-x^3+x^3}_0\:\underbrace{+x^2-x^2}_0\:\underbrace{-x+x}_0+1=[/dispmath][dispmath]=b\left(x+1\right)x^{2014}-\left(x^{2014}+x^{2013}\right)+\left(x^{2013}+x^{2012}\right)-\cdots+\left(x^3+x^2\right)-\left(x^2+x\right)+\left(x+1\right)=[/dispmath][dispmath]=b\left(x+1\right)x^{2014}-\left(x+1\right)x^{2013}+\left(x+1\right)x^{2012}-\cdots+\left(x+1\right)x^2-\left(x+1\right)x+\left(x+1\right)=[/dispmath][dispmath]=\left(x+1\right)\left(bx^{2014}-x^{2013}+x^{2012}-\cdots+x^2-x+1\right)[/dispmath]
Sada kad je polinom [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] sveden na ovaj oblik, sasvim ga je jednostavno podeliti sa [inlmath]\left(x+1\right)[/inlmath]:
[dispmath]\frac{P\left(x\right)}{x+1}=bx^{2014}-x^{2013}+x^{2012}-\cdots+x^2-x+1[/dispmath]
Pošto je [inlmath]x=-1[/inlmath] nula drugog reda, to znači da će [inlmath]x=-1[/inlmath] takođe biti nula i ovako dobijenog polinoma:
[dispmath]b\left(-1\right)^{2014}-\left(-1\right)^{2013}+\left(-1\right)^{2012}-\cdots+\left(-1\right)^2-\left(-1\right)+1=0[/dispmath][dispmath]b+\underbrace{1+1+1+\cdots+1+1+1+1}_{2014}=0[/dispmath][dispmath]b=-2014[/dispmath][dispmath]a=b-1\quad\Rightarrow\quad a=-2015[/dispmath]
Eto... Ipak je mnogo jednostavnije preko izvoda.