Pre svega, čestitam na jedinoj temi u dosadašnjoj istoriji Matemanije čiji je ID jednak broju tekuće godine.
Link ove teme je
viewtopic.php?f=3&t=2015To se desilo sad i,
najverovatnije, nikad više, pod pretpostavkom da sledeća tema (čiji će ID biti 2016) neće biti pokrenuta tek sledeće godine, i da tema posle nje (čiji će ID biti 2017) neće biti pokrenuta tek kroz dve godine itd... jer, šanse za to, na forumu koji dnevno u proseku ima po desetak novih tema, zaista su nikakve.
Anonimo je napisao:Posto je cetvrtina kruga, ugao izmedju izvodnica mi je [inlmath]90[/inlmath] stepeni, samo to sam uspeo da zakljucim.
Prvo, šta znači
ugao između izvodnica, budući da tih izvodnica imaš beskonačno mnogo?
Ako misliš na ugao između izvodnica koje pripadaju istom osnom preseku kupe (tj. koje sadrže dijametralno suprotne tačke na kružnici u osnovi kupe), tada je zaključak pogrešan.
Osni presek kupe je jednakokraki trougao, čije krake čine te dve izvodnice kupe, a osnovicu tog trougla čini prečnik kruga u osnovi kupe. Eto, možeš odgovoriti na dva jednostavna pitanja:
- Koliki treba da bude poluprečnik osnove kupe da bi ugao između te dve izvodnice zaista bio [inlmath]45^\circ[/inlmath]?
- Koliki je ugao između te dve izvodnice kupe u ovom zadatku?
matija je napisao:ja sam koristio formulu [inlmath]\displaystyle l=\frac{r\cdot\pi\alpha}{180^\circ}[/inlmath] to je obim kupe odakle mozes da dobijes poluprecnik baze pa pitagorinom teoremom i visinu
Anonimo je napisao:Hvala, tu formulu nisam znao.
Ne moraš je učiti napamet. Može se vrlo lako izvesti. Krug možemo posmatrati kao kružni isečak čiji je ugao [inlmath]360^\circ[/inlmath] i njegov obim je, kao što znamo, [inlmath]2\pi r[/inlmath]. Budući da luk kružnog isečka linearno zavisi od ugla isečka, možemo postaviti proporciju za luk nekog isečka čiji je ugao [inlmath]\alpha[/inlmath]:
[dispmath]360^\circ:2\pi r=\alpha:l[/dispmath] iz koje sledi [inlmath]\displaystyle l=\frac{2\pi r\alpha}{360^\circ}=\frac{\pi r\alpha}{180^\circ}[/inlmath].
A može se zaključiti i na osnovu toga što je luk nad uglom od jednog radijana jednak poluprečniku (što je i definicija radijana):
[dispmath]l=r\cdot\alpha[\text{rad}][/dispmath] pa kad ugao dat u radijanima izrazimo u stepenima, po formuli [inlmath]\alpha[\text{rad}]=\frac{\pi}{180^\circ}\alpha[^\circ][/inlmath], dobijamo takođe [inlmath]\displaystyle l=\frac{\pi r\alpha}{180^\circ}[/inlmath].
U ovom zadatku si mogao, i bez te formule, zaključiti da, ako je obim celog kruga jednak [inlmath]2\pi r[/inlmath], tada je dužina luka četvrtine kruga jednaka četvrtini tog obima, tj. [inlmath]\displaystyle\frac{\pi r}{2}[/inlmath].
desideri je napisao:Površina kupe je zbir površine tog kruga dole (bazisa) i omotača.
Zapravo, u ovom zadatku se ne traži površina već zapremina kupe, ali svakako je korisno što si napisao i ovo za površinu, možda na prijemnom baš dođe zadatak iz površine kupe.
Anonimo je napisao:Kad imam interval [inlmath][-\pi,\pi][/inlmath] da li to [inlmath]-\pi[/inlmath] posmatram kao [inlmath]2\pi[/inlmath] ili ipak ne?
[inlmath]-\pi[/inlmath] ne možeš posmatrati kao [inlmath]2\pi[/inlmath], kako ti je Desideri i odgovorio. Možda si hteo da pitaš, da li [inlmath]-\pi[/inlmath] možeš posmatrati kao [inlmath]\pi[/inlmath]? Ta dva ugla se na trigonometrijskoj kružnici predstavljaju na isti način, što znači da sve trigonometrijske funkcije daju iste vrednosti i za jedan i za drugi ugao. Isto tako i za uglove [inlmath]\ldots,-(2k+1)\pi,\ldots,-5\pi,-3\pi,-\pi,\pi,3\pi,5\pi,\ldots,(2k+1)\pi,\ldots[/inlmath] zbog periodičnosti trigonometrijske kružnice i trigonometrijskih funkcija. Dakle, ugao [inlmath]-\pi[/inlmath] svakako nije jednak uglu [inlmath]\pi[/inlmath], niti uglu [inlmath]3\pi[/inlmath] itd., ali trigonometrijske funkcije funkcije će dati istu vrednost i kad im je argument [inlmath]-\pi[/inlmath] i kad je argument [inlmath]\pi[/inlmath] i kad je argument [inlmath]3\pi[/inlmath] itd...
