[dispmath]\log_2 x+\log_4 y+\log_4 z=2[/dispmath]
[dispmath]\log_3 y+\log_9 z+\log_9 x=2[/dispmath]
[dispmath]\log_4 z+\log_{16}x+\log_{16}y=2[/dispmath]
pokušala na nekoliko načina, ne ide...

Ajd za početak da sredimo ove jednačine, tako da logaritme sa [inlmath]x[/inlmath] grupišemo skroz levo, logaritme sa [inlmath]y[/inlmath] u sredinu, a logaritme sa [inlmath]z[/inlmath] skroz desno, tj. neposredno pre znaka jednakosti:
[dispmath]\log_2 x+\log_4 y+\log_4 z=2[/dispmath][dispmath]\log_9 x+\log_3 y+\log_9 z=2[/dispmath][dispmath]\log_{16}x+\log_{16}y+\log_4 z=2[/dispmath]
E, sada koristimo onu lepu osobinu logaritma da je
[dispmath]\log_b a=\frac{\log_c a}{\log_c b}[/dispmath]
pa sve ove logaritme izrazimo preko logaritama za osnovu [inlmath]2[/inlmath]:
[dispmath]\log_2 x+\frac{\log_2 y}{\log_2 4}+\frac{\log_2 z}{\log_2 4}=2[/dispmath][dispmath]\frac{\log_2 x}{\log_2 9}+\frac{\log_2 y}{\log_2 3}+\frac{\log_2 z}{\log_2 9}=2[/dispmath][dispmath]\frac{\log_2 x}{\log_2 16}+\frac{\log_2 y}{\log_2 16}+\frac{\log_2 z}{\log_2 4}=2[/dispmath]
Uvedemo smene
[inlmath]\log_2 x=A[/inlmath]
[inlmath]\log_2 y=B[/inlmath]
[inlmath]\log_2 z=C[/inlmath]
[dispmath]A+\frac{B}{\log_2 4}+\frac{C}{\log_2 4}=2[/dispmath][dispmath]\frac{A}{\log_2 9}+\frac{B}{\log_2 3}+\frac{C}{\log_2 9}=2[/dispmath][dispmath]\frac{A}{\log_2 16}+\frac{B}{\log_2 16}+\frac{C}{\log_2 4}=2[/dispmath]
pa malo sredimo ove logaritme u imeniocima:
[dispmath]A+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=2\qquad /\cdot 2[/dispmath][dispmath]\frac{A}{2\log_2 3}+\frac{B}{\log_2 3}+\frac{C}{2\log_2 3}=2\qquad /\cdot 2\log_2 3[/dispmath][dispmath]\frac{A}{4}+\frac{B}{4}+\frac{C}{2}=2\qquad /\cdot 4[/dispmath]
[dispmath]2A+B+C=4[/dispmath][dispmath]A+2B+C=4\log_2 3[/dispmath][dispmath]A+B+2C=8[/dispmath]
Kad se reši ovaj sistem od tri jednačine s tri nepoznate, dobiju se rešenja
[dispmath]A=\log_2\frac{2}{3},\quad B=\log_2\frac{27}{8},\quad C=\log_2\frac{32}{3}[/dispmath]
i, kad vratimo smenu, rešenja za [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] su:
[dispmath]x=\frac{2}{3},\quad y=\frac{27}{8},\quad z=\frac{32}{3}[/dispmath]

hvala