U knjizi "Matematička analiza 1" (autori: dr Dušan Adnađević, dr Zoran Kadelburg, možda neko i ima tu knjigu kod sebe), u lekciji "6.5 Viši izvodi i diferencijali" u primeru 6.5.3 se dokazuje da drugi diferencijal nema isti oblik kao i prvi, na sledeći način (koji izaziva pitanje kod mene):

Neka su f-je [inlmath]y=f(x),\;x=x(t)[/inlmath] dvaput diferencijabilne. Drugi diferencijal [inlmath]\mathrm d^2y[/inlmath] prema [inlmath](2)[/inlmath] (definicija višeg diferencijala) ima oblik: [inlmath]\mathrm d^2y=f''\big(x(t)\big)\mathrm dt^2[/inlmath]. Kako je:
[dispmath]f''\big(x(t)\big)=\left[f'\big(x(t)\big)\right]'=[f'(x)x'(t)]'=f''(x)\big(x'(t)\big)^2+f'(x)x''(t)[/dispmath]
Dakle, sada me interesuje da li mi možete reći, da li zaista treba da stoji [inlmath]\big(x'(t)\big)^2[/inlmath] (*), ili samo treba da bude prvi stepen (kao što se meni čini da bi trebalo)? Taj izraz nastavlja da se pojavljuje u primeru pa se na kraju dobija [inlmath]\mathrm d^2y=f''(x)\mathrm dx^2+f'(x)\mathrm d^2x[/inlmath], dok ja mislim da treba da se dobije [inlmath]\mathrm d^2y=f''(x)\mathrm dx\mathrm dt+f'(x)\mathrm d^2x[/inlmath]. I jedan i drugi krajnji rezultat pokazuju da drugi diferencijal nema isti oblik kao prvi, ali izraz (*) se pojavljuje do kraja primera, što mi izaziva sumnju da nije štamparska greška, već ja nešto ne znam.

P.S. Vidim da ljudi napišu zbog koje životne situacije im treba pomoć na ovom sajtu, pa mislim da bi bio red da se zna da spremam Analizu 2 (za fakultet naravno) i da zato tražim vašu pomoć.

Potrebno je uzeti u obzir da je [inlmath]f(x)=f\big(x(t)\big)[/inlmath] složena funkcija čiji se izvod traži:
[dispmath]f''\big(x(t)\big)=\left[f'\big(x(t)\big)\right]'=[f'(x)\cdot x'(t)]'=f''(x)\cdot x'(t)\cdot x'(t)+f'(x)x''(t)=f''(x)\big(x'(t)\big)^2+f'(x)x''(t)[/dispmath]
Da sasvim razjasnimo: to je zbog [inlmath][f'(x)]'=f''(x)\cdot x'(t)[/inlmath].
Dakle, u drugom izvodu još jednom [inlmath]x'(t)[/inlmath]. Izvod proizvoda je izvod prvog puta drugi itd. Da, ali sam izvod prvog sadrži opet [inlmath]x'(t)[/inlmath] puta drugi, to jest puta [inlmath]x'(t)[/inlmath] ponovo.
Biće da su autori u pravu.

Hvala! Kakav previd!