Skup resenja nejednacine:
[dispmath]\sqrt{4+7x-2x^2}<2x+1[/dispmath]
prvo kvadriram da izgubim koren, [inlmath]4+7x-2x^2<4x^2+4x+1\\
-6x^2+3x+3<0[/inlmath]
i dobijem [inlmath]x_1=1[/inlmath] i [inlmath]x_2=-\frac{1}{2}[/inlmath]

a resenje je, tj skup resenja ove nejednacine [inlmath](1,4][/inlmath]
gde gresim ?

e ovako

-potkorjena velicina mora biti pozitivna
-desna strana mora biti pozitivna

e sad kako bi taj izraz bio manji od [inlmath]0[/inlmath] moras naci rjesenja te kvadratne jednacine (to si vec uradio), posto je [inlmath]a<0[/inlmath] otvor parabole je okrenut prema dole... sada nacrtaj skicu te parabole i pogledaj u kojim je intervalima ona negativna i to uporedi sa uslovima da su obije strane nejednacine pozitivne

Mala ispravka – potkorena veličina ne mora biti pozitivna, već mora biti nenegativna. To znači, mora biti ili pozitivna, ili nula. Jedino ne sme biti negativna.

E sad, pošto na levoj strani imamo kvadratni koren, a on je po definiciji uvek pozitivan ili nula (nula je onda kada je potkorena veličina nula), zaključujemo da, pošto je desna strana strogo veća od leve strane, desna strana mora biti strogo veća od nule, tj. isključivo pozitivna. To se, pre kvadriranja, mora navesti kao uslov, jer se kvadriranjem gubi informacija o predznaku leve i desne strane, pa kad ne bismo uzeli u obzir te uslove pre kvadriranja, dobili bismo višak rešenja, što se upravo tebi i desilo.

Dakle, uslovi su:
– nenegativnost potkorene veličine: [inlmath]4+7x-2x^2\ge0[/inlmath]
– pozitivnost desne strane nejednačine: [inlmath]2x+1>0[/inlmath]
Pošto nijedna od strana ove nejednačine nije negativna, kvadriranjem se ne menja smer znaka nejednakosti.
Kada, nakon kvadriranja, rešiš nejednačinu, treba da zadržiš samo one intervale rešenja koji zadovoljavaju prethodno postavljene uslove, a to radiš tako što nađeš presek dobijenih rešenja nejednačine i rešenja postavljenih uslova.

Preporučujem ti da pogledaš i ovaj post.

Mozda je Sinisa pod "pozitivna" smatrao [inlmath]\geq0[/inlmath]? Onda je u pravu.

Inace, nije uvek jasno sta se misli pod terminom "pozitivan". Naime, to zavisi od autora do autora. Npr, u Francuskoj skoli matematike se pod pozitivnim brojem smatra [inlmath]\geq0[/inlmath], dok je termin strogo pozitivan rezervisan [inlmath]>0[/inlmath]. Sa druge strane, Englezi/Amerikanci koriste termin nenegativan za [inlmath]\geq0[/inlmath], odnosno pozitivan za [inlmath]>0[/inlmath]. Dakle, sve je stvar dogovora.

Pa slicno je i za monotonost funkcije. Neki kazu "neopadajuca", odnosno "rastuca", a neki "rastuca", odnosno "strogo rastuca". Dakle ponovo, sve je stvar dogovora.

Sinisa je napisao:e ovako

-potkorjena velicina mora biti pozitivna
-desna strana mora biti pozitivna

Zasto desna strana mora biti pozitivna, zar nije koren nekog broja njegova apsolutna vrednost?
Sto znaci da desna strana u nekom slucaju moze biti i negativna pod uslovom da je leva strana manja od nule.

Koren nekog broja nije njegova apsolutna vrednost. Znači, [inlmath]\sqrt x\ne\left|x\right|[/inlmath].
Možda si hteo da kažeš da je koren kvadrata nekog broja apsolutna vrednost tog broja. Znači, [inlmath]\sqrt{x^2}=\left|x\right|[/inlmath].
U svakom slučaju, kvadratni koren nekog broja (pri čemu je uslov da je broj pod korenom nenegativan, jer, u protivnom, koren ne bi bio definican) uvek je pozitivan (ili eventualno nula, ako je broj pod korenom nula).
Prema tome, pošto na levoj strani imamo kvadratni koren, koji mora biti [inlmath]\ge0[/inlmath], sledi da leva strana mora biti ili pozitivna ili nula.
Pošto je desna strana po uslovu nejednakosti strogo veća od leve, a leva je [inlmath]\ge0[/inlmath], sledi da desna strana mora biti strogo veća od nule.