Zbog slučajnog brisanja teme o logaritamskoj jednačini (do kojeg zaista ne znam kako je došlo, osim da se nešto zabagovalo), a zbog čega su autor teme Akke i Ilija koji je na toj temi učestvovao dobili izvinjenje, ovde ću po sećanju napisati zadatak koji je Akke postavio.

Naći sve vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje važi
[dispmath]\log_{2x}\left(x^2+1\right)<1,\quad x\in\mathbb{R}[/dispmath]
Treba da se dobije rešenje [inlmath]x\in\left(0,\frac{1}{2}\right)[/inlmath].

Postupak koji je Akke priložio bio je:
[dispmath]\log_{2x}\left(x^2+1\right)<1\\
\log_{2x}\left(x^2+1\right)<\log_{2x}2x\\
x^2+1<2x\\
x^2-2x+1<0\\
\left(x-1\right)^2<0[/dispmath]
Iz čega je zaključio da nejednačina važi za svako [inlmath]x[/inlmath] osim za [inlmath]x=1[/inlmath] (moja primedba – pogrešno, to bi važilo kad bi smer znaka nejednakosti bio obrnut, a ovako nejednakost ne važi ni za jedno realno [inlmath]x[/inlmath]).

Na to je Ilija odgovorio da, prilikom oslobađanja od logaritma, treba diskutovati slučajeve kada je baza logaritma veća od [inlmath]1[/inlmath] (tada se pri oslobađanju od logaritma smer znaka nejednakosti ne menja) i kada se baza logaritma nalazi u intervalu [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath] (tada se pri oslobađanju od logaritma smer znaka nejednakosti menja). Zatim je detaljno i obradio oba slučaja, na sledeći način (opet po mom sećanju):

[inlmath]2x>1:[/inlmath]
[dispmath]x^2+1<2x\\
x^2-2x+1<0\\
\left(x-1\right)^2<0[/dispmath]
Ovo nikad nije ispunjeno, budući da kvadrat bilo kog realnog broja mora biti ili pozitivan ili nula, tj. ne može biti manji od nule.

[inlmath]0<2x<1:[/inlmath]
[dispmath]x^2+1>2x\\
x^2-2x+1>0\\
\left(x-1\right)^2>0[/dispmath]
Ovo je ispunjeno za svako realno [inlmath]x[/inlmath] osim za [inlmath]x=1[/inlmath], ali zbog uslova ovog slučaja koji kaže [inlmath]0<2x<1[/inlmath], rešenje ovog slučaja, a samim tim i rešenje celog zadatka, glasi
[dispmath]x\in\left(0,\frac{1}{2}\right)[/dispmath]

---

Na kraju je Ilija napisao da se zadatak može i drugačije rešavati, tako što se nejednačina napiše kao
[dispmath]\frac{\log_{10}\left(x^2+1\right)}{\log_{10}2x}<1[/dispmath]
i onda se ispituje za koje vrednosti brojioca i imenioca će vrednost ovog razlomka biti manja od [inlmath]1[/inlmath].

Nije mi baš jasno zbog čega se znak nejednakosti na intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath] menja?

To je odlicno pitanje. Ukratko, to je tako jer je za takvu osnovu logaritam opadajuca funkcija.
Za sada toliko, a ako ti niko ne da opsirniji odgovor, ja ti obecavam da cu objasniti detaljnije.

Evo, ja ću detaljnije.
Prvo bih te uputio da pogledaš GIF-animaciju logaritamske funkcije u zavisnosti od vrednosti osnove (drugi GIF u ovom postu), iz čega možeš jasno videti kako je logaritam opadajuća funkcija kada je osnova pozitivna i manja od [inlmath]1[/inlmath], a rastuća funkcija kada je osnova veća od [inlmath]1[/inlmath] – kao što je Onomatopeja i rekao.

Posmatrajmo to i na primerima.
[inlmath]y=\log_ax[/inlmath] znači da je [inlmath]a^y=x[/inlmath].

Uzmimo, prvo, za [inlmath]a[/inlmath] neku vrednost veću od jedinice, npr. [inlmath]a=3[/inlmath]:
[inlmath]y=\log_3x[/inlmath], tj. [inlmath]3^y=x[/inlmath].
Iz [inlmath]3^y=x[/inlmath] vidimo da, kako povećavamo [inlmath]x[/inlmath], moramo povećavati i [inlmath]y[/inlmath] kako bi jednakost ostala zadovoljena. Samim tim će vrednost logaritamske funkcije [inlmath]y=\log_3x[/inlmath] biti utoliko veća ukoliko je [inlmath]x[/inlmath] veće, iz čega zaključujemo da je u ovom slučaju logaritamska funkcija monotono rastuća.

Sada za [inlmath]a[/inlmath] uzmimo neku vrednost između nule i jedinice. Recimo, [inlmath]a=\frac{1}{3}[/inlmath]:
[inlmath]y=\log_{1/3}x[/inlmath], tj. [inlmath]\left(\frac{1}{3}\right)^y=x[/inlmath].
Zatim [inlmath]\left(\frac{1}{3}\right)^y=x[/inlmath] možemo zapisati kao [inlmath]\frac{1}{3^y}=x[/inlmath]. Odatle vidimo da, što je [inlmath]x[/inlmath] veće, [inlmath]y[/inlmath] mora biti manje, kao i obratno. Iz toga sledi da će logaritamska funkcija [inlmath]y=\log_{1/3}x[/inlmath] biti opadajuća.
Mogao si, takođe, [inlmath]\frac{1}{3^y}=x[/inlmath] da zapišeš i kao [inlmath]3^{-y}=x[/inlmath] odakle je takođe, možda još i očiglednije, jasno da kako [inlmath]x[/inlmath] raste tako mora rasti i [inlmath]\left(-y\right)[/inlmath], tj. [inlmath]y[/inlmath] mora opadati. I obratno.

Evo nekih još konkretnijih primera:
[dispmath]2^2=4\;\Rightarrow\;\log_2{\color{blue}4}={\color{red}2}\\
2^3=8\;\Rightarrow\;\log_2{\color{blue}8}={\color{red}3}\\
2^4=16\;\Rightarrow\;\log_2{\color{blue}16}={\color{red}4}[/dispmath]
Dakle, osnova je [inlmath]2[/inlmath] (tj. veća od [inlmath]1[/inlmath]) [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] što je veći argument logaritma veća je i vrednost logaritma [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] logaritam s osnovom većom od [inlmath]1[/inlmath] je rastuća funkcija.
[dispmath]\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\;\Rightarrow\;\log_{\frac{1}{2}}{\color{blue}\frac{1}{4}}={\color{red}2}\\
\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\;\Rightarrow\;\log_{\frac{1}{2}}{\color{blue}\frac{1}{8}}={\color{red}3}\\
\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}\;\Rightarrow\;\log_{\frac{1}{2}}{\color{blue}\frac{1}{16}}={\color{red}4}[/dispmath]
Dakle, osnova je [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] (tj. pozitivna i manja od [inlmath]1[/inlmath]) [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] što je manji argument logaritma vrednost logaritma je veća [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] logaritam s osnovom manjom od [inlmath]1[/inlmath] je opadajuća funkcija.

Ahaa mislim da sam shvatio to npr. znaci da ako imamo [inlmath]\log_ax[/inlmath] , [inlmath]a>1[/inlmath].
Onda uzmemo tacke [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] tako da vazi [inlmath]x_1<x_2[/inlmath] onda ce i [inlmath]\log_ax_1<\log_ax_2[/inlmath]
A u slucaju kada je [inlmath]0<a<1[/inlmath] a [inlmath]x_1<x_2[/inlmath] onda se odnos menja i bice [inlmath]\log_ax_1>\log_ax_2[/inlmath]
Nadam se da sam shvatio i da sam u pravu.

Tako nekako, to se najlepse vidi kada se nacrta logaritamska funkcija. i onda na njoj uzimas proizvoljne tacke i poredis

Akke je napisao:Nadam se da sam shvatio i da sam u pravu.

Apsolutno, upravo je tako kako si napisao.

Na grafiku vidis logaritamsku funkciju kada je [inlmath]a[/inlmath] (osnova) [inlmath]0<a<1[/inlmath]
[dispmath]\log_ax_1=p\\
\log_ax_2=q[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\;x_2>x_1\;\Rightarrow\;q<p\\
\Rightarrow\;\log_ax_2<\log_ax_1[/dispmath]
[inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] su brojevi i njihov odnos gledas kao brojeve a ne kao rastojanja (pozitivan broj je uvek veci od negativnog)