Kroz tacku u trouglu [inlmath]ABC[/inlmath] povucene su prave paralelne stranicama trougla. Na taj nacin formirana su tri manja trougla cije su povrsine [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]9[/inlmath]. Povrsina trougla [inlmath]ABC[/inlmath] je:

Iskreno nije mi bas najjasniji ovaj zadatak, ako moze neko upustvo

Ide preko sličnosti trouglova, sa slike se vidi da su trouglovi manjih površina ([inlmath]P_1=1[/inlmath], [inlmath]P_2=4[/inlmath] i [inlmath]P_3=9[/inlmath]) slični velikom trouglu


ako uzmemo da je [inlmath]AB=c[/inlmath] i da je [inlmath]c=c_1+c_2+c_3[/inlmath], a možemo primijetiti da dijelovi [inlmath]c_1,c_2,c_3[/inlmath] predstavljaju po stranicu manjeg trouglova ([inlmath]c_1[/inlmath] stranica trougla [inlmath]P_1[/inlmath], [inlmath]c_2[/inlmath] stranica trougla [inlmath]P_2[/inlmath] i [inlmath]c_3[/inlmath] stranica trougla [inlmath]P_3[/inlmath])
i onda je
[dispmath]\frac{c_1^2}{c^2}=\frac{P_1}{P}\;\Rightarrow\;c_1=c\sqrt{\frac{P_1}{P}}\\
\frac{c_2^2}{c^2}=\frac{P_2}{P}\;\Rightarrow\;c_2=c\sqrt{\frac{P_2}{P}}\\
\frac{c_3^2}{c^2}=\frac{P_3}{P}\;\Rightarrow\;c_3=c\sqrt{\frac{P_3}{P}}[/dispmath]
dalje imamo
[dispmath]\sqrt{\frac{P_1}{P}}+\sqrt{\frac{P_2}{P}}+\sqrt{\frac{P_3}{P}}=1\\
\Rightarrow\;P=\left(\sqrt{P_1}+\sqrt{P_2}+\sqrt{P_3}\right)^2\\
P=36[/dispmath]

Da, sad mi je jasno. Samo jedno pitanje, da li je [inlmath]\displaystyle\frac{c_1^2}{c^2}=\frac{P_1}{P}[/inlmath] ovde duzina stranice [inlmath]c[/inlmath] kvadrirana zbog toga sto je povrsina kvadratna velicina ?

Nisam baš siguran može li se tako reći davno sam radio ovu oblast, ali se izvodi iz sličnosti trouglova
Neka je [inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1[/inlmath] onda je [inlmath]a:a_1=b:b_1=c:c_1[/inlmath] i [inlmath]\angle A=\angle A_1[/inlmath], [inlmath]\angle B=\angle B_1[/inlmath], [inlmath]\angle C=\angle C_1[/inlmath]
povlačenje visine iz tjemena [inlmath]C[/inlmath] možemo pokazati da vrijedi [inlmath]h_c:h_{c_1}=a:a_1=b:b_1=c:c_1[/inlmath], a onda koristeći to dokazujemo sljedeće
[inlmath]P=P_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_c,\quad P_1=P_{\triangle A_1B_1C_1}=\frac{1}{2}\cdot c_1\cdot h_{c_1}[/inlmath] to je:
[dispmath]P:P_1=\left(\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_c\right):\left(\frac{1}{2}\cdot c_1\cdot h_{c_1}\right)=\frac{c\cdot h_c}{c_1\cdot h_{c_1}}[/dispmath]
a kako imamo da je [inlmath]\displaystyle\frac{h_c}{h_{c_1}}=\frac{c}{c_1}[/inlmath] onda je to:
[dispmath]P:P_1=c^2:c_1^2[/dispmath]
odnosno: [inlmath]P:P_1=a^2:a_1^2=b^2:b_1^2=c^2:c_1^2[/inlmath]

p.s. mislim da se može skontati šta je šta i bez slike pa da ne zatrpavam forum slikama

Jasno o7