Dakle, imam problem da uradim sledeći zadatak:

˝Neka su naspramne stranice [inlmath]AD[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath] četvorougla [inlmath]ABCD[/inlmath] jednake i neka su [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath] središta stranica [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]DC[/inlmath]. Dokazati da su normalne projekcije stranica [inlmath]AD[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath] na pravu [inlmath]p(M,N)[/inlmath] jednake srednjoj liniji [inlmath]MN[/inlmath].˝

Ja sam uradio samo sledeće:

Neka su [inlmath]A_1[/inlmath], [inlmath]B_1[/inlmath], [inlmath]C_1[/inlmath] i [inlmath]D_1[/inlmath] normalne projekcije tačaka [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath], redom, na [inlmath]p(M, N)[/inlmath].
Sada imamo da je [inlmath]\angle A_1AM=\angle B_1BM=\varphi[/inlmath] (jer su to naizmenični uglovi), [inlmath]\angle MA_1A=\angle MB_1B=\frac{\pi}{2}[/inlmath], pa sledi da je [inlmath]\angle AMA_1=\angle BMB_1=\frac{\pi}{2}-\varphi[/inlmath]. S obzirom da je [inlmath]AM=MB=\frac{AB}{2}[/inlmath], sledi, na osnovu (USU) stava o podudarnosti trouglova da je [inlmath]AMA_1\cong BMB_1[/inlmath]. Odatle se dobija da je [inlmath]A_1M=B_1M[/inlmath].
Sada se, posmatrajući trouglove [inlmath]DND_1[/inlmath] i [inlmath]CNC_1[/inlmath], analogno zaključuje i da je [inlmath]DN_1=CN_1[/inlmath].

Ne znam kako da nađem način da uporedim projekcije sa srednjom linijom. Molim vas za pomoć!

Pošto sam preko telefona, a vidim da niko još uvek nije odgovorio, ne mogu sve da kucam, ali hintovaću ti. Nisi iskoristio uslov da su naspramne stranice jednake. Ovo si dosad dobro uočio .

P. S. Inače, baš zanimljiv zadatak, retko se susrećemo sa srednjom linijom četvorougla.

Corba248 je napisao:Nisi iskoristio uslov da su naspramne stranice jednake.

Nažalost, ne znam kako da iskoristim ovaj savet.

Iz [inlmath]C[/inlmath] spusti normalu na pravu [inlmath]BB_1[/inlmath] i podnožje normale označi sa [inlmath]C_2[/inlmath]. Analogno, iz [inlmath]D[/inlmath] spusti normalu na pravu [inlmath]AA_1[/inlmath] i podnožje normale označi sa [inlmath]D_2[/inlmath]. Na osnovu stava SSU zaključiš da su trouglovi [inlmath]\triangle BC_2C[/inlmath] i [inlmath]\triangle AD_2D[/inlmath] podudarni, a odatle i da je [inlmath]C_2C=D_2D[/inlmath]. Pošto su [inlmath]B_1C_1CC_2[/inlmath] i [inlmath]A_1D_1DD_2[/inlmath] pravougaonici sledi da je [inlmath]B_1C_1=C_2C[/inlmath] i [inlmath]A_1D_1=D_2D[/inlmath], a odatle i da je [inlmath]B_1C_1=A_1D_1[/inlmath].

Odatle sledi i da je [inlmath]A_1B_1=C_1D_1[/inlmath], a odatle, opet, da je [inlmath]A_1M=D_1N[/inlmath], iz čega na kraju sledi da je [inlmath]A_1D_1=MN[/inlmath], a samim tim i da je [inlmath]B_1C_1=MN[/inlmath].