Koristeći tablične integrale naći:
[dispmath]\int\sqrt{1-\sin(2x)}\,\mathrm dx[/dispmath] Prepisat cu rešenje zadatka:

Pošto je [inlmath]\sqrt{1-\sin(2x)}=\sqrt{(\cos x-\sin x)^2}=|\cos x-\sin x|=(\cos x-\sin x)\text{ sgn}(\cos x-\sin x)[/inlmath]

[dispmath]\vdots\\
I(x)=\begin{cases}
-(\sin x+\cos x)+C_{-1},\enspace\frac{\pi}{4}-2\pi\le x<\frac{\pi}{4}-\pi\;;\\
\sin x+\cos x+C_0,\enspace\frac{\pi}{4}-\pi\le x<\frac{\pi}{4}\;;\\
-(\sin x+\cos x)+C_1,\enspace\frac{\pi}{4}\le x<\frac{\pi}{4}+\pi\;;\\
\vdots\\
(-1)^n(\sin x+\cos x)+C_n,\enspace\frac{\pi}{4}+(n-1)\pi\le x<\frac{\pi}{4}+n\pi\;;\\
\vdots\\
\end{cases}[/dispmath] Saglasno definiciji primitivne funkcije, mora da važi: [inlmath]I\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)=I\left(\frac{\pi}{4}+k\pi-0\right)[/inlmath] za svako [inlmath]k\in\mathbb{Z}[/inlmath], odakle se dobija:
[dispmath]C_k=2k\sqrt2+C,\enspace k=\left[\frac{\pi-\frac{\pi}{4}+\pi}{\pi}\right],\enspace C=C_0[/dispmath] Dakle,
[dispmath]I(x)=(-1)^k(\sin x+\cos x)+2k\sqrt2+C,\enspace k=\left[\frac{\pi-\frac{\pi}{4}+x}{\pi}\right][/dispmath] Jasno mi je sve do dela kada je reč o primitivnim funkcijama odatle mi nije jasno kako dobije [inlmath]C_k[/inlmath], zatim kako je nasao [inlmath]k[/inlmath]?

Kako znam, svaka funkcija [inlmath]f(x)[/inlmath] ima more primitivnih funkcija [inlmath]F(x)[/inlmath], [inlmath]\bigl(F(x)^\prime=f(x)\bigr)[/inlmath], koje se razlikuju samo u konstanti. Ovde jedino da se uzmu neke proizvoljne vrednosti za [inlmath]x[/inlmath] i da se nekako pokuša naći konstanta.

Meni njihovo objašnjenje nije jasno, pogotovo mi nije jasan ovaj deo,

kazinski je napisao:[inlmath]I\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)=I\left(\frac{\pi}{4}+k\pi-0\right)[/inlmath] za svako [inlmath]k\in\mathbb{Z}[/inlmath]

za koji bih pre rekao da je štamparska greška, jer je ta jednakost toliko očigledna (kao npr. jednakost [inlmath]5=5+0[/inlmath]), da nam jednostavno ništa ne govori.

Ja bih to rezonovao na sledeći način. Funkcija pod integralom je, dakle, jednaka [inlmath]|\cos x-\sin x|[/inlmath]. Očigledno je da je osnovni period te funkcije jednak [inlmath]\pi[/inlmath] (da nema apsolutne vrednosti, bio bi [inlmath]2\pi[/inlmath]). Ono što želim da kažem, biće jasnije na njenom grafiku:


U nekoj tački [inlmath]x_0[/inlmath] integral ove funkcije biće za onoliko veći od integrala u tački [inlmath]x_0-\pi[/inlmath] koliko iznosi žuta površina (koja je jednaka određenom integralu od [inlmath]x_0-\pi[/inlmath] do [inlmath]x_0[/inlmath]). Ta žuta površina jednaka je određenom integralu po bilo kom intervalu koji predstavlja osnovni period. Lako se može izračunati da taj određeni integral (tj. ta površina) iznosi [inlmath]2\sqrt2[/inlmath]. Samim tim, i razlika integrala u dvema tačkama koje su na rastojanju [inlmath]\pi[/inlmath] mora iznositi [inlmath]2\sqrt2[/inlmath]. To je, ujedno, i razlika susednih članova niza konstanti [inlmath]C_k[/inlmath], tj. [inlmath]C_k=C_{k-1}+2\sqrt2[/inlmath].

Pošto je uzeto da se konstanta [inlmath]C_0[/inlmath] odnosi na interval [inlmath]x\in\left[\frac{\pi}{4}-\pi,\frac{\pi}{4}\right)[/inlmath], konstanta [inlmath]C_1[/inlmath] odnosiće se na prvi sledeći interval, [inlmath]x\in\left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}+\pi\right)[/inlmath], zatim konstanta [inlmath]C_2[/inlmath] na prvi sledeći, [inlmath]x\in\left[\frac{\pi}{4}+\pi,\frac{\pi}{4}+2\pi\right)[/inlmath] itd. Taj indeks [inlmath]k[/inlmath] iz konstante [inlmath]C_k[/inlmath] može se zapisati kao [inlmath]\lfloor\frac{\pi-\frac{\pi}{4}+x}{\pi}\rfloor[/inlmath], gde zagrade označavaju celobrojni deo: za [inlmath]x[/inlmath] u intervalu [inlmath]\left[\frac{\pi}{4}-\pi,\frac{\pi}{4}\right)[/inlmath], brojilac će biti u intervalu [inlmath][0,\pi)[/inlmath], izraz unutar zagrada će biti u intervalu [inlmath][0,1)[/inlmath], pa će celobrojna vrednost biti [inlmath]0[/inlmath] i biće [inlmath]k=0[/inlmath]; za [inlmath]x[/inlmath] u intervalu [inlmath]\left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}+\pi\right)[/inlmath], brojilac će biti u intervalu [inlmath][\pi,2\pi)[/inlmath], izraz unutar zagrada će biti u intervalu [inlmath][1,2)[/inlmath], pa će celobrojna vrednost biti [inlmath]1[/inlmath] i biće [inlmath]k=1[/inlmath]. Itd...

Prema tome, ovde se nalazi još jedna greška,

kazinski je napisao:odakle se dobija:
[dispmath]C_k=2k\sqrt2+C,\enspace k=\left[\frac{\pi-\frac{\pi}{4}+{\color{red}\pi}}{\pi}\right],\enspace C=C_0[/dispmath]

jer umesto crveno obeleženog [inlmath]\pi[/inlmath] treba da stoji [inlmath]x[/inlmath], a umesto uglastih zagrada treba da stoje zagrade za celobrojni deo.

Jedino se ne bih složio sa ovim:

Daniel je napisao:Meni njihovo objašnjenje nije jasno, pogotovo mi nije jasan ovaj deo,

kazinski je napisao:[inlmath]I\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)=I\left(\frac{\pi}{4}+k\pi-0\right)[/inlmath] za svako [inlmath]k\in\mathbb{Z}[/inlmath]

za koji bih pre rekao da je štamparska greška, jer je ta jednakost toliko očigledna (kao npr. jednakost [inlmath]5=5+0[/inlmath]), da nam jednostavno ništa ne govori.

Oznaka [inlmath]-0[/inlmath] se ovde odnosi na levi limes, odnosno izraz [inlmath]I\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)=I\left(\frac{\pi}{4}+k\pi-0\right)[/inlmath] znači da primitivna funkcija [inlmath]I[/inlmath] (ako postoji) mora biti neprekidna sleva (jer je očigledno da je neprekidna zdesna). Ovo sledi iz stava koji kaže: Ako je funkcija [inlmath]f[/inlmath] Riman integrabilna funkcija na intervalu [inlmath][a,b][/inlmath], tada je [inlmath]F(x)=\int_a^xf(t)\;dt[/inlmath] neprekidna funkcija za [inlmath]x\in[a,b][/inlmath].

Da, u pravu si sasvim, tu oznaku [inlmath]-0[/inlmath] dosad sam viđao isključivo u indeksu, tj. ispod limesa, a ovako napisana „u krupnom planu“ nije me ni najmanje asocirala na levi limes.