Vrednost izraza
[dispmath]\frac{\sin 85^\circ}{\cos 50^\circ-\cos 140^\circ}[/dispmath] jednaka je:

[dispmath]\frac{\sin85^\circ}{\cos50^\circ-\cos140^\circ}=\frac{\sin85^\circ}{\cos(90^\circ-40^\circ)-\cos(180^\circ-40^\circ)}=\frac{\sin85^\circ}{\sin40^\circ-(-\cos40^\circ)}=\frac{\sin85^\circ}{\sin40^\circ+\cos40^\circ}[/dispmath] Pa sad primenjujemo osobinu da se izraz [inlmath]A\sin x+B\cos x[/inlmath] (u kojem je [inlmath]A,B\in\mathbb{R}[/inlmath]) može napisati u obliku [inlmath]a\sin\left(x+\varphi\right)[/inlmath], u kojem je [inlmath]a>0[/inlmath]:
[dispmath]a\sin(x+\varphi)=a\sin x\cos\varphi+a\cos x\sin\varphi=A\sin x+B\cos x,\quad A=a\cos\varphi,\;B=a\sin\varphi\\
A^2+B^2=a^2\cos^2\varphi+a^2\sin^2\varphi=a^2\underbrace{\left(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi\right)}_1=a^2\quad\Longrightarrow\quad\enclose{box}{a=\sqrt{A^2+B^2}}\\
\frac{B}{A}=\frac{\cancel a\sin\varphi}{\cancel a\cos\varphi}=\text{tg }\varphi\quad\Longrightarrow\quad\text{tg }\varphi=\frac{B}{A}\\
A>0\quad\Longrightarrow\quad a\cos\varphi>0\quad\Longrightarrow\quad\cos\varphi>0\quad\Longrightarrow\quad\varphi\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\quad\Longrightarrow\quad\varphi=\text{arctg }\frac{B}{A}\\
A<0\quad\Longrightarrow\quad a\cos\varphi<0\quad\Longrightarrow\quad\cos\varphi<0\quad\Longrightarrow\quad\varphi\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)\quad\Longrightarrow\quad\varphi=\text{arctg }\frac{B}{A}+\pi\\
\Longrightarrow\quad\varphi=\begin{cases}
\text{arctg }\frac{B}{A}, & A>0\\
\\
\text{arctg }\frac{B}{A}+\pi, & A<0
\end{cases}[/dispmath] I sad to primenimo na ovaj zadatak,
[dispmath]\sin40^\circ+\cos40^\circ\quad\Longrightarrow\quad A=B=1\quad\Longrightarrow\quad\begin{array}{ll}
a^2=2\quad\Longrightarrow\quad a=\sqrt2\\
\text{tg }\varphi=1\quad\Longrightarrow\quad\varphi=45^\circ
\end{array}\\
\quad\Longrightarrow\quad\sin40^\circ+\cos40^\circ=\sqrt2\sin(40^\circ+45^\circ)=\sqrt2\sin85^\circ[/dispmath] tako da dati izraz postaje
[dispmath]\frac{\sin85^\circ}{\sin40^\circ+\cos40^\circ}=\frac{\cancel{\sin85^\circ}}{\sqrt2\cancel{\sin85^\circ}}=\frac{\sqrt2}{2}[/dispmath]

A postoji i malo „rutinskiji“ način, pod pretpostavkom da ste radili transformaciju razlike kosinusa u proizvod sinusa, pomoću formule
[dispmath]\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}[/dispmath]
Tada izraz možemo napisati kao
[dispmath]\frac{\sin85^\circ}{\cos50^\circ-\cos140^\circ}=\frac{\sin85^\circ}{-2\sin\frac{50^\circ+140^\circ}{2}\sin\frac{50^\circ-140^\circ}{2}}=\frac{\sin85^\circ}{-2\sin95^\circ\sin\left(-45^\circ\right)}=[/dispmath][dispmath]=\frac{\sin85^\circ}{2\sin95^\circ\sin45^\circ}=\frac{\sin\left(90^\circ-5^\circ\right)}{\cancel2\sin\left(90^\circ+5^\circ\right)\frac{\sqrt2}{\cancel2}}=\frac{\cancel{\cos5^\circ}}{\cancel{\cos5^\circ}\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}[/dispmath]

Ovaj drugi nacin mi je jednostavniji.
Hvala!

Ako je [inlmath]\cos 2x=\frac{\sqrt 3}{3}[/inlmath], onda je vrednost izraza [inlmath]\sin^4x+\cos^4x[/inlmath] jednaka:

[dispmath]\sin^4x+\cos^4x=\left(\sin^4x+2\sin^2x\cos^2x+\cos^4x\right)-2\sin^2x\cos^2x=[/dispmath][dispmath]=\underbrace{\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^2}_1-2\sin^2x\cos^2x=\dots[/dispmath]pa sad ima dva načina:

[inlmath]I[/inlmath] način:[dispmath]\dots=1-2\frac{1-\cos 2x}{2}\frac{1+\cos 2x}{2}=1-\frac{1}{2}\left(1-\cos^2 2x\right)=\dots[/dispmath][inlmath]II[/inlmath] način:[dispmath]\dots=1-\frac{1}{2}\cdot 4\sin^2x\cos^2x=1-\frac{1}{2}\left(2\sin x\cos x\right)^2=1-\frac{1}{2}\sin^2 2x=1-\frac{1}{2}\left(1-\cos^2 2x\right)=\dots[/dispmath]i završetak je isti za oba načina:[dispmath]\dots=1-\frac{1}{2}\left[1-\left(\frac{\sqrt 3}{3}\right)^2\right]=1-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3}[/dispmath]

Daniel je napisao:[dispmath]\sin^4x+\cos^4x=\left(\sin^4x+2\sin^2x\cos^2x+\cos^4x\right)-2\sin^2x\cos^2x=[/dispmath]

Zašto [inlmath]-2\sin^2x\cos^2x?[/inlmath]

pa zato sto to kratis sa ovim u zagradi tj:
[dispmath](......+2\sin^2x\cos^2x....)-2\sin^2x\cos^2x[/dispmath]

Tj. u zagradu sam dopisao [inlmath]+2\sin^2x\cos^2x[/inlmath] kako bih od toga napravio kvadrat binoma, a čim sam na jednom mestu dodao [inlmath]2\sin^2x\cos^2x[/inlmath], onda na drugom mestu moram isto toliko i da oduzmem, kako ne bih narušio jednakost...

[dispmath]\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)+\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)[/dispmath]
znam da se primenjuje osnovna formula ali, profesor mi je rekao da treba da dobijem [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath] na kraju, ali ne mogu nikako, moguce da je on pogresio, posto je posenilio nacisto

Nemoj tako o profesoru.

Što se zadatka tiče, imali smo ga već i urađen je, ovde.