Potrebno mi je resenje sl. jednacina:

a)[dispmath]\frac{4x}{3}+11=4-x[/dispmath]
b)[dispmath]\frac{x}{5}-1\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}\left(7-\frac{3x}{5}\right)[/dispmath]
v) [dispmath]\frac{1}{3}(2x-27)=\frac{4x}{9}-7[/dispmath]
g) [dispmath]\frac{x}{2}-\frac{2}{3}x-\frac{1}{18}(7x-100)=0[/dispmath]
d) [dispmath]1\frac{1}{2}+\frac{4x}{3}=-\frac{1}{2}\left(15+\frac{x}{3}\right)[/dispmath]
đ)[dispmath]2\left(\frac{x}{4}-\frac{2x}{9}\right)+\frac{1}{3}(2x+39)=0[/dispmath]

Dobro došla, Ana, evo resenja:

a)
[dispmath]\frac{4x}{3}+11=4-x[/dispmath]
Da bismo sklonili trojku, pomnozimo SVE sa [inlmath]3[/inlmath]
Onda ćemo imati:
[dispmath]4x+33=12-3x[/dispmath]
Sada [inlmath]-3x[/inlmath] prebacimo na levu stranu i tamo će nestati minus, tj. ostaće samo [inlmath]3x[/inlmath]
[dispmath]4x+3x+33=12[/dispmath]
Sada [inlmath]33[/inlmath] prebacimo na drugu stranu i to će postati [inlmath]-33[/inlmath]; A [inlmath]4x[/inlmath] i [inlmath]3x[/inlmath] saberemo i dobijamo [inlmath]7x[/inlmath].
Dakle imamo:
[dispmath]7x=12-33[/dispmath]
[dispmath]7x=-21[/dispmath]
Da bismo dobili koliko je JEDNO [inlmath]x[/inlmath], podelimo sve sa [inlmath]7[/inlmath]:

Znači, rešenje je:
[dispmath]x=-3[/dispmath]
b)
[dispmath]\frac{x}{5}-1\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}\left(7-\frac{3x}{5}\right)[/dispmath]
Sada treba da pomnožimo sa nekim brojem i levu i desnu stranu tako da izgubimo razlomke. Ako bismo to uradili, na primer, sa [inlmath]5[/inlmath], imali bismo i dalje [inlmath]5/2[/inlmath] i [inlmath]-5/4[/inlmath] na desnoj strani, tako da nam to ne odgovara. Ne može ni sa [inlmath]2[/inlmath], a ni sa [inlmath]4[/inlmath]. Onda moramo sa brojem koji je deljiv I SA [inlmath]2[/inlmath], I SA [inlmath]4[/inlmath], I SA [inlmath]5[/inlmath]! Najbolje je da uzmemo što manji takav broj. Na primer, broj [inlmath]20[/inlmath] je deljiv sa [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath]. Uzećemo njega. Dakle, i levu i desnu stranu množimo sa [inlmath]20[/inlmath]. Dobićemo:
[dispmath]4x-30=-5\left(7-\frac{3x}{5}\right)[/dispmath]
Sada se oslobadjamo zagrade na desnoj strani tako sto cemo [inlmath]-5[/inlmath] pomnoziti sa [inlmath]7[/inlmath] i sa [inlmath]-3x/5[/inlmath].
Imamo:
[dispmath]4x-30=-35+\frac{15x}{5}[/dispmath]
[inlmath](15x)/5[/inlmath] je isto sto i [inlmath]3x[/inlmath], dakle imamo:
[dispmath]4x-30=-35+3x[/dispmath]
Sada [inlmath]3x[/inlmath] prebacimo na levu stranu, a [inlmath]-30[/inlmath] na desnu:
[dispmath]4x-3x=-35+30[/dispmath]
[dispmath]x=-5[/dispmath]
v) [dispmath]\frac{1}{3}(2x-27)=\frac{4x}{9}-7[/dispmath]
Pomnožimo sve sa [inlmath]9[/inlmath]:
[dispmath]3(2x-27)=4x-63[/dispmath]
Oslobadjamo se zagrade na levoj strani:
[dispmath]6x-81=4x-63[/dispmath]
[inlmath]4x[/inlmath] prebacujemo levo a [inlmath]-81[/inlmath] desno:
[dispmath]6x-4x=-63+81[/dispmath]
[dispmath]2x=18[/dispmath]
Da bismo videli koliko je jedno [inlmath]x[/inlmath], podelimo sve sa [inlmath]2[/inlmath]:
Rešenje:
[dispmath]x=9[/dispmath]
g) [dispmath]\frac{x}{2}-\frac{2}{3}x-\frac{1}{18}(7x-100)=0[/dispmath]
Pomnožimo sve sa [inlmath]18[/inlmath]:
[dispmath]\frac{18x}{2}-\frac{36}{3}x-\frac{18}{18}(7x-100)=0\cdot 18[/dispmath]
[inlmath]0\cdot 18=0[/inlmath], jer kada se nula pomnozi bilo kojim brojem, ostaje [inlmath]0[/inlmath]
Dalje imamo:
[dispmath]9x-12x-7x+100=0[/dispmath]
Saberemo, to jest, oduzmemo sve ove ikseve na levoj strani, a [inlmath]100[/inlmath] prebacimo na desnu i postaće [inlmath]-100[/inlmath]:
[dispmath]-10x=-100[/dispmath]
Na obe strane imamo minus ispred brojeva, tako da ga mozemo eliminisati:
[dispmath]10x=100[/dispmath]
Podelimo sa [inlmath]10[/inlmath] i resenje je:
[dispmath]x=10[/dispmath]
d) [dispmath]1\frac{1}{2}+\frac{4x}{3}=-\frac{1}{2}\left(15+\frac{x}{3}\right)[/dispmath]
Najmanji broj koji je deljiv i sa [inlmath]2[/inlmath] i sa [inlmath]3[/inlmath] je [inlmath]6[/inlmath], tako da cemo pomnoziti sve sa [inlmath]6[/inlmath]:
[dispmath]9+8x=-3\left(15+\frac{x}{3}\right)[/dispmath]
Oslobadjamo se zagrade sa desne strane:
[dispmath]9+8x=-3\cdot 15-3\cdot\frac{x}{3}[/dispmath]
[dispmath]9+8x=-45-x[/dispmath]
[inlmath]-x[/inlmath] prebacimo na levu stranu, a [inlmath]9[/inlmath] na desnu:
[dispmath]9x=-54[/dispmath]
Podelimo sve sa [inlmath]9[/inlmath] i Resenje je:
[dispmath]x=-6[/dispmath]
đ)[dispmath]2\left(\frac{x}{4}-\frac{2x}{9}\right)+\frac{1}{3}(2x+39)=0[/dispmath]
Pomnožimo sve sa [inlmath]3[/inlmath]:
[dispmath]6\left(\frac{x}{4}-\frac{2x}{9}\right)+2x+39=0\cdot 3[/dispmath]
Oslobadjamo se zagrada sa leve strane:
[dispmath]6\cdot\frac{x}{4}-6\cdot\frac{2x}{9}+2x+39=0[/dispmath]
[dispmath]\frac{6x}{4}-\frac{12x}{9}+2x+39=0[/dispmath]
Sada nam ponovo smetaju razlomci. Mozemo sve da pomnozimo sa [inlmath]36[/inlmath] (to je najmanji broj koji sadrzi [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]9[/inlmath]), ali bi onda morali da racunamo sa ogromnim brojevima (npr. [inlmath]39\cdot 36=1404[/inlmath]...). Ako ti se svidja, mozes tako da uradis, a moze i na ovaj nacin:

Ovaj razlomak pomnozimo i gore i dole sa [inlmath]9[/inlmath]
[dispmath]\frac{6x}{4}[/dispmath]
A ovaj i gore i dole sa [inlmath]4[/inlmath]
[dispmath]\frac{12x}{9}[/dispmath]
Tako da ćemo u oba razlomka u imeniocu (imenilac je ono u razlomku sto se nalazi ispod crte) imati [inlmath]36[/inlmath]

Prvi:
[dispmath]\frac{9\cdot 6x}{9\cdot 4}=\frac{54x}{36}[/dispmath]
Drugi:
[dispmath]\frac{4\cdot 12x}{4\cdot 9}=\frac{48x}{36}[/dispmath]
E sada sve ovo sto smo dobili zamenimo u ovu jednacinu:
[dispmath]\frac{6x}{4}-\frac{12x}{9}+2x+39=0[/dispmath]
Dakle, kad zamenimo imacemo:
[dispmath]\frac{54x}{36}-\frac{48x}{36}+2x+39=0[/dispmath]
E sada posto ova dva razlomka imaju isti imenilac ([inlmath]36[/inlmath]), mozemo im sabrati brojioce ([inlmath]54[/inlmath] i [inlmath]-48[/inlmath]):
[dispmath]\frac{54x-48x}{36}+2x+39=0[/dispmath]
[inlmath]54x-48x=6x[/inlmath], tako da imamo:
[dispmath]\frac{6x}{36}+2x+39=0[/dispmath]
[inlmath]6x/36[/inlmath] je isto sto i [inlmath]1x/6[/inlmath], tako da imamo:
[dispmath]\frac{1x}{6}+2x+39=0[/dispmath]
Sada nam smeta ovaj razlomak na levoj strani, tako da cemo sve pomnožiti sa [inlmath]6[/inlmath]
[dispmath]6\cdot\frac{1x}{6}+6\cdot 2x+6\cdot 39=6\cdot 0[/dispmath]
[dispmath]1x+12x+234=0[/dispmath]
[inlmath]1x+12x=13x[/inlmath], a [inlmath]234[/inlmath] prebacimo na desnu stranu i postaće [inlmath]-234[/inlmath]
Dakle, imamo:
[dispmath]13x=-234[/dispmath]
Da bismo dobili jedno [inlmath]x[/inlmath], sve podelimo sa [inlmath]13[/inlmath] i Rešenje je:
[dispmath]x=-18[/dispmath]


Reci ako nesto ne bude jasno

Zbroj svih rješenja jednadžbe
[inlmath]||2x-1|-2|=2[/inlmath]

je [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath] ?

[dispmath]\left|\left|2x-1\right|-2\right|=2[/dispmath]
Modul nekog broja je definisan kao sledeća funkcija:
[dispmath]\left|x\right|=\begin{cases}
x & \quad x\ge 0\\
-x & \quad x<0\\
\end{cases}[/dispmath]
Zbog toga je, u svakoj jednačini u kojoj se pojavljuju moduli, neophodno odvojeno posmatrati dva slučaja – kada je ono što je pod modulom veće ili jednako od nule, i kada je ono što je pod modulom manje od nule (ovo „ili jednako“ je svejedno da li ćemo „pripojiti“ slučaju >0 ili slučaju <0, bitno je da jednakost bude bar jednom obuhvaćena). Zatim se nađu rešenja za svaki od ta dva slučaja, a unija ta dva rešenja će predstavljati konačan skup rešenja te jednačine.

Slučaj [inlmath]\left.1\right)\quad 2x-1\ge 0\quad\Rightarrow\quad x\ge\frac{1}{2}\quad[/inlmath] (tj. uzimaćemo u obzir samo ona rešenja ovog slučaja koja zadovoljavaju ovaj uslov.)
[dispmath]\left|2x-1\right|=2x-1[/dispmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad\left|\left|2x-1\right|-2\right|=\left|2x-1-2\right|=\left|2x-3\right|[/dispmath]
[dispmath]\left|2x-3\right|=2[/dispmath]
Pa sad razmatramo dva podslučaja slučaja [inlmath]\left.1\right)[/inlmath]:

Podslučaj [inlmath]\left.1a\right)\quad 2x-3\ge 0\quad\Rightarrow\quad x\ge\frac{3}{2}\quad[/inlmath] (tj. uzimaćemo u obzir samo ona rešenja ovog podslučaja koja zadovoljavaju ovaj uslov.)
[dispmath]\left|2x-3\right|=2x-3[/dispmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad 2x-3=2[/dispmath]
[dispmath]x=\frac{5}{2}[/dispmath]
Pošto rešenje [inlmath]x=\frac{5}{2}[/inlmath] zadovoljava uslov pretpostavke [inlmath]x\ge\frac{3}{2}[/inlmath], to rešenje usvajamo.

Podslučaj [inlmath]\left.1b\right)\quad 2x-3<0\quad\Rightarrow\quad x<\frac{3}{2}\quad[/inlmath] (tj. uzimaćemo u obzir samo ona rešenja ovog podslučaja koja zadovoljavaju ovaj uslov.)
[dispmath]\left|2x-3\right|=-\left(2x-3\right)=3-2x[/dispmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad 3-2x=2[/dispmath]
[dispmath]x=\frac{1}{2}[/dispmath]
Pošto rešenje [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath] zadovoljava uslov pretpostavke [inlmath]x<\frac{3}{2}[/inlmath], to rešenje usvajamo.

Rešenja slučaja [inlmath]\left.1\right)[/inlmath] nalazimo kao uniju rešenja ova dva podslučaja, [inlmath]\left.1a\right)[/inlmath] i [inlmath]\left.1b\right)[/inlmath], pri čemu još moramo voditi računa o zadovoljenju uslova za slučaj [inlmath]\left.1\right)[/inlmath], a taj uslov je [inlmath]x\ge\frac{1}{2}[/inlmath].

Pošto rešenja oba razmatrana podslučaja, [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{5}{2}[/inlmath], zadovoljavaju uslov [inlmath]x\ge\frac{1}{2}[/inlmath], oba ta rešenja usvajamo, tako da će to biti rešenja [inlmath]\left.1\right)[/inlmath] slučaja.

Slučaj [inlmath]\left.2\right)\quad 2x-1<0\quad\Rightarrow\quad x<\frac{1}{2}\quad[/inlmath] (tj. uzimaćemo u obzir samo ona rešenja ovog slučaja koja zadovoljavaju ovaj uslov.)
[dispmath]\left|2x-1\right|=-\left(2x-1\right)=1-2x[/dispmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad\left|\left|2x-1\right|-2\right|=\left|1-2x-2\right|=\left|-2x-1\right|[/dispmath]
[dispmath]\left|-2x-1\right|=2[/dispmath]
Pa sad razmatramo dva podslučaja slučaja [inlmath]\left.2\right)[/inlmath]:

Podslučaj [inlmath]\left.2a\right)\quad -2x-1\ge 0\quad\Rightarrow\quad x\le -\frac{1}{2}\quad[/inlmath] (tj. uzimaćemo u obzir samo ona rešenja ovog podslučaja koja zadovoljavaju ovaj uslov.)
[dispmath]\left|-2x-1\right|=-2x-1[/dispmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad -2x-1=2[/dispmath]
[dispmath]x=-\frac{3}{2}[/dispmath]
Pošto rešenje [inlmath]x=-\frac{3}{2}[/inlmath] zadovoljava uslov pretpostavke [inlmath]x\le -\frac{1}{2}[/inlmath], to rešenje usvajamo.

Podslučaj [inlmath]\left.2b\right)\quad -2x-1<0\quad\Rightarrow\quad x>-\frac{1}{2}\quad[/inlmath] (tj. uzimaćemo u obzir samo ona rešenja ovog podslučaja koja zadovoljavaju ovaj uslov.)
[dispmath]\left|-2x-1\right|=-\left(-2x-1\right)=2x+1[/dispmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad 2x+1=2[/dispmath]
[dispmath]x=\frac{1}{2}[/dispmath]
Pošto rešenje [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath] zadovoljava uslov pretpostavke [inlmath]x>-\frac{1}{2}[/inlmath], to rešenje usvajamo.

Rešenja slučaja [inlmath]\left.2\right)[/inlmath] nalazimo kao uniju rešenja ova dva podslučaja, [inlmath]\left.2a\right)[/inlmath] i [inlmath]\left.2b\right)[/inlmath], pri čemu još moramo voditi računa o zadovoljenju uslova za slučaj [inlmath]\left.2\right)[/inlmath], a taj uslov je [inlmath]x<\frac{1}{2}[/inlmath].

Pošto jedno od rešenja ova dva razmatrana podslučaja, [inlmath]x=-\frac{3}{2}[/inlmath], zadovoljava uslov [inlmath]x<\frac{1}{2}[/inlmath], njega usvajamo, dok drugo rešenje, [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath], taj uslov ne zadovoljava, pa ga odbacujemo. Dakle, slučaj [inlmath]\left.2\right)[/inlmath] će imati jedno rešenje, [inlmath]x=-\frac{3}{2}[/inlmath].

Konačna rešenja dobijamo kao uniju rešenja slučaja [inlmath]\left.1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left.2\right)[/inlmath], a to je
[dispmath]x\in\left\{-\frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{5}{2}\right\}[/dispmath]

Ono što se traži, a to je zbir ovih rešenja, biće
[dispmath]-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{3}{2}[/dispmath]