Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Clanovi niza – prijemni za ITM 2021/2022 – Masinski fakultet

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Clanovi niza – prijemni za ITM 2021/2022 – Masinski fakultet

Postod Zisti1912 » Sreda, 30. Jun 2021, 19:52

Pozdrav svima,

gledao sam zadatke sa danasnjeg prijemnog za Informacione tehnologije u masinstvu i bio je zadatak koji glasi:

Tri broja cija je suma [inlmath]93[/inlmath] predstavljaju uzastopne clanove geometrijske progresije. Ista ta tri broja predstavljaju prvi, drugi i sedmi clan aritmeticke progresije. Proizvod ta tri broja je:
Resenje: [inlmath]3375[/inlmath]

Nemam nikakvu ideju kako bi ovo moglo da se radi, pa sam odlucio vas da pitam.

Hvala unapred,
Zisti1912
 
Postovi: 33
Zahvalio se: 27 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Clanovi niza – prijemni za ITM 2021/2022 – Masinski fakultet

Postod Daniel » Sreda, 30. Jun 2021, 22:13

Neka su ta tri broja [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath]. Postaviš sistem jednačina:
  • Suma im je [inlmath]93[/inlmath], što znači [inlmath]a+b+c=93[/inlmath];
  • To su uzastopni članovi geometrijske progresije, tj. [inlmath]b^2=ac[/inlmath];
  • To su prvi, drugi i sedmi član aritmetičke progresije, tj. [inlmath]b=a+d[/inlmath] i [inlmath]c=a+6d[/inlmath].
Četiri jednačine, četiri nepoznate. Preostalo je još rešiti ovaj sistem, što ne bi trebalo da bude problem.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Clanovi niza – prijemni za ITM 2021/2022 – Masinski fakultet

Postod Zisti1912 » Sreda, 30. Jun 2021, 22:32

Cek sta, zbog cega je [inlmath]b^2=ac[/inlmath]? Da li je to neka formula za koju ne znam?
 
Postovi: 33
Zahvalio se: 27 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Clanovi niza – prijemni za ITM 2021/2022 – Masinski fakultet

Postod Kosinus » Sreda, 30. Jun 2021, 22:46

To važi zato što je u pitanju geometrijski niz, dakle svaki član (osim prvog) je geometrijska sredina njemu susjedna dva člana, dakle [inlmath]b=\sqrt{ab}[/inlmath]. Tako je geometrijski niz i dobio ime.
Korisnikov avatar
Kosinus  OFFLINE
 
Postovi: 42
Zahvalio se: 14 puta
Pohvaljen: 52 puta

Re: Clanovi niza – prijemni za ITM 2021/2022 – Masinski fakultet

Postod Zisti1912 » Sreda, 30. Jun 2021, 22:56

Ooooooooo, nisam znao. Korisna informacija. Hvala.

Reci mi da li postoji jos neka formula nalik toj za uzastopne clanove aritmetickog niza? Posto imam jos dva zadatka koje ne znam i planiram da pitam, ali bih hteo prvo sam da probam da ih resim.
 
Postovi: 33
Zahvalio se: 27 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Clanovi niza – prijemni za ITM 2021/2022 – Masinski fakultet

Postod miletrans » Sreda, 30. Jun 2021, 23:20

Da malkice generalizujem Kosinusovu priču... Ako imamo uzastopne članove geometrijskog niza [inlmath]b_1[/inlmath], [inlmath]b_2[/inlmath] i [inlmath]b_3[/inlmath], onda [inlmath]b_1[/inlmath] možemo da napišemo kao [inlmath]\frac{b_2}{q}[/inlmath], a [inlmath]b_3[/inlmath] kao [inlmath]b_2q[/inlmath]. I mislim da je onda jasan odnos koji je pomenuo Kosinus. Slično tome, pokušaj sam da zaključiš u kom su odnosu (recimo) peti, šesti i sedmi član? Ili, prvi, četvrti i sedmi? Uopšteno, [inlmath]n[/inlmath]-ti, [inlmath](n+k)[/inlmath]-ti i [inlmath](n+2k)[/inlmath]-ti član?

Analogno tome, posmatramo tri uzastopna člana aritmetičkog niza. Prvi pišemo kao [inlmath]a_2-d[/inlmath], treći kao [inlmath]a_2+d[/inlmath], i mislim da je jasno kakav je odnos [inlmath]a_1[/inlmath], [inlmath]a_2[/inlmath] i [inlmath]a_3[/inlmath]. Pa onda pokušaj sam da zaključiš opšti slučaj analogno geometrijskim nizovima.
Globalni moderator
 
Postovi: 601
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 692 puta

Re: Clanovi niza – prijemni za ITM 2021/2022 – Masinski fakultet

Postod Kosinus » Sreda, 30. Jun 2021, 23:25

Zisti1912 je napisao:Reci mi da li postoji jos neka formula nalik toj za uzastopne clanove aritmetickog niza? Posto imam jos dva zadatka koje ne znam i planiram da pitam, ali bih hteo prvo sam da probam da ih resim.

Ne znam šta ti nije poznato. Ako se možda u tim zadacima nešto radi oko interpolacije (umetanja) članova između dva broja tako da nastane geometrijski niz, onda vrijedi formula
[dispmath]q=\sqrt[\Large k+1]{\frac{a}{b}}[/dispmath] Gdje je [inlmath]q[/inlmath] - količnik geometrijskog niza, [inlmath]k[/inlmath] - broj interpoliranih članova između prvog broja [inlmath]a[/inlmath] i drugog broja [inlmath]b[/inlmath].
Korisnikov avatar
Kosinus  OFFLINE
 
Postovi: 42
Zahvalio se: 14 puta
Pohvaljen: 52 puta

Re: Clanovi niza – prijemni za ITM 2021/2022 – Masinski fakultet

Postod milan7654 » Petak, 15. April 2022, 17:23

- Pozdrav, ja sam radio na drugačiji način hteo bi samo da proverim da li sam dobro formule postavio:
[dispmath]a_1+a_2+a_3=93\\
a_2=a_1+d\\
a_3=a_1+6d\\
a_2=a_1q\\
a_3=a_1q^2[/dispmath] - I sad:
[dispmath]a_1q=a_1+d\\
a_1(q-1)=d[/dispmath][dispmath]a_1q^2=a_1+6d\\
a_1\left(q^2-1\right)=6d[/dispmath] - Pa se dobija:
[dispmath]\frac{d}{q-1}=\frac{6d}{q^2-1}[/dispmath] - Kada se ovo reši za [inlmath]q[/inlmath] dobija se kvadratna
[dispmath]q^2-6q+5=0[/dispmath] - Njena rešenja su [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath], ali ne može biti [inlmath]1[/inlmath] jer se ne poklapa sa uslovom zadatka tako da je rešenje:
[dispmath]q=5[/dispmath]
- I na kraju sam posle lako našao brojeve a to su [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]15[/inlmath] i [inlmath]75[/inlmath]
 
Postovi: 49
Zahvalio se: 26 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Clanovi niza – prijemni za ITM 2021/2022 – Masinski fakultet

Postod Daniel » Subota, 16. April 2022, 16:17

^ Sve ispravno, odlično i elegantno rešenje. :thumbup:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 27 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 23:41 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs