Zadatak glasi: Detaljno objasni zašto je nemoguće imati niz koji sadrži beskonačan broj dvojki, koji konverguje ka vrednosti koja nije [inlmath]2[/inlmath].
Ovako sam ja pristupio rešavanju zadatka:
Neka je [inlmath]\varepsilon>0[/inlmath]. Pretpostavimo da je [inlmath]a_n[/inlmath] niz sa beskonačno mnogo dvojki, koji konverguje ka broju [inlmath]a\ne2[/inlmath]. Po definiciji konvergencije niza, znamo da postoji neko [inlmath]N_\varepsilon[/inlmath] takvo da kada je [inlmath]n>N_\varepsilon[/inlmath] imamo da je [inlmath]|a_n-a|<\varepsilon[/inlmath]. Pošto niz [inlmath]a_n[/inlmath] ima beskonačno mnogo dvojki, neka je [inlmath]a_n=2[/inlmath].
Dakle, [inlmath]|2-a|<\varepsilon[/inlmath]. Međutim, [inlmath]a_n[/inlmath] će se približiti svojoj graničnoj vrednosti [inlmath]a[/inlmath], što znači da [inlmath]2-a\approx0[/inlmath]. Dakle, dobijam da je [inlmath]a\approx[/inlmath] i stižem do kontradikcije.
Profesor mi je rekao da ,,imam dobar pristup", ali da bi bilo bolje da kada budem ispisivao formalan dokaz da krenem od pretpostake da niz konvergira ka nekoj vrednosti [inlmath]a[/inlmath] koja nije [inlmath]2[/inlmath]. Zatim da iz toga zaključim da je [inlmath]|a-2|>0[/inlmath]. Nakon toga mi je rekao da ,,razmislim" o definiciji konvergencije niza (Za bilo koji [inlmath]\varepsilon>0[/inlmath], možemo naći neko [inlmath]N[/inlmath] takvo da kada je [inlmath]n>N[/inlmath] proizilazi da je [inlmath]|a_n-a|<\varepsilon)[/inlmath] i da pokušam da otkrijem kako mi to može pomoći u rešavanju problema.
Međutim, ja iskreno razumem samo način na koji sam prvobitno pristupio zadatku, i nije mi uopšte jasno kako bih mogao da napišem dokaz na osnovu stvari koje mi je profesor rekao.