Ćao svima! Interesuje da li bi neko mogao da mi pomogne oko jednog zadatka? Zadatak se sastoji iz četiri dela, i za svaki deo sam napisao svoje rešenje. Međutim, plašim se da nisam dovoljno precizan u nekim delovima (pogotovo u tvrdnji pod c))...
Za svaku od sledećih tvrdnji, daj odgovarajući primer ili dokaži zašto je nemoguće dati primer za tu tvrdnju:
a) Košijev niz koji sadrži podniz koji nije ograničen.
Moje rešenje: Tvrdnja je netačna.
Na osnovu Košijevog kriterijuma konvergencije, znamo da je Košijev niz [inlmath](x_n)[/inlmath] konvergentan.
Mi takođe znamo da svaki podniz konvergentnog niza konvergira ga istoj graničnoj vrednosti kao i niz.
Pošto je niz [inlmath](x_{n})[/inlmath] konvergentan, svaki podniz tog niza je ograničen.
Dakle, pošto su konvergentni nizovi ograničeni, onda su i svi podnizovi ograničeni.
b) Košijev niz koji nije monoton.
Moje rešenje: Tvrdnja je tačna.
Na primer: [inlmath](1, -\frac{1}{2}[/inlmath], [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath], [inlmath]-\frac{1}{4}[/inlmath], [inlmath]\frac{1}{5}[/inlmath], [inlmath]-\frac{1}{6}[/inlmath], [inlmath]\frac{1}{7}[/inlmath], [inlmath]-\frac{1}{8}, ...)[/inlmath]
c) Monotoni niz koji je divergentan i koji sadrži Košijev podniz.
Moje rešenje: Tvrdnja nije tačna.
Monotoni niz koji divergira nije ogranićen. Niz koji je monoton i nije ograničeni ne sadrži konvergentan podniz.
d) Niz koji nije ograničen, ali koji sadrži Košijev podniz.
Moje rešenje: Tvrdnja je tačna.
Na primer: [inlmath](1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, ..., 1, n, ...)[/inlmath] je neograničen niz koji sadrži Košijev podniz [inlmath](1, 1, 1, 1, 1, ...).[/inlmath]