Ćaos! Ja se izvinjavam, 100% kasnim, ali naišla sam na ovaj zadatak i bio mi je jako lep, pa sam ga sada uradila.
Znači, glavni ti je fazon odnos stranica koji si dobio na početku. Znaš da ti je [inlmath]CC'=\frac{AB}{3}[/inlmath], što ti je bitno i to prenosiš i na stranicu [inlmath]AB[/inlmath], zbog polovine kvadrata koju imaš u trouglu ([inlmath]\triangle ACC'[/inlmath]). Sada dopunom do kvadrata ili preko trigonometrijskih funkcija dolaziš do toga da je:
[dispmath]CC'=AC'\;\Longrightarrow\;AC=\frac{AB\sqrt2}{3},[/dispmath] jer je [inlmath]AC[/inlmath] dijagonala kvadrata, a takođe znamo da je i [inlmath]CC'=AC'=\frac{AB}{3}[/inlmath]. Dalje, imaš da ti je [inlmath]C'C_1=AC_1-AC'=\frac{AB}{6}[/inlmath]. Odatle preko Pitagorine teoreme dolaziš do toga da je [inlmath]CC_1=\frac{AB\sqrt5}{6}[/inlmath]. Kraj se već nazire, jedan deo je gotov
.
Što se tiče izražavanja stranice [inlmath]AA_1[/inlmath], malo je zapetljanije, ali opet izvodivo
. Trebaš povući normalu iz [inlmath]A_1[/inlmath] na stranicu [inlmath]AB[/inlmath]. Ja ću svoju lično imenovati sa [inlmath]P[/inlmath]. Sada gledaš dva trougla: [inlmath]\triangle CC'B\sim\triangle A_1PB[/inlmath], po stavu [inlmath]UUU[/inlmath]. Preko te sličnosti dolaziš do toga da je:
[dispmath]\frac{CC'}{A_1P}=\frac{CB}{A_1B}=\frac{C'B}{BP}\;\Longrightarrow\;A_1P=\frac{AB}{6}[/dispmath] i, koristeći istu sličnost, na bukvalno isti način, dolazimo do toga da je [inlmath]PB=\frac{AB}{3}\;\Longrightarrow\;AB-PB=AP=\frac{2AB}{3}[/inlmath]. Dalje Pitagorinom teoremom dobijaš vrednost za stranicu [inlmath]AA_1=\frac{AB\sqrt{17}}{6}[/inlmath].
Najzad, kada smo dobili obe stranice, samo podelimo vrednosti za [inlmath]AA_1[/inlmath] i [inlmath]CC_1[/inlmath] i time završavamo zadatak!
[dispmath]AA_1:CC_1=\sqrt{17}:\sqrt5[/dispmath]
Nadam se da je ovo (nekome) od pomoći i da nisam prekršila neko pravilo grupe!