U skupu prirodnih brojeva rešiti jednačinu
[inlmath]n^4+n^3+n^2+n+1=x^2[/inlmath]
ekvivalentno je sa jednačinom
[inlmath]4(n^4+n^3+n^2+n+1)=(2x)^2[/inlmath]
Slučajeve [inlmath]n=1[/inlmath] i [inlmath]n=2[/inlmath] proverom eliminišeš i ostaju slučajevi [inlmath]n≥3[/inlmath]. Dalje je:
[inlmath](2n^2+n)^2+(3n^2+4n+4)=4(n^4+n^3+n^2+n+1)=(2n^2+n+1)^2-(n^2-2n-3)[/inlmath]
Radi jednostavnijeg zapisa neka je [inlmath]a=(2n^2+n)[/inlmath] i onda poslednja jednakost glasi:
[inlmath]a^2+(3n^2+4n+4)=(2x)^2=(a+1)^2-(n^2-2n-3)[/inlmath]
Kako je [inlmath]n≥3[/inlmath] to je [inlmath]3n^2+4n+4>0[/inlmath] i [inlmath]n^2-2n-3≥0[/inlmath], pa je:
[inlmath]a^2<(2x)^2≤(a+1)^2[/inlmath]
Kako su u pitanju prirodni brojevi to je
[inlmath](2x)^2=(a+1)^2[/inlmath]
za neko [inlmath]n[/inlmath], a tada je [inlmath]n^2-2n-3=0[/inlmath]. Rešenja poslednje jednačine su [inlmath]n=-1[/inlmath] i [inlmath]n=3[/inlmath]. Prvo otpada jer [inlmath]n∈N[/inlmath]. Dakle,
[inlmath]3^4+3^3+3^2+3+1=11^2[/inlmath]