Imaš dobrodošlicu i od mene.
Evo mog načina za [inlmath]8.[/inlmath] zadatak:
johnnybgood je napisao:Data je matrica [inlmath]A[/inlmath]. Pokazati da je [inlmath]A^3=3^2\cdot A[/inlmath].
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
2 & -1 & -1\\
-1 & 2 & -1\\
-1 & -1 & 2
\end{bmatrix}[/dispmath]
Prvo nađemo [inlmath]A^2[/inlmath]:
[dispmath]A^2=A\cdot A=\left[\begin{matrix}
2 & -1 & -1 \\
-1 & 2 & -1 \\
-1 & -1 & 2
\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
2 & -1 & -1 \\
-1 & 2 & -1 \\
-1 & -1 & 2
\end{matrix}\right]=[/dispmath]
[dispmath]=\left[\begin{matrix}
2\cdot 2+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right) & 2\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot 2+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right) & 2\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot 2 \\
\left(-1\right)\cdot 2+2\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right) & \left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+2\cdot 2+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right) & \left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+2\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot 2 \\
\left(-1\right)\cdot 2+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+2\cdot\left(-1\right) & \left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot 2+2\cdot\left(-1\right) & \left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+2\cdot 2
\end{matrix}\right]=[/dispmath]
[dispmath]=\left[\begin{matrix}
6 & -3 & -3 \\
-3 & 6 & -3 \\
-3 & -3 & 6
\end{matrix}\right][/dispmath]
Sada, da bi dobio [inlmath]A^3[/inlmath], jedan način je da ovo [inlmath]A^2[/inlmath] pomnožiš sa [inlmath]A[/inlmath]:
[dispmath]A^3=A^2\cdot A=\left[\begin{matrix}
6 & -3 & -3 \\
-3 & 6 & -3 \\
-3 & -3 & 6
\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
2 & -1 & -1 \\
-1 & 2 & -1 \\
-1 & -1 & 2
\end{matrix}\right]=\cdots[/dispmath]
ali drugi, elegantniji način je da uočiš sledeće:
[dispmath]A^2=\left[\begin{matrix}
6 & -3 & -3 \\
-3 & 6 & -3 \\
-3 & -3 & 6
\end{matrix}\right]=3\cdot\left[\begin{matrix}
2 & -1 & -1 \\
-1 & 2 & -1 \\
-1 & -1 & 2
\end{matrix}\right]=3\cdot A[/dispmath]
Odatle možeš vrlo lako izračunati [inlmath]A^3[/inlmath]:
[dispmath]A^3=A^2\cdot A=\left(3\cdot A\right)\cdot A=3\cdot\left(A\cdot A\right)=3\cdot A^2=3\cdot\left(3\cdot A\right)=\left(3\cdot 3\right)\cdot A=3^2\cdot A[/dispmath]