Red [inlmath]\sum\left[2+(-1)^n\frac{1}{n^2}\right][/inlmath] možemo predstaviti kao zbir sledeća dva reda: [inlmath]\sum 2+\sum(-1)^n\frac{1}{n^2}[/inlmath]
Red [inlmath]\sum 2[/inlmath] divergira (jer nije ispunjen potreban uslov za konvergenciju, da opšti član teži nuli), dok red [inlmath]\sum(-1)^n\frac{1}{n^2}[/inlmath] konvergira, prema Lajbnicovom kriterijumu (on čak i apsolutno konvergira). Njihov zbir je, prema tome, red koji divergira.

---

Može i preko [inlmath]I[/inlmath] kriterijuma upoređivanja:
Red [inlmath]\sum\left[2+(-1)^n\frac{1}{n^2}\right][/inlmath] se može napisati kao [inlmath]\sum 1+\sum\left[1+(-1)^n\frac{1}{n^2}\right][/inlmath]. Oba sabirka su redovi s pozitivnim članovima, dakle, i njihov zbir je red s pozitivnim članovima, pa se na njih može primeniti [inlmath]I[/inlmath] kriterijum upoređivanja. Pošto za svako [inlmath]n\ge 1[/inlmath] važi da je [inlmath]1+(-1)^n\frac{1}{n^2}\ge 0[/inlmath], tada je:
[dispmath]2+(-1)^n\frac{1}{n^2}=1+\left[1+(-1)^n\frac{1}{n^2}\right]\ge 1+0=1[/dispmath]
Pošto red [inlmath]\sum 1[/inlmath] divergira (nije ispunjen potreban uslov za konvergenciju, da opšti član teži nuli), a pokazano je da je opšti član reda [inlmath]\sum\left[2+(-1)^n\frac{1}{n^2}\right][/inlmath] veći ili jednak od opšteg člana reda [inlmath]\sum 1[/inlmath], iz toga sledi, prema [inlmath]I[/inlmath] kriterijumu upoređivanja, da divergira i red [inlmath]\sum\left[2+(-1)^n\frac{1}{n^2}\right][/inlmath].

Recimo sta je sa ovim redom [inlmath]z_n:=z_0^n[/inlmath], ako je [inlmath]z_0:=\frac{\sqrt 5}{3}+\frac{2i}{3}[/inlmath]? Da li on konvergira ili divergira i kako?

Divergira, jer, kada njegov opšti član transformišeš u trigonometrijski oblik, dobićeš da mu je moduo jednak jedinici. Prema tome, nije ispunjen neophodan uslov za konvergenciju reda, da mu opšti član teži nuli.

Članovi ovog reda predstavljaju kompleksne brojeve koji se u kompleksnoj ravni nalaze na kružnici radijusa [inlmath]1[/inlmath] s centrom u koordinatnom početku. S porastom [inlmath]n[/inlmath], članovi tog reda non-stop „kruže“ po toj kružnici i tako do u beskonačnost.
Realni i imaginarni delovi ovih brojeva opisuju kosinusoidu, odnosno sinusoidu u zavisnosti od [inlmath]n[/inlmath].

Hvala ti mnogo.

Malo pomoci oko ovog zadatka i konvergencije
[dispmath]x_n:=\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{1}{i}\right)^\frac{1}{3}[/dispmath]
Slabo iskustvo imam sa sumama

Svaki član ovog reda, zapravo, predstavlja parcijalnu sumu jednog drugog reda, čiji je opšti član zadat izrazom
[dispmath]a_n=\left(\frac{1}{n}\right)^\frac{1}{3}[/dispmath]
Za taj red se može dokazati da divergira, prema [inlmath]I[/inlmath] kriterijumu upoređivanja:
[dispmath]\left(\frac{1}{n}\right)^\frac{1}{3}=\frac{1}{\sqrt[3]n}>\frac{1}{n}[/dispmath]
Pošto je poznato da red [inlmath]\sum\frac{1}{n}[/inlmath] divergira, sledi da red [inlmath]\sum\left(\frac{1}{n}\right)^\frac{1}{3}[/inlmath], čiji je opšti član veći od opšteg člana reda [inlmath]\sum\frac{1}{n}[/inlmath], takođe divergira.

Pošto red [inlmath]\sum\left(\frac{1}{n}\right)^\frac{1}{3}[/inlmath] divergira, sledi da njegove parcijalne sume [inlmath]\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{1}{i}\right)^\frac{1}{3}[/inlmath] ne teže nuli, što znači da ni opšti član zadatog reda, koji je upravo jednak [inlmath]\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{1}{i}\right)^\frac{1}{3}[/inlmath], ne teži nuli, a što je neophodan uslov za konvergenciju reda. Prema tome, zadati red divergira.

A kako da odredim u ovome kada imam proizvod u imeniocu? To sve razdvojiti ili kako? Mada sa ovim sumama sam donji
[dispmath]a_n:=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)}[/dispmath]
Ako moze postupak resavanja

Čekaj, jesi li siguran da suma figuriše unutar opšteg člana reda [inlmath]a_n[/inlmath]?
Ovako kako je napisano, značilo bi da red glasi
[dispmath]\sum_{n=1}^\infty a_n=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}[/dispmath]
tj. u samom redu bi figurisala dvostruka suma.

Ili je, možda, [inlmath]a_n=\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}[/inlmath] (bez sume), a red [inlmath]\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}[/inlmath] To mi se čini logičnije.

Isto pitanje važi i za prethodni zadatak.

Ne. Bas tako kako sam napisao.

U tom slučaju, opšti član [inlmath]a_n[/inlmath] predstavlja sumu čiji je prvi član jednak [inlmath]\frac{1}{6}[/inlmath], a ostali članovi te sume su pozitivni [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] opšti član [inlmath]a_n[/inlmath] nije manji od [inlmath]\frac{1}{6}[/inlmath] [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] opšti član [inlmath]a_n[/inlmath] ne teži nuli [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] red divergira.

Sad vidim da je i u prethodnom zadatku bilo sasvim dovoljno da se samo tako napiše (tako da je onaj moj postupak bio suvišan), s tom razlikom što je u prošlom zadatku opšti član predstavljao sumu čiji je prvi član bio jednak jedinici.