blake je napisao:

Daniel je napisao:(...)
Ovaj slučaj nema rešenja.

Je li razlog k tome šta se trebaju sijeći,a ne sijeku se?

Da, upravo je to razlog.

blake je napisao:Jer bi ja tu stavia [inlmath]x\in\left<-\infty,-\frac{1}{2}\right]\cup\left<1,+\infty\right>[/inlmath]

A, pa ne smeš nikako staviti uniju ako smo imali konjunkciju (tj. znak [inlmath]\land[/inlmath]).
Konjunkciji (znaku [inlmath]\land[/inlmath]) odgovara presek (kao u ovom slučaju), a disjunkciji (znaku [inlmath]\lor[/inlmath]) odgovara unija.

Ovo mi stvarno loše ide

1. Skup rješenja nejednadžbe [dispmath]\frac{2x-1}{x^2-1}\ge 1[/dispmath] je:
prvo šta postavim tu je da u nazivniku [inlmath]x^2-1\ne 0\;\Rightarrow\;x\ne 1[/inlmath]
Pa sam [inlmath]1[/inlmath] premistia na livu stranu ali sve to neću pisat jer mi ne ispada rj: [inlmath]x\in\left<-\infty,0\right>\cup\left<1,2\right>[/inlmath]


2. Ako je uređeni par [inlmath](x,y)[/inlmath] rješenje jednadžbi: [inlmath]2x+y-1=0[/inlmath] i [inlmath]x-y+a=0[/inlmath]
tada je [inlmath]|x-y|<3[/inlmath] za svaki [inlmath]a[/inlmath] iz intervala:

Treba dobiti [inlmath]\left<-3,3\right>[/inlmath]

blake je napisao:prvo šta postavim tu je da u nazivniku [inlmath]x^2-1\ne 0\;\Rightarrow\;x\ne 1[/inlmath]

To je OK.

blake je napisao:Pa sam [inlmath]1[/inlmath] premistia na livu stranu

Pa ne, ne premeštaš [inlmath]1[/inlmath] na levu stranu, što bi to činio? Mislim, možeš, ali je to nepotrebno komplikovanje. Jednostavnije je imenilac [inlmath]\left(x^2-1\right)[/inlmath] premestiti na desnu stranu, samo prethodno moramo da diskutujemo slučajeve kada je imenilac negativan i kada je pozitivan.

blake je napisao:jer mi ne ispada rj: [inlmath]x\in\left<-\infty,0\right>\cup\left<1,2\right>[/inlmath]

To i nije tačno rešenje, a evo ti i kontraprimer: za [inlmath]x=-2[/inlmath], što je slučaj koji zadovoljava to rešenje koje si napisao, ako tu vrednost uvrstimo u nejednačinu, dobijemo da ona nije zadovoljena.
Rešenje koje treba da se dobije je [inlmath]x\in\left(-1,0\right]\cup\left(1,2\right][/inlmath]. Da li to rešenje i ti dobiješ?

blake je napisao:2. Ako je uređeni par [inlmath](x,y)[/inlmath] rješenje jednadžbi: [inlmath]2x+y-1=0[/inlmath] i [inlmath]x-y+a=0[/inlmath]
tada je [inlmath]|x-y|<3[/inlmath] za svaki [inlmath]a[/inlmath] iz intervala:

Treba dobiti [inlmath]\left<-3,3\right>[/inlmath]

Prvo nađeš rešenja ovog sistema jednačina, mislim da to nije problem.
Ako te dve jednačine sabereš, dobićeš [inlmath]3x-1+a=0[/inlmath], tj. [inlmath]x=\frac{1-a}{3}[/inlmath].
Sada [inlmath]y[/inlmath] možeš naći ili tako što ćeš dobijenu vrednost [inlmath]x[/inlmath] uvrstiti u jednu od jednačina, ili tako što ćeš od prve jednačine oduzeti drugu jednačinu pomnoženu sa [inlmath]2[/inlmath]. Dobije se [inlmath]y=\frac{1+2a}{3}[/inlmath].
Pa kad smo odredili [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] u zavisnosti od [inlmath]a[/inlmath], nejednakost postaje:
[dispmath]\left|x-y\right|<3[/dispmath]
[dispmath]\left|\frac{1-a}{3}-\frac{1+2a}{3}\right|<3[/dispmath]
[dispmath]\left|\frac{-3a}{3}\right|<3[/dispmath]
[dispmath]\left|\left(-1\right)\cdot a\right|<3[/dispmath]
[dispmath]\left|\left(-1\right)\right|\cdot\left|a\right|<3[/dispmath]
[dispmath]\left|a\right|<3[/dispmath]
Intuitivno je jasno da je rešenje ove nejednačine [inlmath]-3<a<3[/inlmath], tj. [inlmath]a\in\left(-3,3\right)[/inlmath]. Međutim, ukoliko se striktno traži da se to odradi postupno, evo i postupka:

slučaj [inlmath]\left.1\right)\quad a<0\quad\Rightarrow\quad\left|a\right|=-a[/inlmath]
[dispmath]-a<3[/dispmath]
[dispmath]a>-3[/dispmath]
što u preseku s pretpostavkom [inlmath]a<0[/inlmath] daje [inlmath]-3<a<0[/inlmath] i to je rešenje slučaja [inlmath]\left.1\right)[/inlmath]

slučaj [inlmath]\left.2\right)\quad a\ge 0\quad\Rightarrow\quad\left|a\right|=a[/inlmath]
[dispmath]a<3[/dispmath]
što u preseku s pretpostavkom [inlmath]a\ge 0[/inlmath] daje [inlmath]0\le a<3[/inlmath] i to je rešenje slučaja [inlmath]\left.2\right)[/inlmath]

Konačno rešenje dobijamo kao uniju rešenja ova dva slučaja, tj. [inlmath]-3<a<0\:\lor\: 0\le a<3[/inlmath], a to je [inlmath]-3<a<3[/inlmath], tj. [inlmath]a\in\left(-3,3\right)[/inlmath].

Daniel je napisao:

blake je napisao:prvo šta postavim tu je da u nazivniku [inlmath]x^2-1\ne 0\;\Rightarrow\;x\ne 1[/inlmath]

To je OK.

Ček malo... Nije OK!
Sad pogledah ponovo i ne znam kako mi je malopre promaklo, ali iz [inlmath]x^2-1\not=0[/inlmath] ne sledi samo [inlmath]x\ne 1[/inlmath], već i [inlmath]x\ne -1[/inlmath].

U vezi 1.
Krivo prepisano rješenje*
Piše točno tako kako si ti napisa...
[dispmath]\frac{2x-1}{x^2-1}\ge 1[/dispmath]
1. slučaj
[dispmath]x^2-1>0[/dispmath]
[dispmath]x^2>1[/dispmath]
[dispmath]\underline{x\in\mathbb{R}\setminus [-1,1]}[/dispmath]
Množim cijelu nejednadžbu s [inlmath]x^2-1[/inlmath]
[dispmath]2x-1\ge x^2-1[/dispmath]
[dispmath]2x-x^2\ge 0[/dispmath]
[dispmath]x(2-x)\ge 0[/dispmath]
[dispmath]\underline{x\ge 0}\qquad\mbox{i}\qquad -x\ge -2\;\Rightarrow\;\underline{x\le 2}[/dispmath]
Pa stavim da je rješenje presjek ova dva dobivena [inlmath]x[/inlmath]-a s tim da izostavim brojeve iz intervala [inlmath][-1,1][/inlmath]
[inlmath]x\in\left<1,2\right][/inlmath]

2. slučaj
[dispmath]x^2-1<0[/dispmath]
[dispmath]x^2<1[/dispmath]
[dispmath]\underline{x\in\left<-1,1\right>}[/dispmath]
Radi neg. vrijednosti faktora s kojim množim mijenja se znak nejednadžbe
[dispmath]2x-1\le x^2-1[/dispmath]
[dispmath]2x-x^2\le 0[/dispmath]
[dispmath]x(2-x)\le 0[/dispmath]
[dispmath]\underline{x\le 0}\qquad\mbox{i}\qquad -x\le -2\;\Rightarrow\;\underline{x\ge 2}[/dispmath]
Presjek ova dva [inlmath]x[/inlmath]-a ne postoji, ali dio jednog od njih je unutar intervala [inlmath]\left<-1,1\right>[/inlmath] koji stoji kao uvjet 2. slučaja
Pa će rješenje bit [inlmath]x\in\left<-1,0\right][/inlmath]

Skup ili unija 1. i 2. slučaja će bit [inlmath]x\in\left<-1,0\right]\cup\left<1,2\right][/inlmath]

Sad sam dobia to rješenje, ali me opet buni kako sam ovo napisa pošto u je u prvom slučaja rješenje presjek koji zadovoljava uvjet, a u drugom nema presjeka, ali svejedno imamo rješenje unutar uvjeta
A možda je sve krivo i stvarno je kasno

Do ovog dela je u redu:

blake je napisao:[dispmath]x(2-x)\ge 0[/dispmath]
[dispmath]\underline{x\ge 0}\qquad\mbox{i}\qquad -x\ge -2\;\Rightarrow\;\underline{x\le 2}[/dispmath]

Ali ovde si prevideo da su moguća dva slučaja (kad su oba faktora pozitivna ili oba negativna), a ti si analizirao samo jedan (kad su oba pozitivna).
1. slučaj: [inlmath]x\ge 0\quad\land\quad 2-x\ge 0\quad[/inlmath] (taj slučaj si ti razmatrao)
2. slučaj: [inlmath]x\le 0\quad\land\quad 2-x\le 0\quad[/inlmath] (ovaj slučaj si izostavio; za taj slučaj bi se, ovom prilikom, dobilo da nema rešenja, ali svejedno, uvek mora sve to da se proveri)

A u drugom slučaju,

blake je napisao:[dispmath]x(2-x)\le 0[/dispmath]
[dispmath]\underline{x\le 0}\qquad\mbox{i}\qquad -x\le -2\;\Rightarrow\;\underline{x\ge 2}[/dispmath]

napravio si grešku postavljajući oba faktora da su manji od nule. Kao što sam i napisao kod 1. slučaja, kad su oba faktora negativna, njihov proizvod će biti pozitivan. Uslov da bi proizvod bio negativan (ono što nama ovde treba) jeste taj, da jedan faktor bude negativan, a drugi pozitivan. Znači, ovde treba razmatrati sledeća dva slučaja:
1. slučaj: [inlmath]x\ge 0\quad\land\quad 2-x\le 0\quad[/inlmath]
2. slučaj: [inlmath]x\le 0\quad\land\quad 2-x\ge 0\quad[/inlmath]

blake je napisao:Presjek ova dva [inlmath]x[/inlmath]-a ne postoji, ali dio jednog od njih je unutar intervala [inlmath]\left<-1,1\right>[/inlmath] koji stoji kao uvjet 2. slučaja
Pa će rješenje bit [inlmath]x\in\left<-1,0\right][/inlmath]

Ne! Da sad zanemarimo to što je zbog prethodnih grešaka ovde dobijen pogrešan međurezultat, ali ovakav rezon ni inače nije ispravan. Ako ovaj presek ne postoji, tj. ako je prazan skup, onda nema šta dalje da tražimo njegov presek s intervalom koji imamo kao uslov 2. slučaja. Presek praznog skupa i bilo kog skupa je uvek prazan skup.
Ili, da kažem to ovako: prvo tražiš presek ta dva rešenja koja si dobio, pa tek kad si našao taj presek, onda tražiš presek tog njihovog preseka s intervalom koji imamo kao uslov.

blake je napisao:Skup ili unija 1. i 2. slučaja će bit [inlmath]x\in\left<-1,0\right]\cup\left<1,2\right][/inlmath]

Sad sam dobia to rješenje, ali me opet buni kako sam ovo napisa pošto u je u prvom slučaja rješenje presjek koji zadovoljava uvjet, a u drugom nema presjeka, ali svejedno imamo rješenje unutar uvjeta

Pa eto, i sam si primetio da u tom rezonu nešto „ne štima“, upravo ovo što sam ti malopre napomenuo.

blake je napisao:A možda je sve krivo i stvarno je kasno

Ili je rano. Kako kome.

Ja već imam urađen kompletan ovaj zadatak u Latex-u, od samog početka, do samog kraja, i zaista mi nije problem da ga ovde paste-ujem. I, ako hoćeš, učiniću to. Ali ti zaista preporučujem da prvo pokušaš da se sâm „izboriš“ s njim, uz ove ispravke koje sam ti sad napisao.

Ma šta ćeš mi stavljat zadatak kad si mi sad sve već napisa. Dobro je, rješen je zadatak sad kad sam doda još ta 2 uvjeta...

Grešku koju sam napravia je da [inlmath]x^2-1\ne 0\;\Rightarrow\;x\ne 1[/inlmath] jer bi korjenova jedinicu, a to si mi već reka da ne smim i prije; kvadratna funkcija i kvadratni korjen nisu inverzni pa je točno rješenje [dispmath]x\ne\pm 1[/dispmath]
Kasnije nisam ni sve uvjete dobro napisa i eto, ja i nejednadžbe

Osim toga bunilo me sve ovo jer je pravilo kad se nejednadžbe javljaju u modulima i kad imamo više podslučaja unutar jednog slučaja; tada jednom u podslučaju obuhvatimo sa znakom nejednakosti iznos dok u drugom ne...U ovom zadatku u uvjetima očito se sve obuhvaća...Osim na početku kad se strogo ne obuhvaća jer je nazivnik samo veći ili samo manji od [inlmath]0[/inlmath]...

Hvala i pozdrav!

blake je napisao:Grešku koju sam napravia je da [inlmath]x^2-1\ne 0\;\Rightarrow\;x\ne 1[/inlmath] jer bi korjenova jedinicu, a to si mi već reka da ne smim i prije;

Ja ti rekô da ne smeš korenovati jedinicu? Nešto se onda tu nismo razumeli.
Dakle, detaljan postupak je
[dispmath]x^2-1\ne 0\quad\Rightarrow\quad x^2\ne 1\quad\Rightarrow\quad\sqrt{x^2}\ne\sqrt 1\quad\Rightarrow\quad\left|x\right|\ne 1\quad\Rightarrow\quad x\ne\pm 1[/dispmath]

blake je napisao:tada jednom u podslučaju obuhvatimo sa znakom nejednakosti iznos dok u drugom ne...

Verovatno si hteo reći – sa znakom jednakosti?
Bitno je da jednakost bude obuhvaćena bar jednom, mada nije greška ni ako bude obuhvaćena oba puta. Greška je ako uopšte nije obuhvaćena nijednim slučajem.

blake je napisao:Osim toga bunilo me sve ovo jer je pravilo kad se nejednadžbe javljaju u modulima i kad imamo više podslučaja unutar jednog slučaja; tada jednom u podslučaju obuhvatimo sa znakom nejednakosti iznos dok u drugom ne...U ovom zadatku u uvjetima očito se sve obuhvaća...Osim na početku kad se strogo ne obuhvaća jer je nazivnik samo veći ili samo manji od [inlmath]0[/inlmath]...

Hteo bih ovaj deo još malo da prokomentarišem (ako sam dobro razumeo šta želiš da pitaš, a i ako nisam, opet nije na odmet da ovo naglasim...)

Kad se u nejednačini (pa i u jednačini) pojavljuje modul, npr.

[inlmath]\left|x-3\right|\le x+5[/inlmath]

tada posmatramo dva slučaja – kada je veličina pod modulom pozitivna i kada je negativna. Slučaj kada je veličina pod modulom jednaka nuli obuhvatamo jednim od ta dva slučaja (nije velika greška i ako jednakost s nulom obuhvatimo s oba slučaja, ali je suvišno). Znači, posmatramo slučajeve:

[inlmath]\left.1\right)\quad x-3\ge 0[/inlmath]
[inlmath]\left.2\right)\quad x-3<0[/inlmath]

Da smo jednakost obuhvatili s oba slučaja, to bi izgledalo ovako:

[inlmath]\left.1\right)\quad x-3\ge 0[/inlmath]
[inlmath]\left.2\right)\quad x-3\le0[/inlmath]

i to, dakle, nije greška, ali je nepotrebno. Ali, greška bi bila da jednakost nismo obuhvatili nijednim slučajem.


To je bilo što se tiče modula.
Međutim, nešto je drugačija priča kad imamo oblik tipa

[inlmath]\left(x-2\right)\left(x+3\right)\le 0[/inlmath]

Kao što znamo, proizvod dva broja će biti negativan ako i samo ako je jedan od ta dva broja pozitivan, a drugi negativan. Međutim, ovde proizvod može biti i jednak nuli, pa jednakost moramo obuhvatiti razmatranim slučajevima. Proizvod će biti jednak nuli onda kada je bar jedan od faktora jednak nuli.
E, ovde jednakost moramo obuhvatiti u svim razmatranim slučajevima. Jer, ako bismo (pogrešno) postavili uslove

[inlmath]\left.1\right)\quad x-2\ge 0\quad\land\quad x+3<0[/inlmath]
[inlmath]\left.2\right)\quad x-2<0\quad\land\quad x+3\ge 0[/inlmath]

dobili bismo sledeća rešenja:

[inlmath]\left.1\right)\quad x\ge 2\quad\land\quad x<-3\quad\Rightarrow\quad[/inlmath] nema rešenja
[inlmath]\left.2\right)\quad x<2\quad\land\quad x\ge -3\quad\Rightarrow\quad -3\le x<2[/inlmath]

Slučaj [inlmath]x=2[/inlmath] ne bi bio obuhvaćen rešenjem koje smo dobili, iako je očigledno da bi za slučaj [inlmath]x=2[/inlmath] posmatrana nejednačina bila zadovoljena. Dakle, rešenje koje smo na ovaj način dobili nije kompletno.

Prema tome, jednakost mora biti obuhvaćena svim posmatranim slučajevima:

[inlmath]\left.1\right)\quad x-2\ge 0\quad\land\quad x+3\le 0[/inlmath]
[inlmath]\left.2\right)\quad x-2\le 0\quad\land\quad x+3\ge 0[/inlmath]

i u tom slučaju bismo dobili ispravno rešenje, tj. [inlmath]-3\le x\le 2[/inlmath]