Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Jednacina tg(x/2) ETF 2010.

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Jednacina tg(x/2) ETF 2010.

Postod Jocaynwa » Nedelja, 29. Jun 2014, 20:14

Kaze,
ako je [inlmath]\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\frac{a}{b}}[/inlmath],onda je [inlmath]\sin x=?[/inlmath]
Resenje je [inlmath]\sin x=\frac{b-a}{a+b}[/inlmath]
Pokusavao sam,ali ne skrati mi se neki koren.
Znamo da je [inlmath]\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}=1[/inlmath],pa kad zamenimo vrednosti adicionu formulu za tangens dobijemo sledece
[dispmath]\frac{1-\mathrm{tg}\frac{x}{2}}{1+\mathrm{tg}\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{a}{b}}[/dispmath]
Kvadriramo obe strane
[dispmath]\frac{a}{b}=\frac{1-2\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}+\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}{1+2\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}+\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}[/dispmath]
Uz malo sredjivanja,dobije se
[dispmath]\frac{a}{b}=\frac{\frac{1}{1+\cos x}-\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}}{\frac{1}{1+\cos x}+\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}}[/dispmath]
[dispmath]\sqrt{1-\cos x}=\sin x[/dispmath]
Unaksrnim mnozenjem,i posle toga prebacivanjem sabiraka sa istom osnovom na istu stranu sledi [inlmath]\to[/inlmath]
[dispmath]\frac{(a+b)\sin x}{\sqrt{1+\cos x}}=\frac{b-a}{{1+\cos x}}[/dispmath]
odnosno
[dispmath]\sin x=\frac{b-a}{1+\cos x}\frac{\sqrt{1+\cos x}}{a+b}[/dispmath]
Ne vidim svoju gresku proveravao sam sto puta,bilo kakva pomoc je dobrodosla :) Hvala
 
Postovi: 9
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Jednacina tg(x/2) ETF 2010.

Postod Daniel » Nedelja, 29. Jun 2014, 21:58

Greška ti je ovde:
Jocaynwa je napisao:[dispmath]\sqrt{1-\cos x}=\sin x[/dispmath]

Treba [inlmath]{\color{red}\pm}\sqrt{1-\cos^{\color{red}2}x}=\sin x[/inlmath], to jest, osim što si izostavio kvadrat kod kosinusa, zaboravio si i to da vrednost sinusa može biti jednaka pozitivnoj ili negativnoj vrednosti tog korena. Zbog toga korišćenje te formule treba izbegavati kada ti nije poznat predznak sinusa.

Slično važi i za formulu [inlmath]\mathrm{tg}\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}[/inlmath], koju si takođe koristio. I ispred tog korena treba da stoji [inlmath]\pm[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8841
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4896 puta
Pohvaljen: 4731 puta

Re: Jednacina tg(x/2) ETF 2010.

Postod Jocaynwa » Nedelja, 29. Jun 2014, 23:04

Hvala. Sto se tice predznaka,sta predlazete?Kako biste vi uradili,ne treba ceo postupak samo neke smernice u dve tri reci :)
Evo mog pokusaja :)
[dispmath]\frac{a}{b}=\frac{\frac{1}{1+\cos x}-\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}}{\frac{1}{1+\cos x}+\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}}[/dispmath]
Izdvojimo ovaj deo,i pomnozimo imeniocem
[dispmath]\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}=\frac{\sqrt{(1-\cos x)(1+\cos x)}}{{\sqrt{1+\cos x}}^2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}[/dispmath][dispmath]\frac{a}{b}=\frac{\frac{1-\sin x}{1+\cos x}}{\frac{1+\sin x}{1+\cos x}}=\frac{1-\sin x}{1+\sin x}[/dispmath][dispmath]a+a\sin x=b-b\sin x[/dispmath][dispmath]a\sin x+b\sin x=b-a[/dispmath][dispmath]\sin x(a+b)=b-a[/dispmath][dispmath]\sin x=\frac{b-a}{a+b}[/dispmath]
 
Postovi: 9
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Jednacina tg(x/2) ETF 2010.

Postod Daniel » Nedelja, 29. Jun 2014, 23:37

To je manje-više OK, mada me u tom postupku malo „žulja“ to zanemarivanje mogućnosti pozitivnih i negativnih predznaka.

Ja bih radio na ovaj način:
[dispmath]\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\frac{a}{b}}[/dispmath]
To, naravno, kvadriramo, ali, pošto kvadriranjem gubimo informaciju o znaku, pre kvadiranja diskutujemo. Pošto je desna strana [inlmath]\ge 0[/inlmath], mora i leva strana biti [inlmath]\ge 0[/inlmath], dakle:
[dispmath]\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)\ge 0\\
k\pi\le\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}<\frac{\pi}{2}+k\pi\\
-\frac{\pi}{4}+k\pi\le -\frac{x}{2}<-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}+k\pi\\
-\frac{\pi}{4}+k\pi\le -\frac{x}{2}<\frac{\pi}{4}+k\pi\\
-\frac{\pi}{4}+k\pi<\frac{x}{2}\le\frac{\pi}{4}+k\pi\\
-\frac{\pi}{2}+2k\pi<x\le\frac{\pi}{2}+2k\pi[/dispmath]
što nam govori da će [inlmath]\sin x[/inlmath] morati da se nalazi u intervalu [inlmath]\left(-1,1\right][/inlmath], tj. neće moći da ima vrednost [inlmath]-1[/inlmath].

E, sad kvadiramo:
[dispmath]\mathrm{tg}^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{a}{b}[/dispmath]
Primenimo formulu za kvadrat sinusa preko kvadrata tangensa, [inlmath]\sin^2\alpha=\frac{\mathrm{tg}^2\alpha}{1+\mathrm{tg}^2\alpha}[/inlmath]:
[dispmath]\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\mathrm{tg}^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)}{1+\mathrm{tg}^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)}=\frac{\frac{a}{b}}{1+\frac{a}{b}}=\frac{a}{a+b}[/dispmath]
Zatim na kvadrat sinusa primenimo formulu polovine ugla, [inlmath]\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}[/inlmath]:
[dispmath]\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{2}=\frac{1-\sin x}{2}[/dispmath]
pa je odatle
[dispmath]\frac{1-\sin x}{2}=\frac{a}{a+b}\\
1-\sin x=\frac{2a}{a+b}\\
\sin x=1-\frac{2a}{a+b}\\
\sin x=\frac{b-a}{a+b}[/dispmath]
i onda još treba diskutovati vrednost parametara [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], jer, pošto [inlmath]\sin x\in\left(-1,1\right][/inlmath], potrebno je da i [inlmath]\frac{b-a}{a+b}\in\left(-1,1\right][/inlmath] da bi zadatak imao rešenje. U protivnom, ako je [inlmath]\frac{b-a}{a+b}[/inlmath] van tog intervala, zadatak nema rešenje.
Naravno, podrazumeva se da mora biti [inlmath]\frac{a}{b}\ge 0[/inlmath] i [inlmath]b\ne 0[/inlmath], zbog definisanosti desne strane zadate jednakosti.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8841
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4896 puta
Pohvaljen: 4731 puta


Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 10 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 30. Novembar 2021, 17:16 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs