Regionalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola Republike Srpske – 4. razred – 2010. god.

U pitanju je zadatak vezan za homotetiju.Što se homotetije tiče učili smo nešto malo ali uopšteno o njoj.Većina zadataka što smo radili bili su lagani mislim samo ono da shvatimo šta je homotetija.Znači imam pojma o zadatku ali ne baš dovoljno da ga i razumijem.Naravno imam i rješenje koje treba neko da mi malo rastumači. Ono što me najviše zbunjuje su oznake u rješenju nema šanse da nacrtam skicu sa tim svim oznakama.Kao prvo najbolje bi bilo da neko nacrta adekvatnu skicu.I ovaj text zadatka mi nije jasan uopšte mi nije jasno kako mora postojati samo jedna homotetija sa negativnim koeficjentom.Negativan koeficjent znači preslikavanje u suprotnom smjeru od zadate tačke. Pitanje je žašto mora biti negaivan? Mislim da može biti i pozitivan.I još da napomenem gomila ovih formula da distancu nisu mi jasne. Možda bi i bile da imam neku skicu.I šta znači egzistencija? Mislim da je to neki uslov da zadatak ima smisla ali nisam baš siguran

Zadatak:
Dokazati da za svake dvije nekoncentrične kružnice različitih dužina poluprečnika postoji jedna i samo jedna homotetija s negativnim koeficijentom koja jednu od tih kružnica preslikava na drugu. Posebno diskutovati različite međusobne položaje kružnica.

Rješenje:
Neka su [inlmath]k_1(S_1,r_1)[/inlmath] i [inlmath]k_2(S_2,r_2)[/inlmath], [inlmath]|S_1S_2|=d[/inlmath] i [inlmath]M[/inlmath] tačka na pravoj [inlmath]S_1S_2[/inlmath] takva da je [inlmath]S_1-M-S_2[/inlmath] i [inlmath]|S_1M|=\frac{r_1}{r_1+r_2}d[/inlmath]. Posmatrajmo homotetiju [inlmath]h\left(M,-\frac{r_2}{r_1}\right)[/inlmath] i dokažimo da ona preslikava [inlmath]k_1[/inlmath] na [inlmath]k_2[/inlmath]
1. [inlmath]h(S_1)[/inlmath] je tačka na pravoj [inlmath]S_1M[/inlmath] takva da je [inlmath]S_1-M-h(S_1)[/inlmath] i [inlmath]|h(S_1)M|=\frac{r_2}{r_1}|S_1M|=\frac{r_2}{r_1}\frac{r_1}{r_1+r_2}d=\frac{r_2}{r_1+r_2}d[/inlmath] slijedi [inlmath]h(S_1)=S_2[/inlmath]
2. Za proizvoljnu tačku [inlmath]P[/inlmath] kružnice [inlmath]k_1[/inlmath] je [inlmath]|h(P)h(S_1)|=\frac{r_2}{r_1}|PS_1|=\frac{r_2}{r_1}r_1=r_2[/inlmath] tj. [inlmath]h(P)[/inlmath] je na kružnici [inlmath]k_2[/inlmath]
3. S obzirom da je homotetija preslikavanje sličnosti slijedi [inlmath]h(k_1)=k_2[/inlmath]
4. Jedinstvenost homotetije [inlmath]h[/inlmath] lako se dokazuje.Kada bi postojala druga homotetija datih kružnica [inlmath]f(k,N)[/inlmath] morala bi imati koeficjent [inlmath]k=-\frac{r_2}{r_1}[/inlmath] i moralo bi vrijediti [inlmath]|S_1N|:|S_2N|=r_1:r_2[/inlmath] odatlen slijedi da je [inlmath]N=M[/inlmath]
5. Egzistenicja homotetije [inlmath]h[/inlmath] ne zavisi o međusobnom položaju datih kružnica:
-Ako se ne sjeku i [inlmath]|S_1S_2|>r_1+r_2[/inlmath], [inlmath]M[/inlmath] je izvan obe
-Ako se dodiruju izvana [inlmath]M[/inlmath] je njihova dodirna tačka
-Ako se sjeku [inlmath]M[/inlmath] je u presjeku krugova [inlmath]k_1[/inlmath] i [inlmath]k_2[/inlmath]
-Ako je [inlmath]k_2[/inlmath] unutar kruga [inlmath]k_1[/inlmath] tada je [inlmath]M[/inlmath] unutar kruga [inlmath]k_2[/inlmath]
-Ako su date kružnice koncentrične tada je [inlmath]M=S_1=S_2[/inlmath]
Jedini uslov egzistencije je [inlmath]r_1[/inlmath] i [inlmath]r_2[/inlmath] različito od [inlmath]0[/inlmath].

Gamma je napisao:Ono što me najviše zbunjuje su oznake u rješenju nema šanse da nacrtam skicu sa tim svim oznakama.Kao prvo najbolje bi bilo da neko nacrta adekvatnu skicu.

Evo skice:


Potrebno je pokazati da se [inlmath]h\left(S_1\right)[/inlmath] i [inlmath]S_2[/inlmath] poklapaju, kao i da se [inlmath]h\left(P\right)[/inlmath] nalazi na kružnici [inlmath]k_2[/inlmath]. Na slici sam namerno nacrtao kao da nije tako, kako bi se postupkom došlo do ova dva zaključka.

Gamma je napisao:I ovaj text zadatka mi nije jasan uopšte mi nije jasno kako mora postojati samo jedna homotetija sa negativnim koeficjentom.Negativan koeficjent znači preslikavanje u suprotnom smjeru od zadate tačke. Pitanje je žašto mora biti negaivan? Mislim da može biti i pozitivan.

Može biti i pozitivan, svakako. Ali nisi dobro razumeo rečenicu u zadatku. Ne dokazuje se da postoji jedna i samo jedna homotetija i zatim da je to homotetija s negativnim koeficijentom, već se dokazuje da mora postojati bar jedna homotetija s negativnim koeficijentom i da ne može postojati više od jedne homotetije s negativnim koeficijentom. Dakle, ovde se homotetija s pozitivnim koeficijentom uopšte ne spominje, tj. uopšte nije rečeno da homotetija s pozitivnim koeficijentom ne može postojati.

Gamma je napisao:I još da napomenem gomila ovih formula da distancu nisu mi jasne. Možda bi i bile da imam neku skicu.

Eto, pogledaj sad, sa skicom, hoće li biti jasnije.

Gamma je napisao:I šta znači egzistencija? Mislim da je to neki uslov da zadatak ima smisla ali nisam baš siguran

Egzistencija znači postojanje, sasvim isto kao i u svakodnevnom govoru. Znači, pod 5. se razmatra hoće li homotetija postojati pri različitim međusobnim odnosima ove dve kružnice.

Evo pregledo sam ovo.Mogu ti reći tek sada mi je jasno šta se u zadatku traži.Razjasnio sam to kada sam vidio skicu.Ali ponovo rješenje mi nije jasno.Tačnije ove formule u rješenju.Počevši od ovoga...
i [inlmath]M[/inlmath] tačka na pravoj [inlmath]S_1S_2[/inlmath] takva da je [inlmath]S_1-M-S_2[/inlmath] i [inlmath]|S_1M|=\frac{r_1}{r_1+r_2}d[/inlmath].
Ove mi uopšte nije jasno šta znači [inlmath]S_1-M-S_2[/inlmath] mislim šta ta razlika predstavlja? Kako se došlo do ove formule [inlmath]|S_1M|=\frac{r_1}{r_1+r_2}d[/inlmath] stvarno blage veze nemam.Vrtio sam nešto preko analitičke geometrije ali nije mi se dalo.

Posmatrajmo homotetiju [inlmath]h\left(M,-\frac{r_2}{r_1}\right)[/inlmath] i dokažimo da ona preslikava [inlmath]k_1[/inlmath] na [inlmath]k_2[/inlmath]
Ovde ne razumijem šta znači ovo u zagradi.Vjerovatno se tako određuje homotetija ali stvarno ne mogu to da skontam. Jer sigurno ne razumijem toliko dobro tu homotetiju. Kao što sam govorio sve što smo radili za nju sve je to ono nešto banalno mislim na osnovne svari.Sve zadatake koje smo radili odnosili su se na povrišinu i zapreminu koja se računa preko koeficjenta.

Gamma je napisao:Ove mi uopšte nije jasno šta znači [inlmath]S_1-M-S_2[/inlmath] mislim šta ta razlika predstavlja?

Nije to razlika. Ta oznaka predstavlja da se tačke [inlmath]S_1[/inlmath], [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]S_2[/inlmath] nalaze na istoj pravoj, ali tako da se [inlmath]M[/inlmath] nalazi između [inlmath]S_1[/inlmath] i [inlmath]S_2[/inlmath] (drugim rečima, da se [inlmath]S_1[/inlmath] i [inlmath]S_2[/inlmath] nalaze sa različitih strana u odnosu na tačku [inlmath]M[/inlmath]).

Gamma je napisao:Posmatrajmo homotetiju [inlmath]h\left(M,-\frac{r_2}{r_1}\right)[/inlmath] i dokažimo da ona preslikava [inlmath]k_1[/inlmath] na [inlmath]k_2[/inlmath]
Ovde ne razumijem šta znači ovo u zagradi.Vjerovatno se tako određuje homotetija ali stvarno ne mogu to da skontam.

[inlmath]M[/inlmath] je centar homotetije (tačka u odnosu na koju vršiš preslikavanje), a [inlmath]-\frac{r_2}{r_1}[/inlmath] je koeficijent homotetije (naravno, negativan, kao što se u zadatku i traži) i koji predstavlja odnos preslikane i originalne dužine. Ako ste radili makar i najosnovniju homotetiju, to ste morali spomenuti.

Gamma je napisao:Kako se došlo do ove formule [inlmath]|S_1M|=\frac{r_1}{r_1+r_2}d[/inlmath]

Odabrali su položaj tačke [inlmath]M[/inlmath] takav da ta tačka deli duž [inlmath]S_1S_2[/inlmath] u odnosu [inlmath]r_1:r_2[/inlmath] (to su uradili prilično intuitivno, a kasnije dokazivali da za upravo tako odabran centar homotetije imamo onu homotetiju koju tražimo).
[dispmath]\left|S_1M\right|:\left|S_2M\right|=r_1:r_2\\
\left|S_1M\right|=\frac{r_1}{r_2}\left|S_2M\right|\\
\left|S_1M\right|=\frac{r_1}{r_2}\left(\left|S_1S_2\right|-\left|S_1M\right|\right)\\
\left|S_1M\right|=\frac{r_1}{r_2}\left|S_1S_2\right|-\frac{r_1}{r_2}\left|S_1M\right|\\
\left|S_1M\right|+\frac{r_1}{r_2}\left|S_1M\right|=\frac{r_1}{r_2}\underbrace{\left|S_1S_2\right|}_d\\
\left(1+\frac{r_1}{r_2}\right)\left|S_1M\right|=\frac{r_1}{r_2}d\\
\frac{r_1+r_2}{\cancel{r_2}}\left|S_1M\right|=\frac{r_1}{\cancel{r_2}}d\\
\left|S_1M\right|=\frac{r_1}{r_1+r_2}d[/dispmath]

Svaka čast.Dobro si mi ovo pojasnio.Jedina stvar koja mi je ostala nejasna je oko jedinstvenosti homotetije. Valjda taj drugi koeficjent što postoji mora biti pozitivan a ne kao što je ovde napisano da je negativan pod 4.Jer već rečeno je da samo mora postojati jedna homotetija s negativnim koeficjentom. Mislim ne mogu biti dvije nikako s negativnim koeficjentom.

Da, ta druga homotetija koja postoji mora biti s pozitivnim koeficijentom, ali mi ovde upravo treba da dokažemo da ne postoji druga homotetija s negativnim koeficijentom. To su u rešenju uradili tako što su pretpostavili suprotno, tj. pretpostavili su da postoji još neka homotetija s negativnim koeficijentom i iz te pretpostavke su došli do kontradikcije, tj. do toga da je ta „druga“ homotetija zapravo ista ova homotetija za koju već znamo, čime je dokazano da postoji samo jedna homotetija s negativnim koeficijentom.

To je u matematici vrlo čest način dokazivanja – pretpostaviš suprotno, pa dođeš do kontradikcije.

Nisam uopšte znao da su to tako radili.Mislio sam da su predpostavili da postoji i našli tu jednu.