Kako kada nazivnik nema nultočaka i ne možemo ga zapisati u drukčijem obliku. Ili se varam?

Da, da, u pravu si... Sorry, promaklo mi je da ovde polinom u imeniocu nema nula...

Pisao sam ti o takvom slučaju u onom postu u kom sam razmatrao sve moguće slučajeve, ali nije problem, uradiću ti ceo postupak... Biće uskoro...

Dugujem ti još jedno izvinjenje, nisam ti napisao opšti postupak za rešavanje ovakvih integrala, već sam ti samo napisao postupak kako u opštem slučaju integrala s polinomima doći do ovakvog oblika integrala kakvog imaš u ovom zadatku.

A postupak za rešavanje ovog integrala bi izgledao ovako:
[dispmath]\int\frac{3x-2}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=[/dispmath]
Prvo gledamo da brojilac svedemo na izvod imenioca, a izvod imenioca je u ovom slučaju [inlmath]4x-3[/inlmath]:
[dispmath]=\frac{3}{4}\int\frac{4x-\frac{8}{3}}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=\frac{3}{4}\int\frac{4x-3}{2x^2-3x+4}\mathrm dx+\frac{3}{4}\int\frac{3-\frac{8}{3}}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{3}{4}\int\frac{\mathrm d\left(2x^2-3x+4\right)}{2x^2-3x+4}+\frac{3}{4}\int\frac{\frac{1}{3}}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=\frac{3}{4}\ln\left|2x^2-3x+4\right|+\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dx}{2x^2-3x+4}[/dispmath]
Sada nam je cilj da ovaj integral u drugom sabirku svedemo na oblik [inlmath]\int\frac{\mathrm d\alpha}{1+\alpha^2}[/inlmath], što predstavlja tablični integral čije je rešenje [inlmath]\mathrm{arctg}\:\alpha+c[/inlmath].
[dispmath]\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dx}{2x^2-3x+4}=\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dx}{\left(\sqrt 2 x-\frac{3}{2\sqrt 2}\right)^2-\left(\frac{3}{2\sqrt 2}\right)^2+4}=\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dx}{\left(\sqrt 2 x-\frac{3}{2\sqrt 2}\right)^2-\frac{9}{8}+4}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dx}{\left(\sqrt 2 x-\frac{3}{2\sqrt 2}\right)^2+\frac{23}{8}}=\frac{8}{23}\cdot\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dx}{1+\left(\sqrt{\frac{8}{23}}\sqrt 2 x-\sqrt{\frac{8}{23}}\frac{3}{2\sqrt 2}\right)^2}=\frac{2}{23}\int\frac{\mathrm dx}{1+\left(\frac{4}{\sqrt{23}}x-\frac{3}{\sqrt{23}}\right)^2}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{\sqrt{23}}{4}\cdot\frac{2}{23}\int\frac{\mathrm d\left(\frac{4}{\sqrt{23}}x-\frac{3}{\sqrt{23}}\right)}{1+\left(\frac{4}{\sqrt{23}}x-\frac{3}{\sqrt{23}}\right)^2}=\frac{\sqrt{23}}{46}\mathrm{arctg}\left(\frac{4}{\sqrt{23}}x-\frac{3}{\sqrt{23}}\right)+c=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{\sqrt{23}}{46}\mathrm{arctg}\left(\frac{4\sqrt{23}}{23}x-\frac{3\sqrt{23}}{23}\right)+c=\frac{\sqrt{23}}{46}\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{23}\left(4x-3\right)}{23}+c[/dispmath]
Traženi integral ćemo dobiti kad saberemo prvi sabirak koji smo ranije dobili i ovaj, drugi sabirak:
[dispmath]\frac{3}{4}\ln\left|2x^2-3x+4\right|+\frac{\sqrt{23}}{46}\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{23}\left(4x-3\right)}{23}+c[/dispmath]

A odakle u drugom redu [inlmath]\frac{3}{4}[/inlmath] ispred integrala?

Ako misliš na ovaj korak:
[dispmath]\int\frac{3x-2}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=\frac{3}{4}\int\frac{4x-\frac{8}{3}}{2x^2-3x+4}\mathrm dx[/dispmath]
[inlmath]\frac{3}{4}[/inlmath] smo izvukli ispred integrala kako bismo u brojiocu, uz [inlmath]x[/inlmath] dobili koeficijent [inlmath]4[/inlmath] umesto dotadašnjeg koeficijenta [inlmath]3[/inlmath].

Ili, još postupnije:
[dispmath]\int\frac{3x-2}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=\int\frac{\frac{3}{4}\left(4x-\frac{8}{3}\right)}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=\frac{3}{4}\int\frac{4x-\frac{8}{3}}{2x^2-3x+4}\mathrm dx[/dispmath]

Na to sam mislio. Odlično

[dispmath]\int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}\mathrm dx[/dispmath]
Rješenje mi je:
[dispmath]-\frac{3}{2}\ln|x|+\frac{11}{6}\ln|x+2|-\frac{1}{3}\ln|x-1|+C[/dispmath]
Valja ili sam opet pogriješio negdje? Wolfram Alpha ne izbacuje baš ovako...

Wolfram je u pravu (zar si i sumnjao drugačije? )

Ako hoćeš da tražimo grešku, davaj postupak. Ovako mogu samo da kažem da rešenje ne valja i ništa više.

Zadatak je vrlo sličan ovom (imenioci su im čak potpuno identični, razlikuju se samo brojioci), pa ako si taj zadatak savladao, onda sigurno umeš i ovaj da uradiš kako treba.

Ali kada ubacim i taj zadatak u Wolfram, opet izbaci drukčije rješenje od onog što si ti dobio. Sad ne znam gdje je problem xD Greška jedino može biti u parcijalnim razlomcima...

Za taj zadatak (govorim o onom zadatku na prethodnoj strani) ja sam dobio rešenje
[dispmath]-\frac{1}{2}\ln\left|x\right|-\frac{1}{6}\ln\left|x+2\right|+\frac{2}{3}\ln\left|x-1\right|+c[/dispmath]
a Wolfram daje rešenje
[dispmath]\frac{1}{6}\left[4\ln\left(1-x\right)-3\ln\left(x\right)-\ln\left(x+2\right)\right]+\mathrm{constant}[/dispmath]
što je za mene veliko razočaranje u Wolfram, budući da pravi očiglednu grešku pretvarajući apsolutne vrednosti u obične (male) zagrade. Ali, ako to zanemarimo, ova dva rešenja su potpuno identična.