DommY je napisao:Evo rjesio sam ga ponovo, valjda sad nisam zeznuo...

Sve je OK!

DommY je napisao:Pitanje:
Dobio sam 2. niza dali je to moguce?

A zašto da ne? Pa i u prošlom zadatku si kao moguća rešenja dobio dva niza. To je i logično, pošto si imao kvadratnu jednačinu, a kvadratna jednačina daje dva rešenja.

Evo, ispisaćemo prvih šest članova i za jedan i za drugi niz:

[inlmath]1, 2, 3, 4, 5, 6\quad\Rightarrow\quad[/inlmath] proizvod [inlmath]1.[/inlmath] i [inlmath]6.[/inlmath] člana niza je [inlmath]6[/inlmath].

[inlmath]\frac{3}{2},2,\frac{5}{2},3,\frac{7}{2},4\quad\Rightarrow\quad[/inlmath] proizvod [inlmath]1.[/inlmath] i [inlmath]6.[/inlmath] člana niza je takođe [inlmath]6[/inlmath].

Znači, oba niza ispunjavaju uslove zadatka.

Nemoj samo zaboraviti da nađeš još i opšti član niza, to se isto traži u zadatku

Hvala sad sve kuzim

Da ovo za opci clan sam skuzio kasnije pa sam rjesio.
Dobio sam [inlmath]a_n=\frac{3}{2}+(n-1)d[/inlmath] za prvi aritmeticki niz
i [inlmath]a_n=n[/inlmath] za drugi niz!

DommY je napisao:Dobio sam [inlmath]a_n=\frac{3}{2}+(n-1)d[/inlmath] za prvi aritmeticki niz
i [inlmath]a_n=n[/inlmath] za drugi niz!

Za drugi niz je u redu, ali i za prvi niz moraš opšti član izraziti u funkciji samo od [inlmath]n[/inlmath], dok [inlmath]d[/inlmath] ne sme da ti se pojavljuje u izrazu.

Znači, u izrazu
[dispmath]a_n=\frac{3}{2}+\left(n-1\right)d[/dispmath]
[inlmath]d[/inlmath] zameniš onom vrednošću koju si za njega dobio, a to je [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]:
[dispmath]a_n=\frac{3}{2}+\left(n-1\right)\cdot\frac{1}{2}[/dispmath]
[dispmath]a_n=\frac{n+2}{2}[/dispmath]

Tako je da. Previše matematike za jedan dan heheheh

Imam jos 3 kratka zadatka koja mi nisu jasna.

Ovaj
6. (3) Opći član niza je [inlmath]a_n=24.2-0.6n[/inlmath]. Koliki je zbroj svih pozitivnih članova tog niza?

Ovaj-Za ovo nisam siguran, al ja idem uvrstim [inlmath]n=1[/inlmath], onda dode [inlmath]0[/inlmath] u razlomku, uvrstim [inlmath]2[/inlmath] pa je to valjda prvi clan, i onda jos 2 clana nadem, dakle imam prvi drugi i treci clan, treci je najmanji a prvi najveci iz cega se vidi da je niz strogo padajuci, ALI imam osjecaj da to nije to, da jos nesto fali. Ne moze biti ovako lagano jer ovaj zadatak nosi 3 boda tako da..
7. (3) Zadan je niz s općim članom [inlmath]a_n=\frac{n+2}{n-1},\:n>1[/inlmath]. Dokaži da je niz strogo padajući.

I ovaj- znam rjesenje napamet, dode [inlmath]500[/inlmath], ali sta ce mi ako neznam to zapisat matematicki pa da ljepo dobim rjesenje kako treba! Pa ako mozete
10. (3) Na maturalnoj zabavi organizirana je lutrija sa ukupno [inlmath]2000[/inlmath] brojeva. Koliko se lutrija prodalo u prvom satu prodaje ako je svakog narednog sata prodaja padala za [inlmath]25\%[/inlmath]?


Hvala

DommY je napisao:6. (3) Opći član niza je [inlmath]a_n=24.2-0.6n[/inlmath]. Koliki je zbroj svih pozitivnih članova tog niza?

Niz je očigledno aritmetički, u šta se možemo i uveriti, ako izračunamo razliku dva susedna člana:
[dispmath]a_{n+1}-a_n=24,2-0,6\left(n+1\right)-24,2+0,6n=-0,6[/dispmath]
Pošto je razlika dva susedna člana jednaka konstanti, niz je aritmetički, a pošto je ta konstanta negativna, niz je opadajući.

Prvi član niza je jednak
[dispmath]a_1=24,2-0,6=23,6[/dispmath]
tj. pozitivan je.

Zaključujemo, pošto je niz opadajući a prvi član pozitivan, da je prvih [inlmath]k[/inlmath] članova niza pozitivno, a članovi počevši od [inlmath]a_{k+1}[/inlmath] pa nadalje su negativni. Nas interesuje zbir svih pozitivnih članova, tj. zbir tih prvih [inlmath]k[/inlmath] članova niza. Treba da odredimo koliko je [inlmath]k[/inlmath].
[dispmath]a_n>0[/dispmath]
[dispmath]24,2-0,6n>0[/dispmath]
[dispmath]n<\frac{24,2}{0,6}[/dispmath]
[dispmath]n<40,333\dots[/dispmath]
[dispmath]n\le 40[/dispmath]
[inlmath]k[/inlmath] bi bio maksimalan [inlmath]n[/inlmath] za koje je član niza pozitivan, prema tome, [inlmath]k=40[/inlmath].

Znači, tražimo sumu [inlmath]S_{40}[/inlmath]:
[dispmath]S_{40}=\frac{40}{2}\left(a_1+a_{40}\right)[/dispmath]
[inlmath]a_1[/inlmath] smo već izračunali, to je [inlmath]23,6[/inlmath].
[dispmath]a_{40}=24,2-0,6\cdot 40=0,2[/dispmath]
[dispmath]S_{40}=\frac{40}{2}\left(23,6+0,2\right)[/dispmath]
[dispmath]S_{40}=476[/dispmath]

DommY je napisao:Ovaj-Za ovo nisam siguran, al ja idem uvrstim [inlmath]n=1[/inlmath], onda dode [inlmath]0[/inlmath] u razlomku, uvrstim [inlmath]2[/inlmath] pa je to valjda prvi clan, i onda jos 2 clana nadem, dakle imam prvi drugi i treci clan, treci je najmanji a prvi najveci iz cega se vidi da je niz strogo padajuci, ALI imam osjecaj da to nije to, da jos nesto fali. Ne moze biti ovako lagano jer ovaj zadatak nosi 3 boda tako da..
7. (3) Zadan je niz s općim članom [inlmath]a_n=\frac{n+2}{n-1},\:n>1[/inlmath]. Dokaži da je niz strogo padajući.

Nije bilo potrebe da uvrštavaš [inlmath]n=1[/inlmath], jasno je dat uslov da je [inlmath]n>1[/inlmath], upravo zbog te nule u imeniocu koja bi se dobila kada bi [inlmath]n[/inlmath] bilo jedinica.
Takođe, nisi morao da računaš ni tih prvih nekoliko članova niza, postoji tačno određen i egzaktan postupak kako se ispituje monotonost niza.
Ako je za svako [inlmath]n[/inlmath] zadovoljeno [inlmath]a_{n+1}<a_n[/inlmath], tj. ako je svaki član niza manji od prethodnog, niz je, logično, opadajući.

[inlmath]a_{n+1}<a_n\quad[/inlmath] – ovu nejednakost, dakle, treba dokazati
[dispmath]\frac{\left(n+1\right)+2}{\left(n+1\right)-1}<\frac{n+2}{n-1}[/dispmath]
[dispmath]\frac{n+3}{n}<\frac{n+2}{n-1}[/dispmath]
Pošto su i [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]\left(n-1\right)[/inlmath] pozitivni, možemo obe strane nejednakosti pomnožiti sa [inlmath]n\left(n-1\right)[/inlmath], ne narušavajući pri tom znak nejednakosti:
[dispmath]\left(n+3\right)\left(n-1\right)<n\left(n+2\right)[/dispmath]
[dispmath]n^2+2n-3<n^2+2n[/dispmath]
i, posle skraćivanja, ostaje
[dispmath]-3<0[/dispmath]
što je zadovoljeno za svako [inlmath]n[/inlmath], čime je dokazano da je niz monotono opadajući.

DommY je napisao:I ovaj- znam rjesenje napamet, dode [inlmath]500[/inlmath], ali sta ce mi ako neznam to zapisat matematicki pa da ljepo dobim rjesenje kako treba! Pa ako mozete
10. (3) Na maturalnoj zabavi organizirana je lutrija sa ukupno [inlmath]2000[/inlmath] brojeva. Koliko se lutrija prodalo u prvom satu prodaje ako je svakog narednog sata prodaja padala za [inlmath]25\%[/inlmath]?

Ili ja ovaj zadatak ne shvatam, ili ovde fale dva podatka – koliko sati je zabava trajala i koliko je ukupno brojeva prodato tokom zabave. Evo kako ja rezonujem – u pitanju je opadajući geometrijski niz, u kome opšti član [inlmath]a_n[/inlmath] označava broj prodatih lutrija u [inlmath]n[/inlmath]-tom satu. Budući da svakog sata prodaja pada za [inlmath]25\%[/inlmath], količnik niza [inlmath]q[/inlmath] je jednak [inlmath]0,75[/inlmath]. Traži se koliko je lutrija prodato u prvom satu, a to bi bio prvi član niza, [inlmath]a_1[/inlmath].
[inlmath]a_1[/inlmath] bismo mogli naći iz formule za sumu geometrijskog niza
[dispmath]S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}[/dispmath]
kada bismo imali podatak koliko je lutrija ukupno prodato [inlmath]\left(S_n\right)[/inlmath], kao i podatak koliko sati je zabava trajala [inlmath]\left(n\right)[/inlmath]. Ali, te podatke nemamo. Podatak da lutrija ima [inlmath]2000[/inlmath] brojeva ništa nam ne govori, jer u zadatku nigde nije rečeno da su svi brojevi tokom zabave prodati.

Ovo je samo moje razmišljanje, ali pretpostavljam da negde grešim.

Zato ako bi mogao da mi pojasniš, na koji način si dobio [inlmath]500[/inlmath]?

Pozdrav,
Zadatak kaže da je zbroj triju uzastopnih članova geometrijskog niza jednak iznosu od [inlmath]74[/inlmath], a zbroj njihovih kvadrata je [inlmath]1924[/inlmath]. Koji su to brojevi?

Na kraju knjige ima i neka uputa za rješenje, pa kaže;
Iz prve jednadžbe sustava [inlmath]a_1(q^2+q+1)=74[/inlmath], [inlmath]a_1^2(q^4+q^2+1)=1924[/inlmath], dobijemo [inlmath]a_1=\frac{74}{q^2+q+1}[/inlmath]

E sad ne kužin logiku kojom su dobili ove jednadžbe jer se ove jednadžbe dobiju kada bi govorili o prva tri člana aritmetičkog niza, a ne o tri uzastopna ka šta je zadano ?

Dalje kaže; [inlmath]a_1[/inlmath] uvrstimo u drugu jednadžbu i dobijemo [inlmath]\frac{37(1-q+q^2)}{q^2+q+1}=13[/inlmath]. Dobijemo brojeve [inlmath]32,24,18[/inlmath]. Tako su rješenje dva niza [inlmath]32,24,18,\dots[/inlmath] i [inlmath]18,24,32,\dots[/inlmath]
Kako se dobije ova jednadžba kad se uvrsti [inlmath]a_1[/inlmath] ?

Dati podfniz geometrijskog niza je takođe geometrijski niz, jer će količnik između njegovih članova biti konstanan ako je takav i kod glavnog niza. Zato možeš bez problema bilo koja tri uzastopna člana geometrijskog niza smatrati zasebnim geometrijskim nizom. I onda u okviru tog podniza numerišeš članove onako kako su i oni, pa ćeš doći do tih jednačina.