A šta je tol'ko smešno?
OK, najpre odredimo determinantu sistema na osnovu zadatog sistema jednačina:
[dispmath]\Delta=\begin{vmatrix}
1 & -1 & \lambda\\
0 & 1 & 5\\
\lambda & -2 & -4
\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}
1 & 5\\
-2 & -4
\end{vmatrix}-\left(-1\right)\cdot\begin{vmatrix}
0 & 5\\
\lambda & -4
\end{vmatrix}+\lambda\cdot\begin{vmatrix}
0 & 1\\
\lambda & -2
\end{vmatrix}[/dispmath][dispmath]\Delta=1\cdot6-\left(-1\right)\cdot\left(-5\lambda\right)+\lambda\cdot\left(-\lambda\right)=-\lambda^2-5\lambda+6=\left(\lambda+6\right)\left(1-\lambda\right)[/dispmath]
Odavde vidimo da će determinanta sistema biti nula za [inlmath]\lambda=-6[/inlmath] i [inlmath]\lambda=1[/inlmath], tj. za te vrednosti matrica sistema će biti singularna, tj. sistem ili neće imati rešenja ili će biti neodređen.
Rešenje sistema dobijamo primenom Kramerovih formula:
[dispmath]x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta},\quad x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta},\quad x_3=\frac{\Delta_{x_3}}{\Delta}[/dispmath]
gde su [inlmath]\Delta_{x_1}[/inlmath], [inlmath]\Delta_{x_2}[/inlmath] i [inlmath]\Delta_{x_3}[/inlmath] determinante koje dobijamo tako što odgovarajuću kolonu determinante sistema zamenimo rešenjima sistema:
[dispmath]\Delta_{x_1}=\begin{vmatrix}
-1 & -1 & \lambda\\
3 & 1 & 5\\
-4 & -2 & -4
\end{vmatrix}=\left(-1\right)\cdot\begin{vmatrix}
1 & 5\\
-2 & -4
\end{vmatrix}-\left(-1\right)\cdot\begin{vmatrix}
3 & 5\\
-4 & -4
\end{vmatrix}+\lambda\cdot\begin{vmatrix}
3 & 1\\
-4 & -2
\end{vmatrix}[/dispmath][dispmath]\Delta_{x_1}=\left(-1\right)\cdot 6-\left(-1\right)\cdot8+\lambda\cdot\left(-2\right)=2\left(1-\lambda\right)[/dispmath][dispmath]\Delta_{x_2}=\begin{vmatrix}
1 & -1 & \lambda\\
0 & 3 & 5\\
\lambda & -4 & -4
\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}
3 & 5\\
-4 & -4
\end{vmatrix}-\left(-1\right)\cdot\begin{vmatrix}
0 & 5\\
\lambda & -4
\end{vmatrix}+\lambda\cdot\begin{vmatrix}
0 & 3\\
\lambda & -4
\end{vmatrix}[/dispmath][dispmath]\Delta_{x_2}=1\cdot8-\left(-1\right)\cdot\left(-5\lambda\right)+\lambda\cdot\left(-3\lambda\right)=-3\lambda^2-5\lambda+8[/dispmath][dispmath]\Delta_{x_3}=\begin{vmatrix}
1 & -1 & -1\\
0 & 1 & 3\\
\lambda & -2 & -4
\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}
1 & 3\\
-2 & -4
\end{vmatrix}-\left(-1\right)\cdot\begin{vmatrix}
0 & 3\\
\lambda & -4
\end{vmatrix}+\left(-1\right)\cdot\begin{vmatrix}
0 & 1\\
\lambda & -2
\end{vmatrix}[/dispmath][dispmath]\Delta_{x_3}=1\cdot 2-\left(-1\right)\cdot\left(-3\lambda\right)+\left(-1\right)\cdot\left(-\lambda\right)=2\left(1-\lambda\right)[/dispmath][dispmath]x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}=\frac{2\left(1-\lambda\right)}{\left(\lambda+6\right)\left(1-\lambda\right)}=\frac{2}{\lambda+6}[/dispmath][dispmath]x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}=\frac{-3\lambda^2-5\lambda+8}{-\lambda^2-5\lambda+6}=\frac{-3\lambda^2-15\lambda+18+10\lambda-10}{-\lambda^2-5\lambda+6}=[/dispmath][dispmath]=\frac{-3\lambda^2-15\lambda+18}{-\lambda^2-5\lambda+6}+\frac{10\lambda-10}{-\lambda^2-5\lambda+6}=3+\frac{-10\left(1-\lambda\right)}{\left(\lambda+6\right)\left(1-\lambda\right)}=3-\frac{10}{\lambda+6}[/dispmath][dispmath]x_3=\frac{\Delta_{x_3}}{\Delta}=\frac{2\left(1-\lambda\right)}{\left(\lambda+6\right)\left(1-\lambda\right)}=\frac{2}{\lambda+6}[/dispmath]