1. Odredi indeks najvećeg člana u razvoju stepena binoma [inlmath]\left(\sqrt 5+\sqrt 2\right)^{20}[/inlmath].

2. Zbir binomnih koeficijenata trećeg od početka kao i trećeg od kraja člana razvoja binoma [inlmath]\left(\sqrt[4]3+\sqrt[3]4\right)^n[/inlmath] ([inlmath]n[/inlmath] je prirodan broj), jednak je [inlmath]2450[/inlmath]. Broj racionalnih članova u tom razvoju jednak je?

3. U razvoju stepena binoma [inlmath]\left(\sqrt x-\frac{1}{\sqrt[3]x}\right)^{12}[/inlmath] sabirak koji ne zavisi od [inlmath]x[/inlmath] jednak je?

4. Suma binomnih koeficijenata članova na neparnim mestima u razlaganju binoma [inlmath]\left(a\cdot\sqrt[5]{\frac{a}{3}}-\frac{b}{\sqrt[7]{a^3}}\right)^n[/inlmath] jednaka je [inlmath]2048[/inlmath]. Član koji sadrži [inlmath]a^3[/inlmath] je?

5. Koeficijent uz [inlmath]a^8[/inlmath] u razvoju binoma [inlmath]\left(\frac{1}{\sqrt[3]a}-a\right)^{12}[/inlmath] je?

---

1. zadatak ne znam sta predstavlja indeks, pa ako moze neko detaljnije objasnjenje za ovaj zadatak.
2. znam ceo postupak i sve, samo me zanima kad dodjem do dela da [inlmath]50-k[/inlmath] mora biti deljivo sa [inlmath]4[/inlmath] i da je [inlmath]k[/inlmath] deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], kako odatle radim, dobijem ja rezultat peske proveravajuci koji brojevi odgovaraju, ali jel postoji neki brzi i jednostavniji nacin, odnosto postupak za ovaj tip zadatka. Dobijem na kraju ja [inlmath]6[/inlmath],[inlmath]18[/inlmath],[inlmath]30[/inlmath] i [inlmath]42[/inlmath].
3. pod uslovom da je [inlmath]x=1[/inlmath] dobijam da je [inlmath]k=\frac{36}{5}[/inlmath] i odatle sledi da takav sabirak ne postoji, jer [inlmath]k[/inlmath] treba biti u skupu prirodnih borjeva, zar ne?
4. stvarno nzm kako da postavim, pretpostavljam da bi neparna mesta trebali da se prikazu kao [inlmath]2n-1[/inlmath], i ovaj ako bi mogli da mi objasnite, ako znate naravnoo
5. uporno dobijam [inlmath]-792[/inlmath], a u resenjima je [inlmath]-220[/inlmath]

Lakse mi je ovako da postavim vise zadataka,nadam se da to nije problem, i hvalaaaaa

1. Pretpostavljam da se misli na to koji je po redu najveći od svih članova u binomnom razvoju razvoju...
2. Ok, nisam ništa radio s zadatkom, pa ne znam kako si došla do tog dela i slično, ali ću odgovoriti na izdvojeno pitanje... Da bi [inlmath]50-k[/inlmath] bilo deljivo sa [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]k[/inlmath] svakako mora biti paran broj, a pošto je deljiv sa [inlmath]3[/inlmath] treba da bude deljiv i sa [inlmath]6[/inlmath]. Dakle, on je deljiv sa [inlmath]6[/inlmath], pa je oblika [inlmath]6m[/inlmath]. Pošto [inlmath]50-k[/inlmath] treba da bude deljivo sa [inlmath]4[/inlmath], možemo zaključiti da [inlmath]k[/inlmath] nije deljivo sa [inlmath]4[/inlmath], pa nam ostaje da ispitamo sve vrednosti [inlmath]k<50[/inlmath], oblika [inlmath]6m[/inlmath], gde je [inlmath]m[/inlmath] neparan broj. Za vrednosti [inlmath]1,3,5,7[/inlmath] dobijaju se ta tvoja rešenja.
...

Hvala tiiii ^_^
i dobila sam [inlmath]5-i[/inlmath]

sevdah baby je napisao:3. pod uslovom da je [inlmath]x=1[/inlmath] dobijam da je [inlmath]k=\frac{36}{5}[/inlmath] i odatle sledi da takav sabirak ne postoji, jer [inlmath]k[/inlmath] treba biti u skupu prirodnih borjeva, zar ne?

Ne uslov da je [inlmath]x=1[/inlmath], već uslov da je [inlmath]x[/inlmath] dignut na nulti stepen. Inače, da, meni isto tako ispada, tj. u razvoju tog binoma svi sabirci zavise od [inlmath]x[/inlmath].

sevdah baby je napisao:Lakse mi je ovako da postavim vise zadataka,nadam se da to nije problem, i hvalaaaaa

Naravno da nije problem, čak štaviše naprotiv (volim ovaj pleonazam ), ovaj tvoj post je primer kako pitanja treba postavljati – navesti šta je sve pokušano, gde je nastao problem itd, a ne samo preneti tekst zadatka i čekati da mi rešimo sve.
Jedino je, što se slike zadataka tiče, poželjno da bude uokvirena img-tagovima kako bi bila vidljiva u samoj temi i, po dimenzijama, prilagođena forumu. A najpoželjnija varijanta je, naravno, korišćenje Latex-a.

Sto se 1. zadatka tice, i ako taj indeks predstavlja najveci clan u binomnom razvoju, sigurno ga necu racunati za [inlmath]21[/inlmath] clan i onda uporedjivati, zar ne? :OO
A 3. na to sam mislila [inlmath]x[/inlmath] na nultu, ali se nisam lepo izrazila

A komplikovan mi je taj Latex, i ovako se dosta mucim

sevdah baby je napisao:Sto se 1. zadatka tice, i ako taj indeks predstavlja najveci clan u binomnom razvoju, sigurno ga necu racunati za [inlmath]21[/inlmath] clan i onda uporedjivati, zar ne? :OO

Ne vidim drugog načina. U principu, maksimum se traži preko prvog izvoda, al' ajd sad ti nađi prvi izvod binomnog koeficijenta i ovog resta...
Ipak, da te donekle utešim, bar binomni koeficijent nećeš morati da računaš [inlmath]21[/inlmath] put, imajući u vidu da se posle [inlmath]11.[/inlmath] člana njegove vrednosti simetrično ponavljaju: onaj u [inlmath]12.[/inlmath] članu jednak je onom u [inlmath]10.[/inlmath] članu, onaj u [inlmath]13.[/inlmath] članu jednak je onom u [inlmath]9.[/inlmath] članu itd...

1. Zbir celobrojnih članova u razvoju [inlmath]\left(\sqrt[3]3+\sqrt 2\right)^9[/inlmath] je:

2. Odnos sedmog člana od početka i sedmog člana od kraja u razvoju [inlmath]\left(\sqrt[3]2+\frac{1}{\sqrt[3]3}\right)^n[/inlmath] je [inlmath]\frac{1}{6}[/inlmath]. Zbir svih binomnih koeficijenata u tom razvoju je:

ivzo je napisao:1. Zbir celobrojnih članova u razvoju [inlmath]\left(\sqrt[3]3+\sqrt 2\right)^9[/inlmath] je:

Opšti član ovog razvoja je[dispmath]{9\choose k}\left(\sqrt[3]3\right)^{9-k}\left(\sqrt 2\right)^k={9\choose k}3^\frac{9-k}{3}2^\frac{k}{2}={9\choose k}3^3 3^\frac{-k}{3}2^\frac{k}{2}=27{9\choose k}3^\frac{-k}{3}2^\frac{k}{2}[/dispmath]Da bi član bio ceo broj, potrebno je da [inlmath]-\frac{k}{3}[/inlmath] i [inlmath]\frac{k}{2}[/inlmath] budu celi brojevi, a to će biti ispunjeno onda kada je [inlmath]k[/inlmath] deljivo sa [inlmath]6[/inlmath]. Pošto je [inlmath]0\le k\le 9[/inlmath], vrednosti koje ispunjavaju taj uslov biće [inlmath]k=0[/inlmath] i [inlmath]k=6[/inlmath].

Zameni svaku od te dve vrednosti u gornji izraz i dobićeš:

– za [inlmath]k=0\quad\Rightarrow\quad 27[/inlmath]

– za [inlmath]k=6\quad\Rightarrow\quad 2016[/inlmath]

i njihov zbir će biti [inlmath]2043[/inlmath].

ivzo je napisao:2. Odnos sedmog člana od početka i sedmog člana od kraja u razvoju [inlmath]\left(\sqrt[3]2+\frac{1}{\sqrt[3]3}\right)^n[/inlmath] je [inlmath]\frac{1}{6}[/inlmath]. Zbir svih binomnih koeficijenata u tom razvoju je:

Opšti član razvoja je[dispmath]{n\choose k}\left(\sqrt[3]2\right)^{n-k}\left(\frac{1}{\sqrt[3]3}\right)^k={n\choose k}\left(2^\frac{1}{3}\right)^{n-k}\left(3^{-\frac{1}{3}}\right)^k={n\choose k}2^\frac{n-k}{3}3^{-\frac{k}{3}}[/dispmath]Za sedmi član od početka je [inlmath]k=6[/inlmath], a za sedmi član od kraja je [inlmath]k=n-6[/inlmath], pa kad se te vrednosti uvrste u gornji izraz, posle sređivanja se dobije:

[inlmath]k=6\quad\Rightarrow\quad{n\choose 6}\cdot 6^{-2}\cdot 2^\frac{n}{3}[/inlmath]

[inlmath]k=n-6\quad\Rightarrow\quad{n\choose 6}\cdot 6^2\cdot 3^{-\frac{n}{3}}[/inlmath]

Njihov odnos je[dispmath]\frac{{n\choose 6}\cdot 6^{-2}\cdot 2^\frac{n}{3}}{{n\choose 6}\cdot 6^2\cdot 3^{-\frac{n}{3}}}=6^{-4}\cdot 2^\frac{n}{3}\cdot 3^\frac{n}{3}=6^{-4}\cdot 6^\frac{n}{3}=6^{\frac{n}{3}-4}=\frac{1}{6}=6^{-1}[/dispmath][dispmath]\frac{n}{3}-4=-1[/dispmath][dispmath]n=9[/dispmath]Na kraju zbir svih binomnih koeficijenata odrediš kao [inlmath]2^n[/inlmath], tj. u ovom slučaju [inlmath]2^9[/inlmath], a to je [inlmath]512[/inlmath].

sevdah baby je napisao:4. stvarno nzm kako da postavim, pretpostavljam da bi neparna mesta trebali da se prikazu kao [inlmath]2n-1[/inlmath], i ovaj ako bi mogli da mi objasnite, ako znate naravnoo

Ovaj zadatak me uzasno nervira, nemoguce je da ne postoji neka fora za ovaj zadatak, ja sam mislisa nesto preko niza da pokusam, ali nzm :O

Može se iskoristiti osobina da je zbir binomnih koeficijenata jednak [inlmath]2^n[/inlmath], a što se može pokazati na sledeći način:
[dispmath]\left(a+b\right)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k[/dispmath][dispmath]a=b=1\quad\Rightarrow\quad\left(1+1\right)^n=2^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}1^{n-k}1^k\quad\Rightarrow\quad\sum_{k=0}^n{n\choose k}=2^n[/dispmath]
Što se tiče zbira koeficijenata na parnim, odnosno na neparnim mestima, posmatrajmo slučaj [inlmath]a=1[/inlmath], [inlmath]b=-1[/inlmath]:
[dispmath]a=1,\;b=-1\quad\Rightarrow\quad\left[1+\left(-1\right)\right]^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}1^{n-k}\left(-1\right)^k\quad\Rightarrow\quad\sum_{k=0}^n\left(-1\right)^k{n\choose k}=0[/dispmath]
Iz ovoga sledi da je suma binomnih koeficijenata na parnim mestima jednaka sumi binomnih koeficijenata na neparnim mestima, a pošto je ukupna suma binomnih koeficijenata jednaka [inlmath]2^n[/inlmath], odatle sledi da je suma binomnih koeficijenata samo na parnim, odnosno samo na neparnim mestima jednaka [inlmath]\frac{2^n}{2}[/inlmath], tj. [inlmath]2^{n-1}[/inlmath].

Pošto je dato da je suma binomnih koeficijenata na neparnim mestima jednaka [inlmath]2048[/inlmath], imamo:
[dispmath]2^{n-1}=2048=2^{11}\quad\Rightarrow\quad n-1=11\quad\Rightarrow\quad\underline{n=12}[/dispmath]