Prijemni ispit iz matematike za upis na Elektrotehnički fakultet – 7.7.2014.

Od lista hartije kružnog oblika izrezan je kružni isečak od koga je napravljen konusni levak najveće zapremine. Centralni ugao tog kružnog isečka u radijanima je:


Ovako sam ja pokušao da ga rešim, zanima me da li je postupak+razmišljanje ispravno.
Dakle imamo kružni isečak sa centralnim uglom [inlmath]\alpha[/inlmath], poluprečnikom [inlmath]r[/inlmath], i dužinu luka [inlmath]L[/inlmath], i od njega napravimo konus koji ima apotemu jednaku poluperčniku kružnog isečka, znači [inlmath]r=a[/inlmath].
[inlmath]R=[/inlmath] poluprečnik baze kupe, a znamo da je luk isečka jednag obimu baze konusa, pa je [inlmath]L=2\pi R[/inlmath].

Pošto mi zadatak traži da izračunam maksimalnu zapreminu u funkciji centralnog ugla [inlmath]\alpha[/inlmath], izraziću sve što mogu u funkciji [inlmath]\alpha[/inlmath].
[dispmath]L=r\alpha=2\pi R[/dispmath][dispmath]R=\frac{r\alpha}{2\pi}[/dispmath]
Visinu konusa [inlmath]h[/inlmath] izražavam preko pitagore:
[dispmath]h=\sqrt{r^2-\frac{r^2\alpha^2}{4\pi^2}}[/dispmath]
Preostaje da napišemo formulu zapremine
[dispmath]V=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot h=\frac{1}{3}\pi\frac{r^2\alpha^2}{4\pi^2}\cdot\sqrt{r^2-\frac{r^2\alpha^2}{4\pi^2}}[/dispmath]
Ako malo sredimo koren ispada:
[dispmath]V=\frac{1}{3}\pi\frac{r^2\alpha^2}{4π^2}\cdot\frac{r}{2\pi}\sqrt{1-\alpha^2}[/dispmath]
Na kraju:
[dispmath]V=\frac{r^3\alpha^2}{24\pi^3}\cdot\sqrt{1-\alpha^2}[/dispmath]
Ostaje da odradimo izvod i vidimo koji je maksimalni iznos zapremine u odnosu na [inlmath]\alpha[/inlmath]
[dispmath]V'(\alpha)=f(\alpha)g(\alpha)=f'(\alpha)g(\alpha)+f(\alpha)g'(\alpha)[/dispmath]
Pošto znam da je [inlmath]r[/inlmath] u svakom slučaju isti, koj god da je [inlmath]\alpha[/inlmath], onda je dovoljno da se ophodim sa njime kao sa običnim brojem koji ne varira.

Problem je što na kraju dobijem
[dispmath]\frac{2r^3\alpha}{24\pi^3}\cdot\sqrt{1-\alpha^2}+\frac{r^3\alpha^2}{24\pi^3}\cdot\frac{-2}{2\sqrt{1-\alpha^2}}=0[/dispmath]
Ne znam da li sam loše uradio izvod, ali nikako da dobijem traženi rezultat [inlmath]\alpha=\frac{2\pi}{3}\cdot\sqrt6[/inlmath]

Imas gresku u trazenju izvoda, ovaj drugi izraz moras pomnoziti sa izvodom potkorjenog izraza... ne znam kako si dobio ovo [inlmath]-2[/inlmath] u brojiocu kada si radio izvod...

Imaš tri greške u postupku (uključujući i ovu na koju ti je Siniša ukazao), označio sam ih crvenom bojom.

MarkoL je napisao:Preostaje da napišemo formulu zapremine
[dispmath]V=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot h=\frac{1}{3}\pi\frac{r^2\alpha^2}{4\pi^2}\cdot\sqrt{r^2-\frac{r^2\alpha^2}{4\pi^2}}[/dispmath]
Ako malo sredimo koren ispada:
[dispmath]V=\frac{1}{3}\pi\frac{r^2\alpha^2}{4π^2}\cdot\frac{r}{2\pi}\sqrt{{\color{red}1}-\alpha^2}[/dispmath]
Na kraju:
[dispmath]V=\frac{r^3\alpha^2}{24\pi^{\color{red}3}}\cdot\sqrt{1-\alpha^2}[/dispmath]
Ostaje da odradimo izvod i vidimo koji je maksimalni iznos zapremine u odnosu na [inlmath]\alpha[/inlmath]
[dispmath]\vdots[/dispmath]
Problem je što na kraju dobijem
[dispmath]\frac{2r^3\alpha}{24\pi^3}\cdot\sqrt{1-\alpha^2}+\frac{r^3\alpha^2}{24\pi^3}\cdot\frac{\color{red}-2}{2\sqrt{1-\alpha^2}}=0[/dispmath]

U poslednjem izrazu umesto [inlmath]-2[/inlmath] treba [inlmath]-2\alpha[/inlmath]. Naravno, u tom izrazu su akumulirane i prethodne dve greške, tako da ispravan izraz za izvod treba da glasi
[dispmath]\frac{2r^3\alpha}{24\pi^{\color{red}2}}\cdot\sqrt{{\color{red}4\pi^2}-\alpha^2}+\frac{r^3\alpha^2}{24\pi^{\color{red}2}}\cdot\frac{-2{\color{red}\alpha}}{2\sqrt{{\color{red}4\pi^2}-\alpha^2}}=0[/dispmath]
I kad to rešiš po [inlmath]\alpha[/inlmath], dobićeš traženo rešenje, [inlmath]\alpha=\frac{2\pi\sqrt6}{3}[/inlmath].

---

Međutim, savetovao bih ti, kad si dobio izraz za zapreminu [inlmath]V=\frac{r^3\alpha^2}{24\pi^2}\cdot\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}[/inlmath], da [inlmath]\alpha^2[/inlmath] ubaciš pod koren, jer ćeš time pojednostaviti traženje izvoda – nećeš morati da radiš po formuli za izvod proizvoda:
[dispmath]V=\frac{r^3}{24\pi^2}\cdot\sqrt{4\pi^2\alpha^4-\alpha^6}[/dispmath][dispmath]V'_\alpha=\frac{r^3}{24\pi^2}\cdot\frac{16\pi^2\alpha^3-6\alpha^5}{2\sqrt{4\pi^2\alpha^4-\alpha^6}}=0\quad\Rightarrow\quad8\pi^2-3\alpha^2=0\quad\Rightarrow\quad\enclose{box}{\alpha=\frac{2\pi\sqrt6}{3}}[/dispmath]

Ala sam uprostio taj koren svaka mi čast!

Hvala vam momci, a Daniel kao i obično olakšava egzistenciju nama običnim smrtnicima po kratkom postupku

Ciao belli!

Pridružujem se čestitkama za @Daniel i @Sinisa.