Duzine stranica trougla [inlmath]ABC[/inlmath] su: [inlmath]AB=c[/inlmath], [inlmath]AC=b[/inlmath] i [inlmath]BC=a[/inlmath]. Ako je [inlmath]\angle BAC=\alpha[/inlmath] dva puta veci od [inlmath]\angle ABC=\beta[/inlmath] onda je: i resenje je [inlmath]a^2=b(b+c)[/inlmath]

Nacrtamo sliku, obelezimo sve podatke, konstruisemo simetralu ugla [inlmath]\alpha[/inlmath] [inlmath]AD[/inlmath] gde je [inlmath]D[/inlmath] presek simetrale sa stranicom [inlmath]BC[/inlmath] i vidimo dva slicna trougla [inlmath]ABC[/inlmath] i [inlmath]ADC[/inlmath] jer imaju dva ista ugla(ugao kod temena [inlmath]C[/inlmath] i ugao [inlmath]\frac{\alpha}{2}[/inlmath]). Ako [inlmath]DB[/inlmath] obelezimo sa [inlmath]x[/inlmath] dobijamo:
[dispmath]\frac{a}{b}=\frac{b}{a-x}[/dispmath]
i to mi je sve jasno. ali sada oni dobiju [dispmath]\frac{a}{b}=\frac{b}{a-x}=\frac{c}{x}[/dispmath]
odakle ovo [inlmath]\frac{c}{x}[/inlmath] ?

Uzmi u obzir da je trougao [inlmath]ABD[/inlmath] jednakokraki, tu su dva ugla ista ([inlmath]\beta=\frac{\alpha}{2}[/inlmath]) i dve stranice dužine [inlmath]x[/inlmath].

primetila sam i to ali i dalje ne vidim odakle ovo [inlmath]c:x[/inlmath] u proporciji...:/

[inlmath]a,b,c[/inlmath] su stranice trougla [inlmath]ABC[/inlmath]. [inlmath]b,\;a-x,\;x[/inlmath] su stranice trougla [inlmath]ADC[/inlmath]. Ovi trouglovi su slični. Postavljena je proporcija. Šta je tu nejasno?

Zaista nije baš očigledno. Ali, iz sličnosti trouglova [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] i [inlmath]\triangle ADC[/inlmath] sledi [inlmath]a:c=b:x[/inlmath], a odatle [inlmath]a:b=c:x[/inlmath], što je i upotrebljeno u proporciji.

Inače, ovaj zadatak se može prilično lako uraditi i bez sličnosti trouglova, primenom sinusne i kosinusne teoreme.

O kako sam glupa O.o kako to odmah nisam primetila nije mi jasno... hvala u svakom slucaju

A moze i na "seljacki"
Prvo povucemo simetralu iz [inlmath]\alpha[/inlmath]
Predstavimo ugao [inlmath]\gamma[/inlmath] sa [inlmath]\gamma=180-3\beta[/inlmath].
Oznacimo tacku preseka simetrale i duzi [inlmath]a[/inlmath] sa [inlmath]A'[/inlmath]
[inlmath]\angle AA'C=180-4\beta\\
\angle AA'B=180-2\beta[/inlmath]
Napravimo jednacinu da ta dva ugla daju [inlmath]180^\circ[/inlmath]
[dispmath]360-6\beta=180[/dispmath]
[inlmath]\Rightarrow\;\beta=30,\alpha=60,\gamma=90[/inlmath]
Posle samo nadjete da je [inlmath]a^2=3b^2[/inlmath], a to je isto sto i:
[dispmath]a^2=b(b+c)[/dispmath]
jer je [inlmath]c=2b[/inlmath] (vidi se kad se nacrta trougao i "dodaju" stranice)

@lowzyyy, imaš grešku.
Podatak da je jedan ugao trougla dvaput veći od drugog ništa nam ne govori o konkretnim vrednostima ugla tog trougla.
Moguće je da u takvom trouglu jedan ugao ima npr. [inlmath]10^\circ[/inlmath], drugi [inlmath]20^\circ[/inlmath], a treći [inlmath]150^\circ[/inlmath].
Isto tako je moguće da jedan ugao ima [inlmath]35^\circ[/inlmath], drugi [inlmath]70^\circ[/inlmath], a treći [inlmath]75^\circ[/inlmath].
Pa je onda moguće da jedan ugao ima [inlmath]40^\circ[/inlmath], drugi [inlmath]80^\circ[/inlmath], a treći [inlmath]60^\circ[/inlmath].
Itd... itd...
Ti si ovde, zbog greške u svom postupku, dobio da takav trougao ima konkretne vrednosti uglova, pa si samim tim i traženi izraz dokazao za taj jedan, konkretan slučaj, čime nije dokazano da će izraz važiti i u opštem slučaju.

A greška ti je u ovom koraku:

lowzyyy je napisao:[inlmath]\angle AA'C=180-4\beta[/inlmath]

Taj ugao je, zapravo,
[dispmath]\angle AA'C=180^\circ-\gamma-\angle CAA'=180^\circ-\left(180^\circ-3\beta\right)-\beta=2\beta[/dispmath]

I, uvek kad pišeš ugao izražen u stepenima koristi oznaku [inlmath]^\circ[/inlmath], jer se u protivnom podrazumeva da su u pitanju radijani.

Slazem se, tacno sam zaboravio [inlmath]180^\circ[/inlmath] u oduzimanju i dobio resenje haha. Zapravo ovaj postupak me nigde ne bi odveo kada ispravim gresku