[dispmath]z^8+(1-i)z^4=i[/dispmath]
Ovo je ekvivalentno sa: [inlmath]t^2+(1-i)t=i,\;t=z^4[/inlmath]

E sad, mala improvizacija.

Za [inlmath]t=x+iy,\;(x+iy)^2+(1-i)(x+iy)=i=x^2-y^2+2ixy+x+iy-ix+y[/inlmath].
Odatle:
[inlmath]x^2+x+y-y^2+i(2xy+y-x-1)=0[/inlmath]

Sledi da je [inlmath]x^2+x+y-y^2=0[/inlmath] i [inlmath]2xy+y-x-1=0[/inlmath].

I onda rešiš sistem i odbiješ vrednosti [inlmath](0,1),\;(-1, 0)[/inlmath] kao rešenja.

Otuda znaš koliko je [inlmath]t[/inlmath], vratiš smenu, itd.

Malo duži put, ali čisto da znaš još jednu mogućnost da se ispetljaš sa ovim zadatkom.

Dakle, rešenja po [inlmath]t[/inlmath] su: [inlmath]t_1=0+1i[/inlmath] i [inlmath]t_2=-1+0i[/inlmath].
Dakle, [inlmath]t_1=-1[/inlmath] i [inlmath]t_2=i[/inlmath]

Vratiš smenu, itd.

Inače, možeš i odmah da primetiš da je [inlmath]t^2+(1-i)t-i=t^2+t-it-i=t(t+1)-i(t+1)=(t-i)(t+1)=0[/inlmath]

Hvala milovane.

Ja sam završio zadatak i evo što sam dobio:

Po [inlmath]z^4=-1[/inlmath]
[dispmath]z=\cos\left(\frac{0+2k\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{0+2k\pi}{4}\right)[/dispmath][dispmath]k=0,1,2,3[/dispmath]
Po [inlmath]z^4=i[/inlmath]
[dispmath]z=\cos\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{4}\right)[/dispmath][dispmath]k=0,1,2,3[/dispmath]
Ako je ovo točno, trebalo bi još odrediti kutove, ali to nije nikakav problem...

eseper je napisao:Po [inlmath]z^4=-1[/inlmath]
[dispmath]z=\cos\left(\frac{0+2k\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{0+2k\pi}{4}\right)[/dispmath][dispmath]k=0,1,2,3[/dispmath]

Ali zašto [inlmath]0+2k\pi[/inlmath]? Taj ugao bi odgovarao broju [inlmath]1[/inlmath], a mi ovde imamo broj [inlmath]-1[/inlmath].

eseper je napisao:Po [inlmath]z^{4}=i[/inlmath]
[dispmath]z=\cos\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{4}\right)[/dispmath][dispmath]k=0,1,2,3[/dispmath]

To je OK, ali izdeli to... Krajnji oblik će ti biti
[dispmath]z=\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\right)[/dispmath]

Da, ali kut se određuje po onoj formuli [inlmath]\mathrm{tg}\:\varphi =[/inlmath] imaginarni kroz realni dio. Pošto je ovdje imaginarni dio nula (nema ga?), [inlmath]0[/inlmath] podijeljeno s bilo kojim brojem daje nulu. Zbog toga sam napisao [inlmath]0+2k\pi[/inlmath]. Hm..

eseper je napisao:Da, ali kut se određuje po onoj formuli [inlmath]\mathrm{tg}\:\varphi =[/inlmath] imaginarni kroz realni dio.

Nije to baš tako jednostavno. Tangens je funkcija s periodom [inlmath]k\pi[/inlmath]. Primera radi, [inlmath]\mathrm{tg}\frac{\pi}{3}=\sqrt 3[/inlmath], ali je takođe i [inlmath]\mathrm{tg}\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt 3[/inlmath]. Zato, kad određuješ argument kompleksnog broja iz njegovog tangensa, moraš voditi računa i o tome u kom će se kvadrantu nalaziti taj ugao, a prema sledećim pravilima:

[inlmath]\Re\left(z\right)>0,\;\Im\left(z\right)>0\quad\Rightarrow\quad\varphi\;[/inlmath] je u [inlmath]1.[/inlmath] kvadrantu;
[inlmath]\Re\left(z\right)<0,\;\Im\left(z\right)>0\quad\Rightarrow\quad\varphi\;[/inlmath] je u [inlmath]2.[/inlmath] kvadrantu;
[inlmath]\Re\left(z\right)<0,\;\Im\left(z\right)<0\quad\Rightarrow\quad\varphi\;[/inlmath] je u [inlmath]3.[/inlmath] kvadrantu;
[inlmath]\Re\left(z\right)>0,\;\Im\left(z\right)<0\quad\Rightarrow\quad\varphi\;[/inlmath] je u [inlmath]4.[/inlmath] kvadrantu;

Pročitaj i ovaj Milovanov post.

U ovom graničnom slučaju, kada je [inlmath]\Re\left(z\right)<0[/inlmath], a [inlmath]\Im\left(z\right)=0[/inlmath], [inlmath]\varphi[/inlmath] će biti tačno između [inlmath]2.[/inlmath] i [inlmath]3.[/inlmath] kvadranta, a tome odgovara ugao [inlmath]\varphi=\pi+2k\pi[/inlmath].

Argument kompleksnog broja [inlmath]z=x+yi[/inlmath] određuješ ovako:

[dispmath]\varphi=\arg(z)=\begin{cases}
\mbox{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) & \mbox{ako }x>0\\
\mbox{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)+\pi & \mbox{ako }x< 0\mbox{ i }y\ge 0\\
\mbox{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)-\pi & \mbox{ako }x<0\mbox{ i }y<0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{ako }x=0\mbox{ i }y>0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{ako }x=0\mbox{ i }y<0\\
\mbox{nedefinisano } & \mbox{ako }x=0\mbox{ i }y=0.
\end{cases}[/dispmath]

Hvala obojici! Razumio sam