eseper je napisao:Kad racionaliziram sa [inlmath]z+1[/inlmath] ispadne mi opet ista vrijednost kao prije racionalizacije. Da možda ne treba odvojeno brojnik i nazivnik?

Ne... Izvini... Ja sam se nešto zabagovao dok sam ti objašnjavao... Ovde ne treba da vadiš koren od izraza [inlmath]\frac{z+1}{z-1}[/inlmath], već od [inlmath]8[/inlmath], odnosno od [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath]. Znači, [inlmath]8[/inlmath] i [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath] predstavljaš preko modula i argumenta, a ne [inlmath]\frac{z+1}{z-1}[/inlmath]. Ne treba, znači, racionalizacija u ovom slučaju, jer za brojeve [inlmath]8[/inlmath] i [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath] već znamo realne i imaginarne delove, tako da ih odmah možemo prikazati preko modula i argumenta.

Znam, ali zar ne treba prije srediti lijeve strane u oba slučaja, da ostane samo [inlmath]z[/inlmath], a ne ovaj razlomak?

Svejedno je kojim ćeš redosledom, da li ćeš prvo napisati [inlmath]8[/inlmath] odnosno [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath] u obliku modula i argumenta i naći njihov treći koren pa zatim izraziti [inlmath]z[/inlmath] preko toga što si dobio, ili ćeš prvo [inlmath]z[/inlmath] izraziti preko [inlmath]\sqrt[3]8[/inlmath] odnosno [inlmath]\sqrt[3]{-1}[/inlmath] pa onda nalaziti njihov treći koren... Ista rešenja dobijaš, kako god radio...

Molim te napiši postupak ili za [inlmath]-1[/inlmath] ili za [inlmath]8[/inlmath]. Nisam te skontao najbolje, pa ću to bolje kroz primjer

[dispmath]\frac{z+1}{z-1}=\sqrt[3]8\quad /\cdot\left(z-1\right)[/dispmath][dispmath]z+1=\sqrt[3]8\cdot z-\sqrt[3]8[/dispmath][dispmath]1+\sqrt[3]8=\sqrt[3]8\cdot z-z[/dispmath][dispmath]1+\sqrt[3]8=z\left(\sqrt[3]8-1\right)[/dispmath][dispmath]z=\frac{\sqrt[3]8+1}{\sqrt[3]8-1}[/dispmath][dispmath]\sqrt[3]8=\sqrt[3]{8e^{i\left(0+2k\pi\right)}}=\left|\sqrt[3]8\right|\cdot\sqrt[3]{e^{i2k\pi}}=2e^{i\frac{2k\pi}{3}}[/dispmath]
[inlmath]1^\circ\quad k=3n[/inlmath]
[dispmath]\sqrt[3]8=2e^{i2n\pi}=2[/dispmath][dispmath]z=\frac{2+1}{2-1}=3[/dispmath]
[inlmath]2^\circ\quad k=3n+1[/inlmath]
[dispmath]\sqrt[3]8=2e^{i\frac{2\left(3n+1\right)\pi}{3}}=2e^{i\left(\frac{2\pi}{3}+2n\pi\right)}=2\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}\right)=-1+i\sqrt 3[/dispmath][dispmath]z=\frac{-1+i\sqrt 3+1}{-1+i\sqrt 3-1}=\frac{i\sqrt 3}{-2+i\sqrt 3}\cdot\frac{-2-i\sqrt 3}{-2-i\sqrt 3}=\frac{3-i2\sqrt 3}{7}[/dispmath]
[inlmath]3^\circ\quad k=3n+2[/inlmath]
[dispmath]\sqrt[3]8=2e^{i\frac{2\left(3n+2\right)\pi}{3}}=2e^{i\left(\frac{4\pi}{3}+2n\pi\right)}=2\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}\right)=-1-i\sqrt 3[/dispmath][dispmath]z=\frac{-1-i\sqrt 3+1}{-1-i\sqrt 3-1}=\frac{-i\sqrt 3}{-2-i\sqrt 3}=\frac{i\sqrt 3}{2+i\sqrt 3}\cdot\frac{2-i\sqrt 3}{2-i\sqrt 3}=\frac{3+i2\sqrt 3}{7}[/dispmath]
E sad isto to još i za [inlmath]\frac{z+1}{z-1}=\sqrt[3]{-1}[/inlmath]...

Hvala Po ovome ću napraviti ostatak zadatka, što ne bi trebao biti problem

Odrediti sve [inlmath]z\in\mathbb{C}[/inlmath].
Napomena: Kod faktorizacije grupirati prva tri i zadnja tri sumanda.

Ovaj mi zadatak nije najjasniji. Ima li se i šta uopće ovde sređivati?
[dispmath]\left(1-\sqrt 3i\right)z^6-2\left(1-\sqrt 3i\right)z^5+\left(\sqrt 3+i\right)z^4-4z^2+8z+4\frac{1}{i}=0.[/dispmath]

eseper je napisao:Napomena: Kod faktorizacije grupirati prva tri i zadnja tri sumanda.

Ovo je koristan savet.
[dispmath]\left(1-\sqrt 3 i\right)z^6-2\left(1-\sqrt 3 i\right)z^5+i\left(1-\sqrt 3 i\right)z^4-4\left(z^2-2z-\frac{1}{i}\right)=0[/dispmath][dispmath]\frac{1}{i}=\frac{1}{i}\cdot\frac{i}{i}=-i[/dispmath][dispmath]\left(1-\sqrt 3 i\right)z^6-2\left(1-\sqrt 3 i\right)z^5+i\left(1-\sqrt 3 i\right)z^4-4\left(z^2-2z+i\right)=0[/dispmath][dispmath]\left(1-\sqrt 3 i\right)z^4\left(z^2-2z+i\right)-4\left(z^2-2z+i\right)=0[/dispmath][dispmath]\left(z^2-2z+i\right)\left[\left(1-\sqrt 3 i\right)z^4-4\right]=0[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath]

Kao rješenja prvog dijela, tj. kvadratne jednadžbe, dobio sam
[dispmath]z=1\pm\sqrt{1-i}[/dispmath]
Ali, nama bi sve trebalo biti pod korijenom, zar ne?

Kako misliš, sve pod korenom? Izraz bi trebalo svesti ili na oblik [inlmath]a+ib[/inlmath], ili na trigonometrijski oblik, ne znam kako se već traži u zadatku...